B Differentialrechnung
B Differentialrechnung B Differentialrechnung
76 Die Quotientenregel liefert dann die gesuchte Ableitung: ,r Ltt.t) - I)trr r'cosx(r'cos-t - sin:r) - (-'t'sinx) (x'sinx * cosx) _ u2 (-l . cos .r - sin x) r x2 cos2 t - t 'cosx.sinr f ,r2 .sin2-t + -r.sin,r cosr (x ' cos .r - sin .r) l x2(cos2x + sin2.r) t2 (-r.cosx - sinr) 2 (x.cosr - 2 sin.r) (unter Verwendung des ,,trigonometrischen Pythagoras" cos2 x + sin2 x - 1). x2-a2 - a'tx' (c: Konstante) , B Differentialrechnung (x . cos ,r - sin .r) 2 Wir substituieren den Radikand der Wurzel und führen damit die gegebene Funktion auf eine elementare Wurzelfunktion zurück: 4:,, CIX x2-a2 ü -u't)-t)'t't 't)/ Mit der Kettenregel folgt dann: :dv:dv.dz dx dz dx : Za-x Z Y : \f? mit (a2 + r2)2 _2 .,2 "z 1a2 r (a'*.1-)- * ^-z Die gesuchte Ableitung erhalten wir dann mit Hilfe der Kettenregel (erst ,) nach : differenzieren, dann z nach .r). Die,,äußere" Funktion ), - Ja ist elementur differenzierbar: dv I L \/2. Die Ableitung der gebrochenrationalen ,,inneren" Funktion efolgt mit der Quotientenregel'. x2-a2 u ,:;-* j:; a2+x2 mit u: t2 - a2. 't) : d' + *t und u' :2x, r:' :2t I 2 2x1rt2 t *2) 2x(xr o:) 2a2 x + 2x3 2x3 + 2a2 r T. lo' t x- \/ U v,r' 0- (r' - o') (a2 + r2)3 2a2 x a2 + ,r2 ^l ^ /(,rt (a2 + x2)2 a2+x2 o2) (o2 + r2)4 I - a2) (.a' + ,t) (.a2 + x2)2 ,/.0- x (a2 + x2) . (tr2 x:) - - v;t - 02) or @2 U a- Umformungen: (ot *')t mit lo2 - 12JJ unrer die Wurzel hringen verbliebenen Faktor (a t * durch a2 + x2 kürzen r aus dem ' + ,') die Teilwurzel ziehen. A ) -
1 Ableitungsregeln 1.5 Logarithmische Ableitung Die Funktion wird zunächst Logarithmiert, dann diJJbrenziert Hinweise Lehrbuch: Band l, Kapitel IV.2.6 Formelsammlung : Kapitel IV.3.6 .. (" l\' .., - , ,':1:+ | ) \ ,{./ 1. Schritt: Beide Seiten logarithmieren: rn) n(z :)'-* rn(,.+) " \ x/ \ x, 2. Schritt: Beide Seiten nach ,r differen:ieren'. (Ret henr,'gel : ln an n . ln o) Linke Seite: ; : ln "y mit I - "f(r) Da y eine von -r abhängige Funktion ist, muss nach der Kettenregel dill'erenziert werden: und u':7. u'--l Diese Funktion wird mit Hilfe der Produktregel diff'erenziert. Vorher müssen wir noch die Ableitung u' des rechten Faktors bestimmen. Dies geschieht wie folgt nach der Kettenregel'. Demit oilt' / l\ u:ln(z*-)-tn(2+x \ jr, -- , dr dt' dt I ' . I r '\ ' dx dt dx / ' ') :lnr mit r:2tr u:x. r':rn(,t*l) un
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- Seite 7 und 8: I Ableitungsregeln 67 1.3 Kettenreg
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- Seite 13 und 14: I Ableitungsregeln Die gesuchte Abl
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- Seite 25 und 26: I Ableitungsregeln 85 Welchen Ansti
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1 Ableitungsregeln<br />
1.5 Logarithmische Ableitung<br />
Die Funktion wird zunächst Logarithmiert, dann diJJbrenziert<br />
Hinweise<br />
Lehrbuch: Band l, Kapitel IV.2.6<br />
Formelsammlung : Kapitel IV.3.6<br />
.. (" l\' .., - ,<br />
,':1:+ | )<br />
\ ,{./<br />
1. Schritt: Beide Seiten logarithmieren:<br />
rn) n(z :)'-* rn(,.+)<br />
"<br />
\ x/ \ x,<br />
2. Schritt: Beide Seiten nach ,r differen:ieren'.<br />
(Ret henr,'gel : ln an n . ln o)<br />
Linke Seite: ; : ln "y mit I - "f(r)<br />
Da y eine von -r abhängige Funktion ist, muss nach der Kettenregel dill'erenziert werden:<br />
und u':7. u'--l<br />
Diese Funktion wird mit Hilfe der Produktregel diff'erenziert. Vorher müssen wir noch die Ableitung u' des rechten<br />
Faktors bestimmen. Dies geschieht wie folgt nach der Kettenregel'.<br />
Demit oilt'<br />
/ l\<br />
u:ln(z*-)-tn(2+x<br />
\<br />
jr, --<br />
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