B Differentialrechnung
B Differentialrechnung B Differentialrechnung
10 B Differentialrechnuns Mit der Substitution u : 5-x- - 3r * I erreichen wir unser Ziel: die vorliegende Funktion wird in die elementare Kosinusfunktion übergeführt : )':cos(5r'_ 3xf l) + I:cosa mit u-5r2 -3xf I Dabeiist.)':cosu dieciu[\ere und u:5x2-3x ]- \ dieinnere Funktion. DieKettenregelliefert dann(erst wird -y nach r, dann u nach ;r- dift-erenziert)' , dY dY du t' - *: d, i: esina) (10x 3) - -(10.r - 3) .sina Die Räcksubstitution u : 5r) - 3r * I fühfi zur gesuchten Ableitung: f )'' : -(l0x - 3) . sin u : -(10x - 3) . sin(5-t2 - 3r+ t) ) : ln lcos (l - '2)1. y' : '/ Diese Aufgabe unterscheidet sich von den bisherigen dadurch, dass sie nicht mit Hilfe einer einzigen Substitution lösbar ist. Wir benötigen insgesamt :wel Substitutionen, die wir nacheinander von innen nach außen ausführen, um unser Ziel zu erreichen: l. Substirution: .r' : ln lcos (l ,t2)l : ln fcos u] mit r.r : I - -r2 Y 2. Substitution: y : ln f cos r.rl - ln u mit rr : cos a ':-' Somitgilt: ):lnu mit ?):cosu und a-l-.rl Alle drei Bestandteile (Funktionen) sind elementar cliJJbrcn:.ierltar. Die Kettenregel liefert dann (erst wird .r' nach u, dann 't, nach a und schließlich u nach -t differenziert): , dy dt dt,du | 2x.sinu .\' : , , . , = -.( slnrlJ \ lr) dx cl| au 4x t t' Rücksubstitution (u + u + x) liefert das gewünschte Ergebnis: -l , 2x.sinu 2x.sinu ^ 2x.tanu:2r.tan(1 -x2) 1l cos t/ a=?2) y:A.eo" *B el'-'+' (A,B,a.ä,c: Konstanten) , )'':' , )''(x-0) :'? III Es wird gliedweise differenziert. Die e-Funktionen rverden dabei durch die Suhstitutionen , : - ut2 bzw. r : - br + c in elementarc Funktionen übereefühft: ..1 It:A e-"- + lt:A'e'mit u--ax/ lz:B e-brrc + )z:B'e" mit r'- bxlc
Y I Ableitungsregeln tl Die Kettenregel liefert dann: , dYr d|t du l't : ,l .r : fr'^: A e" ' (-2ar) - 2ttAx e" , d)'z d). dt, !'-- fr: fr i: B'e" (-b): -bB'e" Nach Rür'frsubstitution erhalten wir schließlich die gewünschte Ableitung. Sie lautet: y'-',-'r+yi: -2aAx 'e"- bB'et': -2aAx . a'rr - bB'e h'rrt Ableitung an der Stelle r : 0: y'(x :0) : -2aA .0. e'' - hB . e' : -bB . e'' ) - /cos (5tt), )" - ? Mit Hilfe von :tlei Substitutionen gelingt es, die vorliegende Funktion in ihre clenrcriaren Bestandteile zu z,erlegen (wir substituieren von innen nach uu[3en): l.Substitution: ]-,f"r(5rf -Vtosu mit u-5x2 2. Substittttion: y : t'6ot, : vn mit r.) - cos r/ Y u Aus -r' : u6 mit u : cos u und rr : 5.r2 folgt clann mit Hilf'e der Kettenregel: , dY dY dt'du I 5x.sina )' -- ' , : , ' , ' , ' . { slnl'r) lu-r: dx dt. ctu dx 2{,. ,,f. Rücksubstitution in der Reihenfblge 'u- + u + x 1ührt zur gesuchten Ableitung: ,_ -5-r.sinu -5x.sinr_ Ji v6";; l - ln (ax + e'')a, -r''(t; : 7 - f r srn L ().r' ) Zunächst vereinfachen wir die Funktion unter Verwendung der logarithmischen Recltenrcgel ln c' : n . ln c'. }, = ln (a.r e*;a : 4 . ln (ax I e'; Die Substitution u : ax I e' führt dann zumZiel: l:4 'ln(ax{e') + )'-4.lnu mit u:zr.r*e' -,u Anwendung der Kettenregel und Rücksubstitution: ' , tl! dy tlu | 4(a * e') 4(a * e') , : , \u-! J dx du dr u u ax*ex - )'(1)
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Y<br />
I Ableitungsregeln tl<br />
Die Kettenregel liefert dann:<br />
, dYr d|t du<br />
l't :<br />
,l .r :<br />
fr'^:<br />
A e" ' (-2ar) - 2ttAx e"<br />
, d)'z d). dt,<br />
!'-- fr: fr i:<br />
B'e" (-b): -bB'e"<br />
Nach Rür'frsubstitution erhalten wir schließlich die gewünschte Ableitung. Sie lautet:<br />
y'-',-'r+yi: -2aAx 'e"- bB'et': -2aAx . a'rr - bB'e h'rrt<br />
Ableitung an der Stelle r : 0:<br />
y'(x :0) : -2aA .0. e'' - hB . e' : -bB . e''<br />
) -<br />
/cos (5tt), )" - ?<br />
Mit Hilfe von :tlei Substitutionen gelingt es, die vorliegende Funktion in ihre clenrcriaren Bestandteile zu z,erlegen<br />
(wir substituieren<br />
von innen nach uu[3en):<br />
l.Substitution:<br />
]-,f"r(5rf -Vtosu mit u-5x2<br />
2. Substittttion: y : t'6ot, : vn mit r.) - cos r/<br />
Y<br />
u<br />
Aus -r' : u6 mit u : cos u und rr : 5.r2 folgt clann mit Hilf'e der Kettenregel:<br />
, dY dY dt'du I 5x.sina<br />
)' -- ' ,<br />
:<br />
,<br />
'<br />
,<br />
'<br />
, ' . { slnl'r) lu-r:<br />
dx dt. ctu dx 2{,. ,,f.<br />
Rücksubstitution in der Reihenfblge 'u- + u + x 1ührt zur gesuchten Ableitung:<br />
,_ -5-r.sinu -5x.sinr_<br />
Ji v6";;<br />
l - ln (ax + e'')a, -r''(t; : 7<br />
- f r srn<br />
L<br />
().r' )<br />
Zunächst vereinfachen wir die Funktion unter Verwendung der logarithmischen Recltenrcgel ln c' : n . ln c'.<br />
}, = ln (a.r e*;a : 4 . ln (ax I e';<br />
Die Substitution u : ax I e' führt dann zumZiel:<br />
l:4<br />
'ln(ax{e') + )'-4.lnu mit u:zr.r*e'<br />
-,u<br />
Anwendung der Kettenregel und Rücksubstitution:<br />
'<br />
, tl! dy tlu | 4(a * e') 4(a * e')<br />
,<br />
:<br />
, \u-! J<br />
dx du dr u u ax*ex<br />
-<br />
)'(1)
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