B Differentialrechnung

80 B Dilferentialrechnung
1.6 Implizite Differentiation
Die in der impliziten Form .F(x; y) : 0 vorliegende Funktion wird gliedw'er.se mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln
nach der Variablen ,r differenziert. Dabei ist zu beachten, dass .), eine Funktion von .r ist. Terme mit der
Variablen 1' müssen daher nach der Kettenregei differenzieft werden. Die (diftbrenzierte) Gleichung wird anschließend
nach y' aufgelöst. Die Ableitung hängt dabei von x untl t ab.
Hinweise
Lehrbuch: Band 1, Kapitel IV.2.8
Formelsammlung : Kapitel IV.3.8
I
l=llUa
lla
-{3 + r'3 3xy : 6, )'' - ?
Es wird gliedweise nach x differenziert.
l. Summandr zq - -1
3 + Z'r : 3.t2
2. Summand: :: -, I.r mit ,r, -,f(r)
z't : y3 ist die ciufiere, y - die innere Funktion. Die Kettenregel lief'ert dann (erst
"f(.r) ,yr nach y, dann y nach
"r differenzieren):
t^)l
z: : J)'- ')
3.Summand: t-r:-3,tr':-3(.t..y):-3(1 r') mit ü:,\j i,--y,und u':I. u'- I..r'':-y'
;;
Mit der Produktregel erhalten wir (der rechte Faktor tr : .y wurde nach der Kettenregel differenziert):
z'3 : -3(utr I u'u) : 3(l'r-f 1'',r) - 3(r'+;ry')
Dre gliedweise Differentiation der irnpliziten Funktion ftihrt damit zu dem folgenden Ergebnis:
@
z'1 lz'2+.i :3x2+3yt']'-3(l*x1'') :g
x2 +y2.y'- (r1-r.r') :x2 *yt.-y' ) r)'': (r2 -r) )'lx2
(yt --r),t'' ,- ) - 12 + ,'-
t'^
"' : lt -
I'
J2-r -{ ,\r2
1,3
(r + 2)x2 + (r - 2).r' 0, )'' :'t .v'(" - l; r' - rE) : t
Wir bringen die Funktion zunächst auf eine für das implizite Differenzieren giinstigere Form'.
,r3 + 2.r2 + (x 2)1,' : rr *:: : o
-'--,zt
7.2
+
-.y:0 +