B Differentialrechnung

72 B Differentialrechnung
1.4 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln
Sie benötigen beim Lösen der folgenden Aufgaben stets mehrcre Ableitungsregeln, meist die Produkt- oder Quotientenregel
in Verbindung mit der Kettenregel.
Hinweise
Lehrbuch: Band l, Kapitel IV.2.3 bis 2.5
Formelsammlung: Kapitel IV.3.3 bis 3.5
@
y: e."o"' t' : ?
Wir sub.stituieren den Exponenten, setzen also t - x .cos.r' und erhalten die elementare e-Irunktion:
y : er'cos.r +
Die Kettenregel ftihrt zunächst zu:
,,,-dY-dY.d!-^,.dt
' - d*- dt dr-" dr
.! : e' mit / : -r cos.t
Die innere Ableitung, d. h. die Ableitung von 1 : n cos -t nach x bilden wir mit Hilfe der Produktregel:
t:x.cos,rr:ill, mit Lt:x, u-cos.rr und u':1, u'- -sinx
TY
dt | | ,
u' u + tr'u : |
i:
'cosx t (-sinx) .r : cosr ,r sln-rr
Die gesuchte Ableitung lautet damit (nach erfolgter Rücksr-rbstitution):
Eft
fl!fl
-I'- e'
;:
e' (cos x - x' sinx) - (cosr -x'sinr) 'e'- (cos x - x' sinx) 'er'cosr
)(r) : A'e-ä''sin(ot + E) (A.ö.o,rp: Konstanten), .\''(1 :0) : ?
A bleibt als konstanter Faktor beim Differenzieren erhalten, das Produkt aus Exponential- und Sinusfunktion wird
nach der Produktregel differenziert:
!:A e-ö'.sin(rr.rt+q) -A(u'u) + j" -A(u'u+u'ti)
\,2-ull
Die dabei benötigten Ableitungen der Faktorllnktionen rr : e '5' und u : sin (at -t g) bilden wir wie folgt mit
Hilfe der Kettenregel'.
, du uu 0-
,: e-o' : e' mir z: _ öt .+ u' :* -4! ! -
tlt d: tlt "'
u - sin (r,t+cp)-sinz mit z.:attc! + ,'-#:#
#:
(-ö) : -ö.e
ör
@o*).al - (D cos (ott+E)