B Differentialrechnung

78 B Differentialrechnung
) - x'o" (* > 0) ,
Die vorliegende Funktion ist weder eine Potenz- noch eine Exponentialfunktion, da Basis (x) und Exponent (cos;r)
von der Variablen x abhängen. Wir können daher weder die Potenzregel noch die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen
anwenden.
1. Schritt: Durch Logarithmieren beider Seiten lässt sich der Potenzausdruck der rechten Seite in Produkt verwandeln.
dass leicht über die Produktregel differenziert werden kann:
lny : Inrtot' : cosx .lnx (Rechenregel: lna' - n.lna)
2. Schritt: Beide Sejten werden nach r diff'erenziert. Beim Differenzieren der linken Seite ist zu beachten, dass _),
eine von r abhängige Funktion ist (y :./(.r)). Der Tem : - ln)' muss daher nach der Kettenregel differenziert
werden (erst z nach y differenzieren, dann .y nach -t):
z:ln.v mit y:IG)
, dz dz d.,- | |
'l
"
dx ,ly dx l'
Die Ableitung der rechten Seite erfolgt mit Hilfe der Produktregel:
Damit gilt:
z: cosx lnx :uu mit 4:cos,r. 'u-
\/
u
\,2
'L)
z.' : Lr'u * ut u
)r/_-x'sinx'lnxfcosx
x
!
I
: -s1nr ln-t -l- -.cosx -
r
{
)
lnx und a' : -sinx.
x.sin,r lnr + cosx
-x.sinx'lnx * cosr -x.sin-r lnx + cosr . rcos.r
: (-x.sinx.lnr f cosr) .x '
a, Ät c0sJ
1. Schritt: Beide Seiten logarithmieren:
)' :'/, y'(t) - 7
rcosr l
"
,t"x.lnr*cosr)
lny: lner'cosr: (r.cosx) .lne: r cosr (Rechenregel: ln e' : n)
2. Schritt: Jetzt beide Seiten der logarithmierten Gleichung nach -r dffirenz.ieren'.
Linke Seite: Kettenregel anwenden, da y von ,r abhängt:
z:lny mit l:"f(x) +
Rechte Seite : Produktregel anwenden'.
, dz. dz. dY
"
dr dy dx
I 'l r'
z:x.cos-r:au mit u:x. u-cosr und u':1,'L)': sinx
+\/
uu
)l.v
z' - u'u + u'u : | .cosx* (-sin;r).r - cosx -r sinx
1
x
l)
"(cosr