B Differentialrechnung

82 B Differentialrechnuns
Bestimmen Sie die Tangentensteigung der Kardioide ,y2 + 2x(,.t +.1'r)
Wie groß ist die Steigung im Kurvenpunkt p : (0: 1)?
Es wird gliedweise nach der Variablen x differenziert.
1. Summandi { r : -r'2 rnit ,r' : ./ (x)
(", +,n,)2 : 0.
Differenziert wird nach der Kettenregel, da y von l abhängt (zuerst -'f,2 nach .r, differenzieren, dann y nach x):
, dzt dzt d), ^ |
-r :
,-
dx
r
d1' dx
2.Summand: il:2x(.t2+y2):Z(uu) lrit u:.\. ?r:,rl+.y2 und u,:1, nt:2.r12v.1,,
T-];-
Differenziert wird nach der Produktrvgel, wobei der Summand -y2 im rechten Faktor l nach der Kettenregel zu
differenzieren ist;
zi:2(ututp'u):2ll(x2 +)2) + Qxi2y'..r")-r] :2(r2 +-r,2 + 2r2 +2x1,.yt):
: 2(3x2 +.r'2 + 2.r-r'.)'')
3.Summand; Z3 - -(x' + y')t : -ut mit u: ,2 + :-2
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Die Kettenregel lieferl dann:
_t
d:.2 dz.t tlu _ |
z;--E:
2u.u'-
,f, ;-
: -4(rt + yt) (x +,v'.r')
-2u(2x t2t.),' ) : -2(.rr + yt).Z(xf l'.1,):
Bei der Ableitung der inneren Funktion u - ,r2 * ,y 2 wurcle dabei benicksichtigt, dass der Summand 1' 2 nach der
Kettenregel zu differenzieren ist (y hängt ja von ,r ab).
Damit erhalten wir folgendes Ergebnis:
?.'1 lz'2+z\:2y.y'i2(3x2 +.t'2 + 2xr-..r-' )
.v.)'+ 3r2 + y2 + 2ry .J.' - 2112 +.v2) (;r * r'
.,y') -
- 1'. )' l 3x2 +)2 + 2ry. ),' - 2(r. +.r'r)_r - z(r, +lt)). -y, :
: ly + Zxy -2(t2 + r-2).r,].r'' * 3.r: t,r,,2 - 2(r2 +r.2)x:0
Wir lösen diese Gleichung noch nach y' auf und erhalten:
,
2(.r= + 1,2) .r - 3r2 - r'2 2x(.r2 + )'2) - 3r2 - r,2
)'r 2xy 2(r2 + ),2))' 1,ll + 2x - 2("r2
+,r.2;]
Steigung der Kurventangente im Punkt P : (0; - l):
r'(x:0; l:-l)
:
0(0 + 1) - 0 , I - I
-1lr+0-2(0+1)l -1 (-1)
4(r'+,r'2) (x*,1'.r'') - o ),2