B Differentialrechnung
B Differentialrechnung B Differentialrechnung
80 B Dilferentialrechnung 1.6 Implizite Differentiation Die in der impliziten Form .F(x; y) : 0 vorliegende Funktion wird gliedw'er.se mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln nach der Variablen ,r differenziert. Dabei ist zu beachten, dass .), eine Funktion von .r ist. Terme mit der Variablen 1' müssen daher nach der Kettenregei differenzieft werden. Die (diftbrenzierte) Gleichung wird anschließend nach y' aufgelöst. Die Ableitung hängt dabei von x untl t ab. Hinweise Lehrbuch: Band 1, Kapitel IV.2.8 Formelsammlung : Kapitel IV.3.8 I l=llUa lla -{3 + r'3 3xy : 6, )'' - ? Es wird gliedweise nach x differenziert. l. Summandr zq - -1 3 + Z'r : 3.t2 2. Summand: :: -, I.r mit ,r, -,f(r) z't : y3 ist die ciufiere, y - die innere Funktion. Die Kettenregel lief'ert dann (erst "f(.r) ,yr nach y, dann y nach "r differenzieren): t^)l z: : J)'- ') 3.Summand: t-r:-3,tr':-3(.t..y):-3(1 r') mit ü:,\j i,--y,und u':I. u'- I..r'':-y' ;; Mit der Produktregel erhalten wir (der rechte Faktor tr : .y wurde nach der Kettenregel differenziert): z'3 : -3(utr I u'u) : 3(l'r-f 1'',r) - 3(r'+;ry') Dre gliedweise Differentiation der irnpliziten Funktion ftihrt damit zu dem folgenden Ergebnis: @ z'1 lz'2+.i :3x2+3yt']'-3(l*x1'') :g x2 +y2.y'- (r1-r.r') :x2 *yt.-y' ) r)'': (r2 -r) )'lx2 (yt --r),t'' ,- ) - 12 + ,'- t'^ "' : lt - I' J2-r -{ ,\r2 1,3 (r + 2)x2 + (r - 2).r' 0, )'' :'t .v'(" - l; r' - rE) : t Wir bringen die Funktion zunächst auf eine für das implizite Differenzieren giinstigere Form'. ,r3 + 2.r2 + (x 2)1,' : rr *:: : o -'--,zt 7.2 + -.y:0 +
I Ableitungsregeln 8l Es wird gliedweise nach x differenziert, der zweite Summand :z dabei nach der Produktregel (in Verbindung mit der Kettenregel). L.Summand: Zr - x3 I2x2 + z.'r : 3r2 + 4x 2.summand: ,t:t!r:-ro mit u-x-2. t.' :.'f'2 und u'-1, Lt'-2v-',-' Die Ableitung o"r.".ir,"rl F"k:^ 'u: y2 erfblgte nach der Kettenregelda -v von x abhängt (erst y2 nach y differenzieren, dann y nach x). Somit gilt: Z'2 : u' u r u' u - | ' y2 + 2), ]' (x - 2) : ,rt -t 2 (x - 2) ' ,1 ' l" Die gliedweise Differentiation der vorgegebenen impliziten Funktion fühn schließlich zu dem folgenden Ergebnis (wir lösen die Gleichung noch nach y' aul): z', + z'r- 3x3 a 4x I y2 +26 - 2)].)" : o + 2(x -2)]'y' : -3xz - 4r - y2 - (3x2 +4r+-y2) t, 1 /..' 3+4+ 3 l0 5 I \n t. y y J l' 2(1 - 2)',ß -2 '/1 vE (y-t)t+.int.y:0, )'-? 3,r2+4xlyz 2(r - 2) y Die Funktionsgleichung wtrd gliedwei.re nach -r differenziert, beide Summanden dabei jeweils nach der Kettenregel: l.Summand: ., : g_33 - u3 mit u - ! ,r und "y - "f (:r) z'r:3u2 ,' :uru'(l .l,' l) - 3(r --r)t (r'- t) Bei der Ableitung der inneren Funktion u : ! - r musste der Summand -y nach der Kettenregel differenziert werden (erst y nach y, dann y nach x differenzieren). 2.Summand: z:: sin2]r (sinl)2 ,2 mit r.r - sin.r' und .r': /(.r) Y Die Kettenregel (fir zwei Substitutionen) führt zu: , drz dzz du dr z'z - E : ; r, ;: 2u' (cos-r')' y' :2' sin)' cos) sin (2,v) - sin(2v)' v' "v' (unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung sin (Zy) : 2 . sin ,]' . cos.r). Damit erhalten wir: z'yrz'2 - 3(r -*)'(y' - 1) +sin(2.-v) 'r'- 3(,v f : (l - x)2 + sin (zy)l :-' : 3 (y - ')t ")t)'' - / r2 -'l) ( 't' 'tJ 3 (l' - ,r)2 + sin (21') 3(t'-r)2 +sin(2v) 'v'-0
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I Ableitungsregeln 8l<br />
Es wird gliedweise nach x differenziert, der zweite Summand :z dabei nach der Produktregel (in Verbindung mit der<br />
Kettenregel).<br />
L.Summand: Zr - x3 I2x2 + z.'r : 3r2 + 4x<br />
2.summand: ,t:t!r:-ro mit u-x-2. t.' :.'f'2 und u'-1, Lt'-2v-',-'<br />
Die Ableitung o"r.".ir,"rl F"k:^ 'u: y2 erfblgte nach der Kettenregelda -v von x abhängt (erst y2 nach y<br />
differenzieren, dann y nach x). Somit gilt:<br />
Z'2 : u' u r u' u - | ' y2 + 2), ]' (x - 2) : ,rt -t 2 (x - 2) '<br />
,1<br />
'<br />
l"<br />
Die gliedweise Differentiation der vorgegebenen impliziten Funktion fühn schließlich zu dem folgenden Ergebnis (wir<br />
lösen die Gleichung noch nach y' aul):<br />
z', + z'r- 3x3 a 4x I y2 +26 - 2)].)" : o +<br />
2(x -2)]'y' : -3xz - 4r - y2 - (3x2 +4r+-y2)<br />
t, 1 /..' 3+4+ 3 l0 5<br />
I \n t. y y J l'<br />
2(1 - 2)',ß -2 '/1 vE<br />
(y-t)t+.int.y:0, )'-?<br />
3,r2+4xlyz<br />
2(r - 2) y<br />
Die Funktionsgleichung wtrd gliedwei.re nach -r differenziert, beide Summanden dabei jeweils nach der Kettenregel:<br />
l.Summand: ., : g_33<br />
- u3 mit u - !<br />
,r und "y - "f (:r)<br />
z'r:3u2 ,' :uru'(l .l,' l) - 3(r --r)t (r'- t)<br />
Bei der Ableitung der inneren Funktion u : ! - r musste der Summand -y nach der Kettenregel differenziert werden<br />
(erst y nach y, dann y nach x differenzieren).<br />
2.Summand: z:: sin2]r (sinl)2 ,2 mit r.r - sin.r' und .r': /(.r)<br />
Y<br />
Die Kettenregel (fir zwei Substitutionen) führt zu:<br />
, drz dzz du dr<br />
z'z - E<br />
: ; r, ;:<br />
2u' (cos-r')' y' :2' sin)' cos)<br />
sin (2,v)<br />
- sin(2v)' v'<br />
"v'<br />
(unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung sin (Zy) : 2 . sin ,]' . cos.r). Damit erhalten wir:<br />
z'yrz'2 - 3(r -*)'(y' - 1) +sin(2.-v) 'r'- 3(,v<br />
f : (l - x)2 + sin (zy)l :-' : 3 (y - ')t<br />
")t)''<br />
- / r2<br />
-'l) ( 't'<br />
'tJ<br />
3 (l' - ,r)2 + sin (21')<br />
3(t'-r)2 +sin(2v) 'v'-0
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