B Differentialrechnung

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Die Quotientenregel liefert dann die gesuchte Ableitung:
,r
Ltt.t) - I)trr r'cosx(r'cos-t - sin:r) - (-'t'sinx) (x'sinx * cosx)
_
u2 (-l . cos .r - sin x) r
x2 cos2 t - t 'cosx.sinr f ,r2 .sin2-t + -r.sin,r cosr
(x ' cos .r - sin .r) l
x2(cos2x + sin2.r) t2
(-r.cosx - sinr) 2
(x.cosr - 2
sin.r)
(unter Verwendung des ,,trigonometrischen Pythagoras" cos2 x + sin2 x - 1).
x2-a2
-
a'tx'
(c: Konstante)
,
B Differentialrechnung
(x . cos ,r - sin .r) 2
Wir substituieren den Radikand der Wurzel und führen damit die gegebene Funktion auf eine elementare Wurzelfunktion
zurück:
4:,,
CIX
x2-a2
ü
-u't)-t)'t't
't)/
Mit der Kettenregel folgt dann:
:dv:dv.dz
dx dz dx
: Za-x
Z
Y : \f? mit
(a2 + r2)2
_2 .,2
"z
1a2 r
(a'*.1-)-
* ^-z
Die gesuchte Ableitung erhalten wir dann mit Hilfe der Kettenregel (erst ,) nach : differenzieren, dann z nach .r).
Die,,äußere" Funktion ), - Ja ist elementur differenzierbar:
dv I
L \/2.
Die Ableitung der gebrochenrationalen
,,inneren" Funktion efolgt mit der Quotientenregel'.
x2-a2 u
,:;-*
j:;
a2+x2
mit u: t2 - a2. 't)
: d' + *t und u' :2x, r:' :2t
I
2
2x1rt2 t *2) 2x(xr o:) 2a2 x + 2x3 2x3 + 2a2 r
T.
lo' t x-
\/ U
v,r'
0-
(r' - o') (a2 + r2)3
2a2 x
a2 + ,r2
^l
^
/(,rt
(a2 + x2)2
a2+x2
o2) (o2 + r2)4
I
- a2) (.a' + ,t) (.a2 + x2)2
,/.0- x
(a2 + x2) . (tr2 x:) - - v;t -
02) or
@2
U
a-
Umformungen: (ot *')t mit lo2 - 12JJ unrer die Wurzel hringen
verbliebenen Faktor (a t * durch a2 + x2 kürzen r aus dem
'
+ ,') die Teilwurzel ziehen.
A )
-