B Differentialrechnung

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Mit der Kettenregel folgt dann:
,dYdYdzl22
'
dx dz dx t+22 (l-r), (t*:2)(1-x)2
B Differentialrechnuns
Rücksubstitution z :
* t
I
fünn schließlich zur gesuchten Ableitung (wir bringen zunächst den im Nenner auftreten-
-r
den Ausdruck | + z2 auf eine möglichst einfache Form):
/r r ,\ 2
') (t 1l + - r)t -r)' (t -.r)r+(l +r')r
r+:2 r+(: -l:- .:
\l
--r,/
(l_.rt. (l - *)'
(1 ,)'
l_ 2r-,r2ll+2.rr,l'2
(l - ')'
Umformungen: Der erste Summand wird mit
(1*zu;1t-")2
Va + x' + 5
T .
) vo + x'
2
20 + x2)
(1 *
")t
(r
2 -l 2x'
(1 ,t)2 (1 ,)'
- :r) 2 erweiterl.
(l -
")'
(ot Konstante)
, 1'' :
'?
2 (l - .rr)
l t-r-
r'(3)
Zähler und Nenner des Bruches enthalten den gleichen Wurzelausdruck. Wir versuchen daher, diese Aufgabe mit Hilfe
der Substitution z - Ja + x2 zu lösen:
.t-
/-
Va + x' + J
_
5 - t/a'f rz
l:_ '
:t5 r a
mlt z-Va+x"
)-7
Die ciulSere Ableitung erhalten wir mit der Quotientenregel, die innere Ableitung über die Kettenregel:
ciuJJereAbleitung: r:'r*5-u mit u-215, r-' -5-: und u':1, tt':-1
5-: u
dy u'u-u'u 1(5-r) -(l)(;+5)
dz
u2
innere Ableitung:
(s - .) t
(5 ,')t
z:Ja+.')-vri mit r-a|_: 2
-'- t
5 - : r ; | 5 l0
4 : + + :-f - Z, : I : : (nach erlolgter Rücksubstitution r - a + x2)
dx dt dx Z\rt ,rt ,/;+r,
Die Ableitung der Ausgangsfunktion erhalten wir mit Hilfe der Kettenreg,el (erst y nach z differenzieren, dann z
nach x) mit anschließender Rücksubstitution:
'
, dy dy dz 10 .r l0r
l0x
dx dz. dr (5 - :)- t/u + x. (5 :):'r/o+;
\5 - r/a x2
)
l
l0
't/a + x2