B Differentialrechnung

1 Ableitungsregeln
} :
ln (r2 + l)
',
,
Die vorliegende Funktion ist ein Quotient und lässt sich daher nach der Quotientenregel differenzieren:
y:
ln(x2+l) u
: - mit u: ln (r2 + t). ,, - -r3 unil u' - ?. ,u' :3x2
f
uL
Die noch fehlende Ableitung der Zählerfunktion a : ln (.r t + t) erhalten wir mit Hilfe der Kettenregel:
u:ln(x2+t)
t
:11 1 mit t-x2
(nach erfolgter Rücksubstitution r : rl * l,). Somit gilt zusammenfassend:
u:ln(x2+t), u:-r3 und u'- 2'-, r":3x2
Die Quotientenregel liefer'tdann die gewünschte ;;;
f-
, ü''u - 1)'tl
)r
x2+l
1)' x6
+|
2xa - 3x21xr + l) .ln 1xr ' l1
x2+l
ro
t I
.*r-3x2.|n1x2 l)
xz l2r' - 3 ("' + 1) ln (;r2 + 1)]
+
' tltt du dt I ^ 2x 2x
zx:7-rr+I
":,lr-,tt'd-:7
1 ,.4
-"
:r2+l
-3xr.lntx2-l;
x6
x2l2x2 - 3(rt + 1) ln (,r2
+ l)l
lr
J-tl
2r2 3(r2+l) .ln(r2+l)
1r2 + l) x1 x2 (,rr + l) ..ra
Umformungen: Im Zähler des Gesamtbruches de_n Hauptnenner rl + I bilden, den 2. Summand also mit .r2 + I
erweitem - Nenner x6 als Bruch schreiben: x6 - x6 ll + im Zähler den gemeinsamen Faktor ,r2 ausklammern
+ Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruches multiplizieren - gemeinsamen Faktor
2
kürzen.
"
f-
x.sinx * cosr
,r cos -r s1n ,Y
Der Quotient aus ,l - ,r . sin -{ + cos -r und L, - -r cos ,r - sin x wird nach der Quotientenregel differenziert
Die dabei benötigten Ableitungen u' und t.,' erhalten wir wie folgt mit Hilfe der Summen- wd Produktregel:
Zähler: u:x.sinx*cos,r-ap+cosr
* .__
ap
mit ct-x, d:sinx und a':1, F':cost
v.t - c,r.'ß
+ ß' c - sinx - 1 ' sinr t (cosl) ',r - sin,r - -rr'cos-r
Nenner: r::g sinx-ap-sin,r mit a-x,d:cnt" und a':7, ß':
aB
r.:t : ci'll + ß' d - cosx: I 'cosr * ( sinx) 'r - cos.t: -x sin,r
Somit gilt zusammenfassend :
u:x.sinx-l cosx. 'tJ:x.cos,y-sinx und u':x 'cosx, 'u'- -,t'sin-r
r6
-sinx
75