B Differentialrechnung

1 Ableitungsregeln 19
Somit ist:
v' - : cos -r - "r
)
sln,T +
t/-(cos-t -r sin-r').1--(cosr ,r sin,r) .etcosl
y'(rr): (cosz-z'sinrr) sr'ct'sz-(-1-2.0) .erl t) - e '7
Anmerkung: Diese Aufgabe lässt sich auch mit Hilf'e der Ketten- und Produktregel lösen (siehe Aufgabe 825).
1,2 - (sin-{)
rn" : 0 (.r > 0). r.' : ?
Zunächst stellen wir die Gleichung wie folgt um: r, l : (sin -r) 1,"
1. Schritt: Beide Seiten werden logttrithmiert:
lny2: ln(sin,r)
ln'
+ 2.lny - ln.r.ln(sinr) (Rechenregel: lna,, : n.lnu)
2. Schritt: Jetzt werden beide Seiten der logarithntierten Gleichung nach .r clffirert:1ert..
Linke Seite: Kettenregel anwenden, denn ,l ist eine von r abhängige Funktion:
z:2.lny mit -r':./(.r) + ,'-'fi:f
Rechte Seite : Produktregel anwenden :
z : ln.r'ln(sin x) : uu mit r.r : In.r-.
\/ -,uLl
Die noch unbekannte Ableitung
r., : ln (sin x) : 1n 1
\'z
t
Die Produktregel liefert dann mit
a : ln.r, c, : ln (sinx) und ,' : L, u/ - cotr
die gesuchte Ableitung der rechten Seite:
!, : u,u + It,, : (sinr) + cot_r . lnr :
+.h
Somit erhalten wir für )'/ den folgenden Ausdruck:
,r' _.ln (sinx) -F r . cotr . lnx
,yx
#:, ,f
,,:] ,.,
u-ln(sin-r) und u'-\. t:':'/
r' des rechten Faktors erhalten wir mit der Kettenregel:
mit r: sin,r :+ ,,, -4):4
u.'
- !.cos,{: "' iI: corr
tlx dt dx t
sinr
,
ln (sinx) *.r .cotx . ln-t
ln(sinr) *r ccltx.lnx
1" hängt noch votl -t tutd y ab. Durch Auflösen der vorgegebenen
Funkticlnsgleichung
lach ,r. fol-qt;
):+/(sinx;r"'
Diesen Ausdruck setzen wir in die Ableitungsformel ein und erhalten y.' in Abhängigkeit von r:
L
ln(sinr) . x cotr.lnx
:^
2x
r