B Differentialrechnung

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82 B Differentialrechnuns Bestimmen Sie die Tangentensteigung der Kardioide ,y2 + 2x(,.t +.1'r) Wie groß ist die Steigung im Kurvenpunkt p : (0: 1)? Es wird gliedweise nach der Variablen x differenziert. 1. Summandi { r : -r'2 rnit ,r' : ./ (x) (", +,n,)2 : 0. Differenziert wird nach der Kettenregel, da y von l abhängt (zuerst -'f,2 nach .r, differenzieren, dann y nach x): , dzt dzt d), ^ | -r : ,- dx r d1' dx 2.Summand: il:2x(.t2+y2):Z(uu) lrit u:.\. ?r:,rl+.y2 und u,:1, nt:2.r12v.1,, T-];- Differenziert wird nach der Produktrvgel, wobei der Summand -y2 im rechten Faktor l nach der Kettenregel zu differenzieren ist; zi:2(ututp'u):2ll(x2 +)2) + Qxi2y'..r")-r] :2(r2 +-r,2 + 2r2 +2x1,.yt): : 2(3x2 +.r'2 + 2.r-r'.)'') 3.Summand; Z3 - -(x' + y')t : -ut mit u: ,2 + :-2 7 Die Kettenregel lieferl dann: _t d:.2 dz.t tlu _ | z;--E: 2u.u'- ,f, ;- : -4(rt + yt) (x +,v'.r') -2u(2x t2t.),' ) : -2(.rr + yt).Z(xf l'.1,): Bei der Ableitung der inneren Funktion u - ,r2 * ,y 2 wurcle dabei benicksichtigt, dass der Summand 1' 2 nach der Kettenregel zu differenzieren ist (y hängt ja von ,r ab). Damit erhalten wir folgendes Ergebnis: ?.'1 lz'2+z\:2y.y'i2(3x2 +.t'2 + 2xr-..r-' ) .v.)'+ 3r2 + y2 + 2ry .J.' - 2112 +.v2) (;r * r' .,y') - - 1'. )' l 3x2 +)2 + 2ry. ),' - 2(r. +.r'r)_r - z(r, +lt)). -y, : : ly + Zxy -2(t2 + r-2).r,].r'' * 3.r: t,r,,2 - 2(r2 +r.2)x:0 Wir lösen diese Gleichung noch nach y' auf und erhalten: , 2(.r= + 1,2) .r - 3r2 - r'2 2x(.r2 + )'2) - 3r2 - r,2 )'r 2xy 2(r2 + ),2))' 1,ll + 2x - 2("r2 +,r.2;] Steigung der Kurventangente im Punkt P : (0; - l): r'(x:0; l:-l) : 0(0 + 1) - 0 , I - I -1lr+0-2(0+1)l -1 (-1) 4(r'+,r'2) (x*,1'.r'') - o ),2
I Ableitungsregeln 83 1.7 Differenzieren in der Parameterform Die Funktion bzw. Kurve liegt in der Parameterform r : .r(/), -v : .y(r) vor (t: Parameter). Die ersten beiden Ableitungen werden wie folgt gebildet: Die Striche kennzeichnen die Ableitunsen nach der Variablenx, die Punkte die Ableitungen nach dem Parameter /. Hinweise i, - i,i "t7 Lehrbuch: Band 1, Kapitel IV.2.1l Formelsammlung : Kapitel IV.3.9 Bestimmen Sie den Anstieg der Kurve )':2'sin(2r) 3'sinr. 0
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Seite 3 und 4: - I Ableitungsregeln ! - 2. e' arcs
Seite 5 und 6: ttr-- I Ableitungsregeln 65 cos -t
Seite 7 und 8: I Ableitungsregeln 67 1.3 Kettenreg
Seite 9 und 10: Y 1 Ableitungsregeln 69 I- t:4 /.'
Seite 11 und 12: Y I Ableitungsregeln tl Die Kettenr
Seite 13 und 14: I Ableitungsregeln Die gesuchte Abl
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Seite 17 und 18: 1 Ableitungsregeln 1.5 Logarithmisc
Seite 19 und 20: 1 Ableitungsregeln 19 Somit ist: v'
Seite 21: I Ableitungsregeln 8l Es wird glied
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