B Differentialrechnung

62 B Differentialrechnung
) : 't5 'ln,r,
!' : ?
Die Funktion ist ein Produftr der beiden Faktorfunktionen r./ : r s und
) : rs .lnx : uu mit u: 1'5. u : ln-t und u' :
YY
Die Produktregel liefert die gesuchte Ableitung:
!' : u'u + u'u - 5x4. lnx * l. tt : 5ra . lnx *xa
!:4.sinx.tanx, l':'l
Wir ,,zerlegen" die Funktion wie folgt:
!:4.sin,r tanr:4(uu)
\,/ \./
u 'I)
u : ln x:
-J,l
'l r lt : -
x
- x"(5'lnx * l)
Der konstante Faktor 4 bleibt beim Differenzieren erhalten. Dte Produktregel lautet daher in diesem Beispiel wie folgt:
l'-4(u'u+u'u) mit u:sin.r, u-tanx uncl a/:cosx, 'u'- ]-
!':4(u'uIu'u)
COS - ,Y
- sinx
+(rorr tan**-]. ..ln*)
tin.t):
-+(.o*
*
\ cosr-r / \ cos,r costx,/
n ^,,^,,(, I \ :- cos2r+l 4.sinx1cos2x l)
: + Slnr | | t - | + slnl -
\ cos2r/ cos2l cos2x
Anmerkung: Sie können den konstanten Faktor 4 auch in den Faktor u einbeziehen:
!:4.sinx.tan"r:(4.sinr) tanr mit u:4.sinx und u:tanr-
-,-\,/
uu
y (cosr-sinx)'e* f':'l
,,Zerlegung" der Funktion in ein Produkl aus zwei Faktorfunktionen r und u:
y: (cosx - sin x).e' : uu mit il: cosr - sinx, L'- e'r und Lt' : -sinl - cosx, ut : e'
Mit Hilfe der Produktregel erhalten wir dann:
!' : u'u * u'" : (- sinx - cosr) .
: (-sinx - cosr + cosr - sinx)
" (cos x - sin x)
-2 sin x e-'