B Differentialrechnung

84 B Differentialrechnuns
Damit erhalten wir für y' und y", jeweils in Abhängigkeit vom Parameter /:
)-
j' t
I
.r I +l :
/j
ry-y'f \r
i3
ll '-r
,. .l
(r- + rJ-
t6
2
I
I
tl r
(l -/ '!)t/ I: I
- / r) ( I
') -,
(l + t-21:
'(- 2l
v'(2) .7 , r 5 (22 + l)r
(der Bruch wurtle lnit t- erweiterl;
t)
.r 2 - t r
, 21 1
(' . ,!)'
l-rr ta t: (l -1t)','
, 14 tt) lrl rr2 r lrl
\,
'J
V r ')
(l -22t.2: -12 12
I )< t')<
t 4
t 2
, 1 .. 3
It'+ t\
II
t,,
\ f- /
Umformungen: Die Brüche im Zähler bzw. Nenner werden auf den Hauptnenner tl bzw. t2 gebracht - der
Zählerbruch wird mit dem Kehrwerl des Nennerbruches multipliziert, dann den gemeinsamen Faktor ra kürzen.
Gegeben ist die folgende ParameterJitntt einer Kurve:
,:t[-z
"int+l,
)':2 cos]r. 01t1n
Bestinrmen Sie den Kun'enanstieg in Abhängigkeit vom Parameter r. Wie groß ist die Steigung der
Kurventangente für den Parameterwert t - rl2.}
Beide Parametergleichungen werden nach der Kettenregel differenziert:
a : yQ. y11a 1 - 1; mit u :2. sin/* I
-\-
. d.r clr du
"
dt du dr
) -4.cosl.sinr
_
j cosl
.2 'cost -
cos I cos I
z \/u vE /T s1n t +1
I :2 ' cos2 / : 2 (.cos r)2 - 2u2 mit u
. dy dy tlu
' v:
dt du dr
Kurvenanstieg in Abhängigkeit vom Parameter /:
u
tfz.sint + )
An der Stelle / - nl2 g|lt:
: COS/
- -4'cost .sinl.
V/T s'tnt + |
cos t
-= _ 4. sin1. y{. sin1 1 1
y'(.t : 1rl2) - -4 . sin ("lz) . I 2 ' sin (trl2) + -4-t vE t-t 4vE