B Differentialrechnung

10 B Differentialrechnuns
Mit der Substitution u : 5-x- - 3r * I erreichen wir unser Ziel: die vorliegende Funktion wird in die elementare
Kosinusfunktion übergeführt :
)':cos(5r'_ 3xf l) + I:cosa mit u-5r2 -3xf I
Dabeiist.)':cosu dieciu[\ere und u:5x2-3x ]- \ dieinnere Funktion. DieKettenregelliefert dann(erst
wird -y nach r, dann u nach ;r- dift-erenziert)'
, dY dY du
t' - *: d, i:
esina) (10x 3) - -(10.r - 3) .sina
Die Räcksubstitution u : 5r) - 3r * I fühfi zur gesuchten Ableitung:
f
)'' : -(l0x - 3) . sin u : -(10x - 3) . sin(5-t2 - 3r+ t)
) : ln lcos (l - '2)1. y' : '/
Diese Aufgabe unterscheidet sich von den bisherigen dadurch, dass sie nicht mit Hilfe einer einzigen Substitution
lösbar ist. Wir benötigen insgesamt :wel Substitutionen, die wir nacheinander von innen nach außen ausführen, um
unser Ziel zu erreichen:
l. Substirution: .r' : ln lcos (l ,t2)l : ln fcos u] mit r.r : I - -r2
Y
2. Substitution: y : ln f cos r.rl - ln u mit rr : cos a
':-'
Somitgilt: ):lnu mit ?):cosu und a-l-.rl
Alle drei Bestandteile (Funktionen) sind elementar cliJJbrcn:.ierltar. Die Kettenregel liefert dann (erst wird .r' nach u,
dann 't, nach a und schließlich u nach -t differenziert):
, dy dt dt,du | 2x.sinu
.\' :
, ,
.
, = -.( slnrlJ \ lr)
dx cl| au 4x t t'
Rücksubstitution (u + u + x) liefert das gewünschte Ergebnis:
-l
, 2x.sinu 2x.sinu ^ 2x.tanu:2r.tan(1 -x2)
1l cos t/
a=?2) y:A.eo" *B el'-'+' (A,B,a.ä,c: Konstanten) , )'':' , )''(x-0) :'?
III
Es wird gliedweise differenziert. Die e-Funktionen rverden dabei durch die Suhstitutionen , : - ut2 bzw.
r : - br + c in elementarc Funktionen übereefühft:
..1
It:A e-"- + lt:A'e'mit u--ax/
lz:B e-brrc + )z:B'e" mit r'- bxlc