B Differentialrechnung

7 

B Differentialrechnung 

llinweise für das gesamte Kapitel 

Ki.irzen eines gemeinsamen Faktors wird durch Grauunterlegzng gekennzeichnet 

1 Ableitungsregeln 

1.1 Produktregel 

Wir verwenden die Produktregel in der folgenden Form: 

Hinweise 

!: uu + !' : tt'u * u'u (r.r, u: Funktionen von x) 

Lehrbuch: Band l, Kapitel IV.2.3 

Formelsammlung : Kapitel IV.3.3 

, : (5x3 - 4x) (x2 * 5,y). )'' :'l 

Die vorliegende Funktion ist ein Prcdukt ats zwei Faktoren r.r und u, die jeweils von der Variablen x abhängen: 

Somit gilt: 

1 : (Sx3 - 4x) (x2 + 5r1 : uu 

u-5x3- 4r, r., ::r2+5x und u'=15r2_ 4, r:t'-2xI5 

Die Produktregel liefert dann die gesuchte Ableitung: 

y' : u'u + u'17 : (15x2 - a) ("t + 5r) + (2:r + 5) (5", - 4x) : 

- 15.14 

ll5r3 -4x2 _ 20x f 10-ra-8x2 125x3 20x-25xa + 10013- l2x2 _ 40x 

Anmerkung: Diese Funktion lässt sich auch ohne Produktregel differenzieren (Klammern ausmultiplizieren, anschließend 

gliedweise differenzieren). 

6l

62 B Differentialrechnung 

) : 't5 'ln,r, 

!' : ? 

Die Funktion ist ein Produftr der beiden Faktorfunktionen r./ : r s und 

) : rs .lnx : uu mit u: 1'5. u : ln-t und u' : 

YY 

Die Produktregel liefert die gesuchte Ableitung: 

!' : u'u + u'u - 5x4. lnx * l. tt : 5ra . lnx *xa 

!:4.sinx.tanx, l':'l 

Wir ,,zerlegen" die Funktion wie folgt: 

!:4.sin,r tanr:4(uu) 

\,/ \./ 

u 'I) 

u : ln x: 

-J,l 

'l r lt : - 

x 

- x"(5'lnx * l) 

Der konstante Faktor 4 bleibt beim Differenzieren erhalten. Dte Produktregel lautet daher in diesem Beispiel wie folgt: 

l'-4(u'u+u'u) mit u:sin.r, u-tanx uncl a/:cosx, 'u'- ]- 

!':4(u'uIu'u) 

COS - ,Y 

- sinx 

+(rorr tan**-]. ..ln*) 

tin.t): 

-+(.o* 

* 

\ cosr-r / \ cos,r costx,/ 

n ^,,^,,(, I \ :- cos2r+l 4.sinx1cos2x l) 

: + Slnr | | t - | + slnl - 

\ cos2r/ cos2l cos2x 

Anmerkung: Sie können den konstanten Faktor 4 auch in den Faktor u einbeziehen: 

!:4.sinx.tan"r:(4.sinr) tanr mit u:4.sinx und u:tanr- 

-,-\,/ 

uu 

y (cosr-sinx)'e* f':'l 

,,Zerlegung" der Funktion in ein Produkl aus zwei Faktorfunktionen r und u: 

y: (cosx - sin x).e' : uu mit il: cosr - sinx, L'- e'r und Lt' : -sinl - cosx, ut : e' 

Mit Hilfe der Produktregel erhalten wir dann: 

!' : u'u * u'" : (- sinx - cosr) . 

: (-sinx - cosr + cosr - sinx) 

" (cos x - sin x) 

-2 sin x e-'

- 

I Ableitungsregeln 

! - 2. e' arcsin.r. ) : ? l"(0) : t 

,,Zerlegung" der Funktion in ein Produkt: 

), :2'et arcsin "r - 2(e.' ' arcsirr.t) : 2(rru) 

T-- 

Der konstante Faktor 2 bleibt beim Differenzieren erhttlten. Mit 

t): E'', 't) - arcsinx und Ltt - e'. 

'I)t 

: -: 

rT *'z 

erhalten wir mit Hilfe der Produktregel die tblgende Ableitung: 

(r-\(r\ 

)'' 

:2(u'u:_u'tt)-2lr'' arcsin-t -l 

' 

-r''101 :2'e0 (arcsino + l) - 2'1(0 + l) :2 

y : vG 

. arctan r. ),' : 

Wr,,zerlegen" die Funktion wie folgt: 

- 

'e'|:2'e' 

{arcsin-Y+ ;'!} 

\ Jt-,' / \ t/t-,'/ 

'l 

y:li.arctanx:utr mit u:vG, t'-arctan'r und u' 

\2 --/ 

uu 

Mit Hilfe der Produktregel erhalten wir die gesuchte Ableitung: 

), : u,Lt l r', - +. arctanr + ;+, /i - 

*^t'ul't 

+-I- 

2\/E lfxr 2/i l+-r' 

Umformungen:Hauptnenner 2yfx (l +,r'r) bilden.cl.h.dieBrüchemit (l +x'; bzw 

):-ra e' coshx. .r'':l 

: 

t' 

I 

I +-r- 

(l+,t2) .arctanx!2x 

2 \/i (l + x2) 

2 y[ erweitenr 

Die vorliegende Funktion tst etn Prutdukt aus drei Faktorfunktionen r,, u und x.', die alle von der Variablen r abhängen: 

J: xa'et cosh 'Y: u1) x' 

\.J 

g..J 

--J 

u 'u ),1' 

, - *4. l' : Or, l,y - coshx und u' : 4r3. ?,' - e.t, w' - sinhx 

Mit Hilfe der Prcduktregel für drei Faktoren erhalten wir die folgende Ableitung: 

v' : u' trr.'t uttlu'+ Lt't,rr'' :4,r1 e-' coshx * -r4'e' cosh.r +.r4'e' sinh,r: 

: .r3 e'(4' coshx * x'coshx + -t'sinhx) 

63

64 B Dift-erentialrechnung 

Wir könnten diese Funktion mit Hilfe der Produktregel für drei Faktoren differenzieren: 

.y:5 (xr - 1) (2"r 1 l). sinx - 5 (ut:w) 

YY 

Günsti-eer ist es jedoch, die Funktion zunächst zn rereinfacherr (ausmultiplizieren der ersten beiden Falitoren): 

I :5(r2 - t)(2x + l) .sin-r - -5(2xr + x2 - 2r l) .sinx 

Wir haben jetzt ein Produkt aus nur :wel Faktorfunktionen (der ktnstante Faktor 5 bleibt beim Diffelenzieren erhalten)'. 

,v - 5(2.tr +x2_- 2.r - 1) g 

- 5(ar) 

tt:2x3+12-2x l, ,.,-'rrn.r und u':6x2r2x-2-2(3.r-2+-y l), o/:cos.r 

Die Produktregel frjr zwei Faktoren liefert jetzt die gewünschte Ableitung: 

)" - 5(u'r;+u'u):512(3x2 +-r l) .sin,r'+cos.t.(2.r3 tx2 - 2r- l)] 

AbleiturrganderStelle r-ir'. :''(n)- 5[2(3n2+n -l).sinir+cosn.(2n3+n2 2r-l)l-, 

:-Y 

1.2 Quotientenregel 

Wir verwenden die Quotientenregel ir.r der folgenden Form: 

Hinweise 

u 

y:; + t* 

Lehrbuch: Band l. Kapitel 1V.2.4 


tr 

Lr'u - 'rJ'u 

oz 

- -.5 (2 ft3 + rr: - 2x l) : - 322,995 

(a. u: Funktionen von x) 

Die vorliegende Funktion ist der Quotient aus u - -r 2 und r' - I - ,r'l : 

x2 

),:l_r.:+ mit ,:*2. t.,:l 

Die Quotientenregel lieferl dann: 

, r.t'I; - 1)'y 2.t(l 

../ _'- ' 

'v - 

- 

,- 

"l 

und u' -2x.'u'-_2x 

- (- 2x) 12 2r - 2xi I 2r3 2r 

"2) 

(' -..r)r 

1l -...,)t (t -rf-

ttr-- 

I Ableitungsregeln 65 

cos -t 

'Y2 l':?, ),'(n) -7 

Die vorliegende Funktion ist der Quotient der Funktionen ü - cos r und t,' : 

)-: 

r 

' n: 

tot-t ' 

- mit a: cosJ, 'rt: 12 und ,'- sinr. 1,t' 

x' u 

Dre Quotientenregel führt zu der fblgenden Ableitung: 

,r _ tlt't) - t)t Lt (-sin x) ' ;r2 - 2-r ' cos x 

' 

u2 x4 

(-r . sinx - 2 . cosx) x _ x sin-r - 2 cos,t 

x3x 

Ableitung an der Stelle x 1r'. 

,r' (z) - - 

t[- 

z.sinnI 2.cosit 

lnx 

f 

-r3 

2.0*2 (-l) 

1 

-,r2 sin ,r. - 2r . cos,r 

,r4 

')* 

x.sinx -.1- 

2.cosx 

aa 

-3 13 

Zähler u und Nenner o dieses Quotienten sind elementare Funktionen mit bekannten Ableitungen: 

r.r : ln,r, ,, : Ji + u, : !, ,.,, : 

I 

zvx 

Die gesuchte Ableitung erhalten wir mit Hilf'e der Quotientenre,qel'. 

rr1 ll 

. \.\. _ _ .ln.I 

x 2li li 2 \/'x 

.{l 

, 2 lnx 

ln,r 

2\/i 2-lnr 2 - lnx 

, ut lr - 1r'tt 

, 

,,2 

, -. 1 

(/r)- 

r z \/x /'x \/x 

Umformungen: Bruch im Zähler mit dem Kehnuert des Nennerbruches multiplizieren 

2.cos-r - sinr 

cosx + 2' sinx' 

v'(tl2) - ! 

DievorliegendeFunktionistderQuotier?/ausdenFunktionen 

u:2.cos-r sinx und u:cosx*2.sinx: 

Somit gilt: 

2 .cosx - sin x u 

' - cosr * 2.sinr i' 

u -2. cos-r - sinx, ?i : cosrf 2. sin-r und u' - 2. sinr - cosr, .ü' : -sinxi2. cosx 

T

Bei genauerer Betrachtung der Ableitungen a' und u' fällt auf, dass rz' - u und u' : u ist: 

u'- -2.sinr-cosr: -(2.sin-r*cosx) - (cos,r*2.sinr) : -t., 

-,-/ 

.U 

u' : -sinx* 2'cosx - 2. cosr sinx - u 

- 

Die Quotientenregel lautet dann unter Berücksichtigung dieser Beziehungen wie fblgt: 

,, _u'n-'u'u _(-r;)r:t - tru 

_-u2 u2 

' 

u2 u2 

,u2 

-(u2 +u2) _ _u2 +t,2 

t2 

,u-2 


Ftir den Zähler dieser Bruches erhalten wir unter Verwendung des ,,trigonometrischen Pythagoras" sin 2 x f cos 2 

u2 + u2 : (2. cosx - sin,r) 

2 * (cos x l. 2. sinr) 2 : 

: 4 .cos2 

r - 4.cos-r .sinx f sin2r -| cos2" * 4 .cos,r.sin x l4.sin2x 

: 5.cos2x f 5.sin2.r:51cosrr * sin'-r) - 5 

-l 

Die gesuchte Ableitung lautet damit: 

J-l 

I 

1,7 

u-+u- 

'lt - 

(cos .r * 2 . sin ,r) 2 

An der Stelle x - nl2 besitzt die Ableitung den folgenden Wert: 

' 

v'(n 12) - 

' 

lcos(nl2) * 2.sin (nl2))t 

-v- -/J 

x3 -2x+5 

x2 - 4x * l' 

1^ 

x'-lx!J u 

x2-4x* I ü 

tlll t 

Die Quotientenregel liefert die gesuchte Ableitung: 

5 

(o.rr 

Lt,L) _ Lt,, (3*t 2) (*, - 4x -t 1) - (2* - 4) ("t - 2x i 5) 

u2 (-r2-4-r+1)2 

r - 2,r + 5, t, :.t2 - 4r * l, u' :3x2 

3xa - l2r3 +3x2 -2x2 +8x 2 (2x4,4x2 -f l0r - 4r3 + 8r- 20) 

(yz,4x- t)2 

3xa - l2x3 +x2 + 8x -2 - (2ro - 4x3 -4x2 + l8x 20) 

(xz-4r+1)2 

3ra_12x3+-r2+g" 2 2xa *,lxr+4r2 _lg:r*20 

: 

" : 

xa - 8-rl -l- 5x2 - 10x * 18 

(x2-4xIl)2 (x2-4x+l)2


1.3 Kettenregel 

Dre Kettenregel ist eine Substitutionsregel. Mrt Hilfe einer geeigneten Substitution wird die vorgegebene Funktion 

y :.f(-t) zunächst in eine elementar dffirenzierbare Funktion I - F (u) der,,Hilfsvariablen" r.r übergefrihrt. Dann 

gilt (Kexenregel): 

J 

dY dY du 

- dx- du dx 

Anschließend wird rücksubsütuiert. 

Hinweise 

oder ),' : F'lu) ' u'(x) (,,äußere Ableitung mal innere Ableitung") 

(l) In manchen Fällen müssen mehrere Substitutionen nacheinander durchgeführt werden, bis man auf eine elementar 

differenzierbare Funktion stößt. 

(2) Lehrbuch: Band 1, Kapitel 1V.2.5 


y:(4x2 -2x+ l)5 

Durch die Substitution u:4xt 

seführt: 

- 2.r l1 wird die vorliegende Funktion in eine elementure Potenzfunktion über- 

\:us mit lr-rl.rz 2xll 

!: u5 ist dabei OL urLr"*, u:4xz - 2r * | dre innereFunktion. Beide Funktionen sind elementar diJJerenzierbar. 

Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir zunächst: 

, dy d1 du . r 

J'' :;:; 

sr'* 18r 

^- 

- 2):5u4'2(4x 1) : 10(4r - 1)'ua 

Rücksubstitr.ttion (u:4x2 

- 2x I l) führt zurgesuchten Ableitung: 

r'' : lO(ax - l)rra - lo(a.r - 1) (4rt -2r + l)a 

Antnerkung: Die Funktion lässt sich auch ohne Kettenregel differenzieren (Binom auflösen, dann gliedweise differenzieren). 

Dieser Weg ist jedoch auf'wendig und daher nicht zu empfehlen (überzeugen Sie sich selbst). 

Wir vereinfachen die Funktion zunächst wie folgt: 

.v ln /4- - f: ln(-lr-"t)'' 

I 

2 

ln (4-r - -r 2) (Rechenregel.' ln a" - n . ln a)

Mit Hilfe

Y 

1 Ableitungsregeln 69 

I- 

t:4 /.' 

* rÄ. )' :',-, )''(": l) :'l 

Mit der Sub.stitutiott u : .r' -|_ ,,,/x (Wurzelradikand) err-echnen wir unser Ziel: die Funktion wird in zwei elemenlar 

differen:ie rbare Bestandteile (ciufi ere und irtn e re Funktion) zerlegt : 

!:4.tfrz+lx + y:4.ytr mit ,-.r2+vG 

-v- 

u 

Wir wenden die Kettenregel an (äuJ3ere Ableitung mal innere Ableitung) 

, dy dy tlu , l /^ I \ 4 4xvG+l 4xvG+l 4xrG+l 

' 

dr du d.r 2\/n \ 2rl.*/ ,/n 4Ji Ji vn vEi 

Rücksubstitution (u : *2 + ,/i ) liefert das gewtinschte Ergebnis: 

! 

, 4rvC+l 4xy'x+l 4rrG+| 

--- 

"En 

Ableituns, an der Stelle r : | : 

1'(r : 1) 

4.tJ\+t 4+l svA 

- - 

vl3+1/1 

r(rr + v4) x:+xvA 

'/, yo I; la 

v:vt 

Zeigen Sie: .r : l/(")l' + )' : n 

' 

l.f(")1" 

.f '(r) 

Wenden Sie diese Ableitunesformel an auf: a) r' - sina x 

r1 

ut \' : ln'r 

Mit der Strb.stitution u : .f (x) wird die gegebene Funktion auf die eLementur tli.fferenz.ierbare Potenzfunktion y - y" 

zunickgeführt: 

l'-, l"f(")]" + !: tt" mit ,: f(r) 

Y 

! : u" ist dabei die tiuJ3erc, u : f (x) die innere Funktion. Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir: 

, dy dv tlu ,, I 

-y ,:, ,-:n u" ''./(*) 

dx du dx 

RücksubstitLttion u : f(,r) führt dann zu dem gewünschten Ergebnis: 

,,t .- n 17n 

' ..f '(,t) : nlf (x)1" ' .f '(r) 

Anwendungsbeispiele 

4 .J 

al ) Sln -{: (sln.\'l 

r-3 '3 

Dl .}J: In-r: (rnxJ 

v u 

u 

+ 

+ )'' : -l(sinr)-t cos.i- - 4. sin3r cost 

/ \., , I 3 ln2.r 

.\. = J{tnfl_ 

r .r

10 B Differentialrechnuns 

Mit der Substitution u : 5-x- - 3r * I erreichen wir unser Ziel: die vorliegende Funktion wird in die elementare 

Kosinusfunktion übergeführt : 

)':cos(5r'_ 3xf l) + I:cosa mit u-5r2 -3xf I 

Dabeiist.)':cosu dieciu[\ere und u:5x2-3x ]- \ dieinnere Funktion. DieKettenregelliefert dann(erst 

wird -y nach r, dann u nach ;r- dift-erenziert)' 

, dY dY du 

t' - *: d, i: 

esina) (10x 3) - -(10.r - 3) .sina 

Die Räcksubstitution u : 5r) - 3r * I fühfi zur gesuchten Ableitung: 

f 

)'' : -(l0x - 3) . sin u : -(10x - 3) . sin(5-t2 - 3r+ t) 

) : ln lcos (l - '2)1. y' : '/ 

Diese Aufgabe unterscheidet sich von den bisherigen dadurch, dass sie nicht mit Hilfe einer einzigen Substitution 

lösbar ist. Wir benötigen insgesamt :wel Substitutionen, die wir nacheinander von innen nach außen ausführen, um 

unser Ziel zu erreichen: 

l. Substirution: .r' : ln lcos (l ,t2)l : ln fcos u] mit r.r : I - -r2 

Y 

2. Substitution: y : ln f cos r.rl - ln u mit rr : cos a 

':-' 

Somitgilt: ):lnu mit ?):cosu und a-l-.rl 

Alle drei Bestandteile (Funktionen) sind elementar cliJJbrcn:.ierltar. Die Kettenregel liefert dann (erst wird .r' nach u, 

dann 't, nach a und schließlich u nach -t differenziert): 

, dy dt dt,du | 2x.sinu 

.\' : 

, , 

. 

, = -.( slnrlJ \ lr) 

dx cl| au 4x t t' 

Rücksubstitution (u + u + x) liefert das gewünschte Ergebnis: 

-l 

, 2x.sinu 2x.sinu ^ 2x.tanu:2r.tan(1 -x2) 

1l cos t/ 

a=?2) y:A.eo" *B el'-'+' (A,B,a.ä,c: Konstanten) , )'':' , )''(x-0) :'? 

III 

Es wird gliedweise differenziert. Die e-Funktionen rverden dabei durch die Suhstitutionen , : - ut2 bzw. 

r : - br + c in elementarc Funktionen übereefühft: 

..1 

It:A e-"- + lt:A'e'mit u--ax/ 

lz:B e-brrc + )z:B'e" mit r'- bxlc

Y 

I Ableitungsregeln tl 

Die Kettenregel liefert dann: 

, dYr d|t du 

l't : 

,l .r : 

fr'^: 

A e" ' (-2ar) - 2ttAx e" 

, d)'z d). dt, 

!'-- fr: fr i: 

B'e" (-b): -bB'e" 

Nach Rür'frsubstitution erhalten wir schließlich die gewünschte Ableitung. Sie lautet: 

y'-',-'r+yi: -2aAx 'e"- bB'et': -2aAx . a'rr - bB'e h'rrt 

Ableitung an der Stelle r : 0: 

y'(x :0) : -2aA .0. e'' - hB . e' : -bB . e'' 

) - 

/cos (5tt), )" - ? 

Mit Hilfe von :tlei Substitutionen gelingt es, die vorliegende Funktion in ihre clenrcriaren Bestandteile zu z,erlegen 

(wir substituieren 

von innen nach uu[3en): 

l.Substitution: 

]-,f"r(5rf -Vtosu mit u-5x2 

2. Substittttion: y : t'6ot, : vn mit r.) - cos r/ 

Y 

u 

Aus -r' : u6 mit u : cos u und rr : 5.r2 folgt clann mit Hilf'e der Kettenregel: 

, dY dY dt'du I 5x.sina 

)' -- ' , 

: 

, 

' 

, 

' 

, ' . { slnl'r) lu-r: 

dx dt. ctu dx 2{,. ,,f. 

Rücksubstitution in der Reihenfblge 'u- + u + x 1ührt zur gesuchten Ableitung: 

,_ -5-r.sinu -5x.sinr_ 

Ji v6";; 

l - ln (ax + e'')a, -r''(t; : 7 

- f r srn 

L 

().r' ) 

Zunächst vereinfachen wir die Funktion unter Verwendung der logarithmischen Recltenrcgel ln c' : n . ln c'. 

}, = ln (a.r e*;a : 4 . ln (ax I e'; 

Die Substitution u : ax I e' führt dann zumZiel: 

l:4 

'ln(ax{e') + )'-4.lnu mit u:zr.r*e' 

-,u 

Anwendung der Kettenregel und Rücksubstitution: 

' 

, tl! dy tlu | 4(a * e') 4(a * e') 

, 

: 

, \u-! J 

dx du dr u u ax*ex 

- 

)'(1)


1.4 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln 

Sie benötigen beim Lösen der folgenden Aufgaben stets mehrcre Ableitungsregeln, meist die Produkt- oder Quotientenregel 

in Verbindung mit der Kettenregel. 

Hinweise 

Lehrbuch: Band l, Kapitel IV.2.3 bis 2.5 

Formelsammlung: Kapitel IV.3.3 bis 3.5 

@ 

y: e."o"' t' : ? 

Wir sub.stituieren den Exponenten, setzen also t - x .cos.r' und erhalten die elementare e-Irunktion: 

y : er'cos.r + 

Die Kettenregel ftihrt zunächst zu: 

,,,-dY-dY.d!-^,.dt 

' - d*- dt dr-" dr 

.! : e' mit / : -r cos.t 

Die innere Ableitung, d. h. die Ableitung von 1 : n cos -t nach x bilden wir mit Hilfe der Produktregel: 

t:x.cos,rr:ill, mit Lt:x, u-cos.rr und u':1, u'- -sinx 

TY 

dt | | , 

u' u + tr'u : | 

i: 

'cosx t (-sinx) .r : cosr ,r sln-rr 

Die gesuchte Ableitung lautet damit (nach erfolgter Rücksr-rbstitution): 

Eft 

fl!fl 

-I'- e' 

;: 

e' (cos x - x' sinx) - (cosr -x'sinr) 'e'- (cos x - x' sinx) 'er'cosr 

)(r) : A'e-ä''sin(ot + E) (A.ö.o,rp: Konstanten), .\''(1 :0) : ? 

A bleibt als konstanter Faktor beim Differenzieren erhalten, das Produkt aus Exponential- und Sinusfunktion wird 

nach der Produktregel differenziert: 

!:A e-ö'.sin(rr.rt+q) -A(u'u) + j" -A(u'u+u'ti) 

\,2-ull 

Die dabei benötigten Ableitungen der Faktorllnktionen rr : e '5' und u : sin (at -t g) bilden wir wie folgt mit 

Hilfe der Kettenregel'. 

, du uu 0- 

,: e-o' : e' mir z: _ öt .+ u' :* -4! ! - 

tlt d: tlt "' 

u - sin (r,t+cp)-sinz mit z.:attc! + ,'-#:# 

#: 

(-ö) : -ö.e 

ör 

@o*).al - (D cos (ott+E)


Die gesuchte Ableitung lautet damit: 

!':A(u'ulu'u):41 ö.e Ö' sin(attE) +@.cos(a.rt+E).e "] - 

: A. e "[-ö 

. sin(ct,t + q) | r, . cos (@t + q)l 

]'(r - 0) : A'e0[-ö'sin q.+ @ 'cosE] : A(-ö'sin cf * to 'cosE) 

.y : e ." 'ln (xr + l) 

Es liegt ein Produkt aus awer Faktoren a und u vor: 

.\ e-" .ln 1.rr I l) - ut, 

\,2-,uIl 

Wirbenötigendaherdie Procluktregel,beimDifferenzierenderbeidenFaktorJunktionen ,l : e '" und u - ln (x3 + l) 

jeweils auch die Kettenregel: 

rr LlIt aILI Ut ^ _.2 

tl : e \ : e' mit r: -x: + ,' :*:l; 

*: 

r'.(-2") 

- -2.r e-' 

o: ln(x3 + t): lnz mit z: + I + ,,' -+ -+ 

Or' 

: !.3x2 : :t 

"3 dx d:. dx : .r3+l 

Unter Berücksichtigung dieser Ableitungen liet-ert dann die Proclukrregel das gewiinschte Ergebnis: 

!, : r,u; u,u- -2x. e-".1n(x3 + l; ' +.tt', ..,' - (-2r.ln(,r3+ t; * ltt-) .'l 

xr*l \ rrll/ 

/t r -\ 

,tr: arctan (=") )''(3) : .' 

\r 

^ / 

wir wählen clte Substitu tion z : 

| -l- x 

,i 

und zerlegen damit die vorliegende Funktion in eine elementare ciu{3ere ttnd 

eine (gebrochenrationale) lnnere Funktion: 

/l +x\ I *r 

y-arctanl, | + )-arctan: mlt:-t_. 

\l x/ 

Die cil(3erc Funktion ) : arctan z besitzt bekanntlich die Ableitung 

dv 1 

dz I I 2.2 

Die Ableitung der inneren Funktion erhalten wir rnit Hilfe der Quotientenregel: 

z:t 

I +x u 

r-u- 

mit u:1*r. u:1-;r und u'-1. r,':-l 

dz ,,L) _Is,u l(l x) -( l) (t+_r) t_r+l*x 2 

dx - 

- 

; 

,' \ _ -,''- 

) (l - 2 

t)2 (l ..) 

aa 

t)

74 

Mit der Kettenregel folgt dann: 

,dYdYdzl22 

' 

dx dz dx t+22 (l-r), (t*:2)(1-x)2 

B Differentialrechnuns 

Rücksubstitution z : 

* t 

I 

fünn schließlich zur gesuchten Ableitung (wir bringen zunächst den im Nenner auftreten- 

-r 

den Ausdruck | + z2 auf eine möglichst einfache Form): 

/r r ,\ 2 

') (t 1l + - r)t -r)' (t -.r)r+(l +r')r 

r+:2 r+(: -l:- .: 

\l 

--r,/ 

(l_.rt. (l - *)' 

(1 ,)' 

l_ 2r-,r2ll+2.rr,l'2 

(l - ')' 

Umformungen: Der erste Summand wird mit 

(1*zu;1t-")2 

Va + x' + 5 

T . 

) vo + x' 

2 

20 + x2) 

(1 * 

")t 

(r 

2 -l 2x' 

(1 ,t)2 (1 ,)' 

- :r) 2 erweiterl. 

(l - 

")' 

(ot Konstante) 

, 1'' : 

'? 

2 (l - .rr) 

l t-r- 

r'(3) 

Zähler und Nenner des Bruches enthalten den gleichen Wurzelausdruck. Wir versuchen daher, diese Aufgabe mit Hilfe 

der Substitution z - Ja + x2 zu lösen: 

.t- 

/- 

Va + x' + J 

_ 

5 - t/a'f rz 

l:_ ' 

:t5 r a 

mlt z-Va+x" 

)-7 

Die ciulSere Ableitung erhalten wir mit der Quotientenregel, die innere Ableitung über die Kettenregel: 

ciuJJereAbleitung: r:'r*5-u mit u-215, r-' -5-: und u':1, tt':-1 

5-: u 

dy u'u-u'u 1(5-r) -(l)(;+5) 

dz 

u2 

innere Ableitung: 

(s - .) t 

(5 ,')t 

z:Ja+.')-vri mit r-a|_: 2 

-'- t 

5 - : r ; | 5 l0 

4 : + + :-f - Z, : I : : (nach erlolgter Rücksubstitution r - a + x2) 

dx dt dx Z\rt ,rt ,/;+r, 

Die Ableitung der Ausgangsfunktion erhalten wir mit Hilfe der Kettenreg,el (erst y nach z differenzieren, dann z 

nach x) mit anschließender Rücksubstitution: 

' 

, dy dy dz 10 .r l0r 

l0x 

dx dz. dr (5 - :)- t/u + x. (5 :):'r/o+; 

\5 - r/a x2 

) 

l 

l0 

't/a + x2


} : 

ln (r2 + l) 

', 

, 

Die vorliegende Funktion ist ein Quotient und lässt sich daher nach der Quotientenregel differenzieren: 

y: 

ln(x2+l) u 

: - mit u: ln (r2 + t). ,, - -r3 unil u' - ?. ,u' :3x2 

f 

uL 

Die noch fehlende Ableitung der Zählerfunktion a : ln (.r t + t) erhalten wir mit Hilfe der Kettenregel: 

u:ln(x2+t) 

t 

:11 1 mit t-x2 

(nach erfolgter Rücksubstitution r : rl * l,). Somit gilt zusammenfassend: 

u:ln(x2+t), u:-r3 und u'- 2'-, r":3x2 

Die Quotientenregel liefer'tdann die gewünschte ;;; 

f- 

, ü''u - 1)'tl 

)r 

x2+l 

1)' x6 

+| 

2xa - 3x21xr + l) .ln 1xr ' l1 

x2+l 

ro 

t I 

.*r-3x2.|n1x2 l) 

xz l2r' - 3 ("' + 1) ln (;r2 + 1)] 

+ 

' tltt du dt I ^ 2x 2x 

zx:7-rr+I 

":,lr-,tt'd-:7 

1 ,.4 

-" 

:r2+l 

-3xr.lntx2-l; 

x6 

x2l2x2 - 3(rt + 1) ln (,r2 

+ l)l 

lr 

J-tl 

2r2 3(r2+l) .ln(r2+l) 

1r2 + l) x1 x2 (,rr + l) ..ra 

Umformungen: Im Zähler des Gesamtbruches de_n Hauptnenner rl + I bilden, den 2. Summand also mit .r2 + I 

erweitem - Nenner x6 als Bruch schreiben: x6 - x6 ll + im Zähler den gemeinsamen Faktor ,r2 ausklammern 

+ Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruches multiplizieren - gemeinsamen Faktor 

2 

kürzen. 

" 

f- 

x.sinx * cosr 

,r cos -r s1n ,Y 

Der Quotient aus ,l - ,r . sin -{ + cos -r und L, - -r cos ,r - sin x wird nach der Quotientenregel differenziert 

Die dabei benötigten Ableitungen u' und t.,' erhalten wir wie folgt mit Hilfe der Summen- wd Produktregel: 

Zähler: u:x.sinx*cos,r-ap+cosr 

* .__ 

ap 

mit ct-x, d:sinx und a':1, F':cost 

v.t - c,r.'ß 

+ ß' c - sinx - 1 ' sinr t (cosl) ',r - sin,r - -rr'cos-r 

Nenner: r::g sinx-ap-sin,r mit a-x,d:cnt" und a':7, ß': 

aB 

r.:t : ci'll + ß' d - cosx: I 'cosr * ( sinx) 'r - cos.t: -x sin,r 

Somit gilt zusammenfassend : 

u:x.sinx-l cosx. 'tJ:x.cos,y-sinx und u':x 'cosx, 'u'- -,t'sin-r 

r6 

-sinx 

75

76 

Die Quotientenregel liefert dann die gesuchte Ableitung: 

,r 

Ltt.t) - I)trr r'cosx(r'cos-t - sin:r) - (-'t'sinx) (x'sinx * cosx) 

_ 

u2 (-l . cos .r - sin x) r 

x2 cos2 t - t 'cosx.sinr f ,r2 .sin2-t + -r.sin,r cosr 

(x ' cos .r - sin .r) l 

x2(cos2x + sin2.r) t2 

(-r.cosx - sinr) 2 

(x.cosr - 2 

sin.r) 

(unter Verwendung des ,,trigonometrischen Pythagoras" cos2 x + sin2 x - 1). 

x2-a2 

- 

a'tx' 

(c: Konstante) 

, 


(x . cos ,r - sin .r) 2 

Wir substituieren den Radikand der Wurzel und führen damit die gegebene Funktion auf eine elementare Wurzelfunktion 

zurück: 

4:,, 

CIX 

x2-a2 

ü 

-u't)-t)'t't 

't)/ 

Mit der Kettenregel folgt dann: 

:dv:dv.dz 

dx dz dx 

: Za-x 

Z 

Y : \f? mit 

(a2 + r2)2 

_2 .,2 

"z 

1a2 r 

(a'*.1-)- 

* ^-z 

Die gesuchte Ableitung erhalten wir dann mit Hilfe der Kettenregel (erst ,) nach : differenzieren, dann z nach .r). 

Die,,äußere" Funktion ), - Ja ist elementur differenzierbar: 

dv I 

L \/2. 

Die Ableitung der gebrochenrationalen 

,,inneren" Funktion efolgt mit der Quotientenregel'. 

x2-a2 u 

,:;-* 

j:; 

a2+x2 

mit u: t2 - a2. 't) 

: d' + *t und u' :2x, r:' :2t 

I 

2 

2x1rt2 t *2) 2x(xr o:) 2a2 x + 2x3 2x3 + 2a2 r 

T. 

lo' t x- 

\/ U 

v,r' 

0- 

(r' - o') (a2 + r2)3 

2a2 x 

a2 + ,r2 

^l 

^ 

/(,rt 

(a2 + x2)2 

a2+x2 

o2) (o2 + r2)4 

I 

- a2) (.a' + ,t) (.a2 + x2)2 

,/.0- x 

(a2 + x2) . (tr2 x:) - - v;t - 

02) or 

@2 

U 

a- 

Umformungen: (ot *')t mit lo2 - 12JJ unrer die Wurzel hringen 

verbliebenen Faktor (a t * durch a2 + x2 kürzen r aus dem 

' 

+ ,') die Teilwurzel ziehen. 

A ) 

-


1.5 Logarithmische Ableitung 

Die Funktion wird zunächst Logarithmiert, dann diJJbrenziert 

Hinweise 

Lehrbuch: Band l, Kapitel IV.2.6 


.. (" l\' .., - , 

,':1:+ | ) 

\ ,{./ 

1. Schritt: Beide Seiten logarithmieren: 

rn) n(z :)'-* rn(,.+) 

" 

\ x/ \ x, 

2. Schritt: Beide Seiten nach ,r differen:ieren'. 

(Ret henr,'gel : ln an n . ln o) 

Linke Seite: ; : ln "y mit I - "f(r) 

Da y eine von -r abhängige Funktion ist, muss nach der Kettenregel dill'erenziert werden: 

und u':7. u'--l 

Diese Funktion wird mit Hilfe der Produktregel diff'erenziert. Vorher müssen wir noch die Ableitung u' des rechten 

Faktors bestimmen. Dies geschieht wie folgt nach der Kettenregel'. 

Demit oilt' 

/ l\ 

u:ln(z*-)-tn(2+x 

\ 

jr, -- 

, dr dt' dt I ' 

. I r '\ 

' 

dx dt dx / 

' 

') :lnr mit r:2tr 

u:x. r':rn(,t*l) un


) - x'o" (* > 0) , 

Die vorliegende Funktion ist weder eine Potenz- noch eine Exponentialfunktion, da Basis (x) und Exponent (cos;r) 

von der Variablen x abhängen. Wir können daher weder die Potenzregel noch die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen 

anwenden. 

1. Schritt: Durch Logarithmieren beider Seiten lässt sich der Potenzausdruck der rechten Seite in Produkt verwandeln. 

dass leicht über die Produktregel differenziert werden kann: 

lny : Inrtot' : cosx .lnx (Rechenregel: lna' - n.lna) 

2. Schritt: Beide Sejten werden nach r diff'erenziert. Beim Differenzieren der linken Seite ist zu beachten, dass _), 

eine von r abhängige Funktion ist (y :./(.r)). Der Tem : - ln)' muss daher nach der Kettenregel differenziert 

werden (erst z nach y differenzieren, dann .y nach -t): 

z:ln.v mit y:IG) 

, dz dz d.,- | | 

'l 

" 

dx ,ly dx l' 

Die Ableitung der rechten Seite erfolgt mit Hilfe der Produktregel: 

Damit gilt: 

z: cosx lnx :uu mit 4:cos,r. 'u- 

\/ 

u 

\,2 

'L) 

z.' : Lr'u * ut u 

)r/_-x'sinx'lnxfcosx 

x 

! 

I 

: -s1nr ln-t -l- -.cosx - 

r 

{ 

) 

lnx und a' : -sinx. 

x.sin,r lnr + cosx 

-x.sinx'lnx * cosr -x.sin-r lnx + cosr . rcos.r 

: (-x.sinx.lnr f cosr) .x ' 

a, Ät c0sJ 

1. Schritt: Beide Seiten logarithmieren: 

)' :'/, y'(t) - 7 

rcosr l 

" 

,t"x.lnr*cosr) 

lny: lner'cosr: (r.cosx) .lne: r cosr (Rechenregel: ln e' : n) 

2. Schritt: Jetzt beide Seiten der logarithmierten Gleichung nach -r dffirenz.ieren'. 

Linke Seite: Kettenregel anwenden, da y von ,r abhängt: 

z:lny mit l:"f(x) + 

Rechte Seite : Produktregel anwenden'. 

, dz. dz. dY 

" 

dr dy dx 

I 'l r' 

z:x.cos-r:au mit u:x. u-cosr und u':1,'L)': sinx 

+\/ 

uu 

)l.v 

z' - u'u + u'u : | .cosx* (-sin;r).r - cosx -r sinx 

1 

x 

l) 

"(cosr

1 Ableitungsregeln 19 

Somit ist: 

v' - : cos -r - "r 

) 

sln,T + 

t/-(cos-t -r sin-r').1--(cosr ,r sin,r) .etcosl 

y'(rr): (cosz-z'sinrr) sr'ct'sz-(-1-2.0) .erl t) - e '7 

Anmerkung: Diese Aufgabe lässt sich auch mit Hilf'e der Ketten- und Produktregel lösen (siehe Aufgabe 825). 

1,2 - (sin-{) 

rn" : 0 (.r > 0). r.' : ? 

Zunächst stellen wir die Gleichung wie folgt um: r, l : (sin -r) 1," 

1. Schritt: Beide Seiten werden logttrithmiert: 

lny2: ln(sin,r) 

ln' 

+ 2.lny - ln.r.ln(sinr) (Rechenregel: lna,, : n.lnu) 

2. Schritt: Jetzt werden beide Seiten der logarithntierten Gleichung nach .r clffirert:1ert.. 

Linke Seite: Kettenregel anwenden, denn ,l ist eine von r abhängige Funktion: 

z:2.lny mit -r':./(.r) + ,'-'fi:f 

Rechte Seite : Produktregel anwenden : 

z : ln.r'ln(sin x) : uu mit r.r : In.r-. 

\/ -,uLl 

Die noch unbekannte Ableitung 

r., : ln (sin x) : 1n 1 

\'z 

t 

Die Produktregel liefert dann mit 

a : ln.r, c, : ln (sinx) und ,' : L, u/ - cotr 

die gesuchte Ableitung der rechten Seite: 

!, : u,u + It,, : (sinr) + cot_r . lnr : 

+.h 

Somit erhalten wir für )'/ den folgenden Ausdruck: 

,r' _.ln (sinx) -F r . cotr . lnx 

,yx 

#:, ,f 

,,:] ,., 

u-ln(sin-r) und u'-\. t:':'/ 

r' des rechten Faktors erhalten wir mit der Kettenregel: 

mit r: sin,r :+ ,,, -4):4 

u.' 

- !.cos,{: "' iI: corr 

tlx dt dx t 

sinr 

, 

ln (sinx) *.r .cotx . ln-t 

ln(sinr) *r ccltx.lnx 

1" hängt noch votl -t tutd y ab. Durch Auflösen der vorgegebenen 

Funkticlnsgleichung 

lach ,r. fol-qt; 

):+/(sinx;r"' 

Diesen Ausdruck setzen wir in die Ableitungsformel ein und erhalten y.' in Abhängigkeit von r: 

L 

ln(sinr) . x cotr.lnx 

:^ 

2x 

r

80 B Dilferentialrechnung 

1.6 Implizite Differentiation 

Die in der impliziten Form .F(x; y) : 0 vorliegende Funktion wird gliedw'er.se mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln 

nach der Variablen ,r differenziert. Dabei ist zu beachten, dass .), eine Funktion von .r ist. Terme mit der 

Variablen 1' müssen daher nach der Kettenregei differenzieft werden. Die (diftbrenzierte) Gleichung wird anschließend 

nach y' aufgelöst. Die Ableitung hängt dabei von x untl t ab. 

Hinweise 

Lehrbuch: Band 1, Kapitel IV.2.8 


I 

l=llUa 

lla 

-{3 + r'3 3xy : 6, )'' - ? 

Es wird gliedweise nach x differenziert. 

l. Summandr zq - -1 

3 + Z'r : 3.t2 

2. Summand: :: -, I.r mit ,r, -,f(r) 

z't : y3 ist die ciufiere, y - die innere Funktion. Die Kettenregel lief'ert dann (erst 

"f(.r) ,yr nach y, dann y nach 

"r differenzieren): 

t^)l 

z: : J)'- ') 

3.Summand: t-r:-3,tr':-3(.t..y):-3(1 r') mit ü:,\j i,--y,und u':I. u'- I..r'':-y' 

;; 

Mit der Produktregel erhalten wir (der rechte Faktor tr : .y wurde nach der Kettenregel differenziert): 

z'3 : -3(utr I u'u) : 3(l'r-f 1'',r) - 3(r'+;ry') 

Dre gliedweise Differentiation der irnpliziten Funktion ftihrt damit zu dem folgenden Ergebnis: 

@ 

z'1 lz'2+.i :3x2+3yt']'-3(l*x1'') :g 

x2 +y2.y'- (r1-r.r') :x2 *yt.-y' ) r)'': (r2 -r) )'lx2 

(yt --r),t'' ,- ) - 12 + ,'- 

t'^ 

"' : lt - 

I' 

J2-r -{ ,\r2 

1,3 

(r + 2)x2 + (r - 2).r' 0, )'' :'t .v'(" - l; r' - rE) : t 

Wir bringen die Funktion zunächst auf eine für das implizite Differenzieren giinstigere Form'. 

,r3 + 2.r2 + (x 2)1,' : rr *:: : o 

-'--,zt 

7.2 

+ 

-.y:0 +

I Ableitungsregeln 8l 

Es wird gliedweise nach x differenziert, der zweite Summand :z dabei nach der Produktregel (in Verbindung mit der 

Kettenregel). 

L.Summand: Zr - x3 I2x2 + z.'r : 3r2 + 4x 

2.summand: ,t:t!r:-ro mit u-x-2. t.' :.'f'2 und u'-1, Lt'-2v-',-' 

Die Ableitung o"r.".ir,"rl F"k:^ 'u: y2 erfblgte nach der Kettenregelda -v von x abhängt (erst y2 nach y 

differenzieren, dann y nach x). Somit gilt: 

Z'2 : u' u r u' u - | ' y2 + 2), ]' (x - 2) : ,rt -t 2 (x - 2) ' 

,1 

' 

l" 

Die gliedweise Differentiation der vorgegebenen impliziten Funktion fühn schließlich zu dem folgenden Ergebnis (wir 

lösen die Gleichung noch nach y' aul): 

z', + z'r- 3x3 a 4x I y2 +26 - 2)].)" : o + 

2(x -2)]'y' : -3xz - 4r - y2 - (3x2 +4r+-y2) 

t, 1 /..' 3+4+ 3 l0 5 

I \n t. y y J l' 

2(1 - 2)',ß -2 '/1 vE 

(y-t)t+.int.y:0, )'-? 

3,r2+4xlyz 

2(r - 2) y 

Die Funktionsgleichung wtrd gliedwei.re nach -r differenziert, beide Summanden dabei jeweils nach der Kettenregel: 

l.Summand: ., : g_33 

- u3 mit u - ! 

,r und "y - "f (:r) 

z'r:3u2 ,' :uru'(l .l,' l) - 3(r --r)t (r'- t) 

Bei der Ableitung der inneren Funktion u : ! - r musste der Summand -y nach der Kettenregel differenziert werden 

(erst y nach y, dann y nach x differenzieren). 

2.Summand: z:: sin2]r (sinl)2 ,2 mit r.r - sin.r' und .r': /(.r) 

Y 

Die Kettenregel (fir zwei Substitutionen) führt zu: 

, drz dzz du dr 

z'z - E 

: ; r, ;: 

2u' (cos-r')' y' :2' sin)' cos) 

sin (2,v) 

- sin(2v)' v' 

"v' 

(unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung sin (Zy) : 2 . sin ,]' . cos.r). Damit erhalten wir: 

z'yrz'2 - 3(r -*)'(y' - 1) +sin(2.-v) 'r'- 3(,v 

f : (l - x)2 + sin (zy)l :-' : 3 (y - ')t 

")t)'' 

- / r2 

-'l) ( 't' 

'tJ 

3 (l' - ,r)2 + sin (21') 

3(t'-r)2 +sin(2v) 'v'-0


Bestimmen Sie die Tangentensteigung der Kardioide ,y2 + 2x(,.t +.1'r) 

Wie groß ist die Steigung im Kurvenpunkt p : (0: 1)? 

Es wird gliedweise nach der Variablen x differenziert. 

1. Summandi { r : -r'2 rnit ,r' : ./ (x) 

(", +,n,)2 : 0. 

Differenziert wird nach der Kettenregel, da y von l abhängt (zuerst -'f,2 nach .r, differenzieren, dann y nach x): 

, dzt dzt d), ^ | 

-r : 

,- 

dx 

r 

d1' dx 

2.Summand: il:2x(.t2+y2):Z(uu) lrit u:.\. ?r:,rl+.y2 und u,:1, nt:2.r12v.1,, 

T-];- 

Differenziert wird nach der Produktrvgel, wobei der Summand -y2 im rechten Faktor l nach der Kettenregel zu 

differenzieren ist; 

zi:2(ututp'u):2ll(x2 +)2) + Qxi2y'..r")-r] :2(r2 +-r,2 + 2r2 +2x1,.yt): 

: 2(3x2 +.r'2 + 2.r-r'.)'') 

3.Summand; Z3 - -(x' + y')t : -ut mit u: ,2 + :-2 

7 

Die Kettenregel lieferl dann: 

_t 

d:.2 dz.t tlu _ | 

z;--E: 

2u.u'- 

,f, ;- 

: -4(rt + yt) (x +,v'.r') 

-2u(2x t2t.),' ) : -2(.rr + yt).Z(xf l'.1,): 

Bei der Ableitung der inneren Funktion u - ,r2 * ,y 2 wurcle dabei benicksichtigt, dass der Summand 1' 2 nach der 

Kettenregel zu differenzieren ist (y hängt ja von ,r ab). 

Damit erhalten wir folgendes Ergebnis: 

?.'1 lz'2+z\:2y.y'i2(3x2 +.t'2 + 2xr-..r-' ) 

.v.)'+ 3r2 + y2 + 2ry .J.' - 2112 +.v2) (;r * r' 

.,y') - 

- 1'. )' l 3x2 +)2 + 2ry. ),' - 2(r. +.r'r)_r - z(r, +lt)). -y, : 

: ly + Zxy -2(t2 + r-2).r,].r'' * 3.r: t,r,,2 - 2(r2 +r.2)x:0 

Wir lösen diese Gleichung noch nach y' auf und erhalten: 

, 

2(.r= + 1,2) .r - 3r2 - r'2 2x(.r2 + )'2) - 3r2 - r,2 

)'r 2xy 2(r2 + ),2))' 1,ll + 2x - 2("r2 

+,r.2;] 

Steigung der Kurventangente im Punkt P : (0; - l): 

r'(x:0; l:-l) 

: 

0(0 + 1) - 0 , I - I 

-1lr+0-2(0+1)l -1 (-1) 

4(r'+,r'2) (x*,1'.r'') - o ),2


1.7 Differenzieren in der Parameterform 

Die Funktion bzw. Kurve liegt in der Parameterform r : .r(/), -v : .y(r) vor (t: Parameter). Die ersten beiden Ableitungen 

werden wie folgt gebildet: 

Die Striche kennzeichnen die Ableitunsen nach der Variablenx, 

die Punkte die Ableitungen nach dem Parameter /. 

Hinweise 

i, - i,i 

"t7 

Lehrbuch: Band 1, Kapitel IV.2.1l 


Bestimmen Sie den Anstieg der Kurve 

)':2'sin(2r) 

3'sinr. 

0


Damit erhalten wir für y' und y", jeweils in Abhängigkeit vom Parameter /: 

)- 

j' t 

I 

.r I +l : 

/j 

ry-y'f \r 

i3 

ll '-r 

,. .l 

(r- + rJ- 

t6 

2 

I 

I 

tl r 

(l -/ '!)t/ I: I 

- / r) ( I 

') -, 

(l + t-21: 

'(- 2l 

v'(2) .7 , r 5 (22 + l)r 

(der Bruch wurtle lnit t- erweiterl; 

t) 

.r 2 - t r 

, 21 1 

(' . ,!)' 

l-rr ta t: (l -1t)',' 

, 14 tt) lrl rr2 r lrl 

\, 

'J 

V r ') 

(l -22t.2: -12 12 

I )< t')< 

t 4 

t 2 

, 1 .. 3 

It'+ t\ 

II 

t,, 

\ f- / 

Umformungen: Die Brüche im Zähler bzw. Nenner werden auf den Hauptnenner tl bzw. t2 gebracht - der 

Zählerbruch wird mit dem Kehrwerl des Nennerbruches multipliziert, dann den gemeinsamen Faktor ra kürzen. 

Gegeben ist die folgende ParameterJitntt einer Kurve: 

,:t[-z 

"int+l, 

)':2 cos]r. 01t1n 

Bestinrmen Sie den Kun'enanstieg in Abhängigkeit vom Parameter r. Wie groß ist die Steigung der 

Kurventangente für den Parameterwert t - rl2.} 

Beide Parametergleichungen werden nach der Kettenregel differenziert: 

a : yQ. y11a 1 - 1; mit u :2. sin/* I 

-\- 

. d.r clr du 

" 

dt du dr 

) -4.cosl.sinr 

_ 

j cosl 

.2 'cost - 

cos I cos I 

z \/u vE /T s1n t +1 

I :2 ' cos2 / : 2 (.cos r)2 - 2u2 mit u 

. dy dy tlu 

' v: 

dt du dr 

Kurvenanstieg in Abhängigkeit vom Parameter /: 

u 

tfz.sint + ) 

An der Stelle / - nl2 g|lt: 

: COS/ 

- -4'cost .sinl. 

V/T s'tnt + | 

cos t 

-= _ 4. sin1. y{. sin1 1 1 

y'(.t : 1rl2) - -4 . sin ("lz) . I 2 ' sin (trl2) + -4-t vE t-t 4vE


Welchen Anstieg besitzt die Kurve mit der Parameterdarstellung 

r : cosr - sin (2r). ), :2. cos2 / + sin (3r) 

in Abhängigkeit vom (reellen) Parameter /? 

Bestimmen Sie die Steigung der Kurventangente frir den Parameterwerl t - lt 

Wie lautet die Gleichung der dortigen Tangente? 

Beim Differenzieren der beiden Parametergleichungen benötigen wir neben der Summenregel jeweils die Kettenregel: 

-r : cosr - sin (2t) : cos/ - sina mit u : 2t 

Y 

i : -sinr - (cosa) . 2 : -sin/ - 2 . cos(2t) 

!:2.cos2/f sin(3t)-2( cosr)'+rin(3r) :2u2+sinw mit ?i:cos/ und w:3t 

i:4'u.(-sinr) 

2 . sin (2n) - 3 cos (3.r2) 

u 

sin;r * 2.cos (2.rz) 

w' 

f (cosu.,) .3: -4t:. sin/*3.cosru: 4.cos/.sinl* 3.cos(3r) : 

2l2.cost.sinrl * 3.cos(3r) - 2.sin (2t) + 3.cos(3r) 

-,sin 

(21) 

(unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung sin (2t) : 2 . sin I . cos /) 

Der Anstieg der Kurve hängt damit wie folgt vom Kurvenparameter / ab: 

,:i 

-2'sin(2r) +3.cos(3r) _ 2.sin(2t) - 3.cos(3r) 

i -sin/ - 2.cos(2t) sin/ * 2.cos(2t) 

Somit silt an der Stelle t - 7r: 

.,/ i/r -'.) _ o\ _- 

J \' 

Thngentenberührungspunkt P - (xe ; ye): 

xo - x(t : n) : coslt - sin(2n) : - I - 0 - -1 

2.0- 3 (-l) 3 

0+2.1 2 

]0 : y(t - n) - 2. cos2z+ sin (3n) : z ( t)2 + 0 : 2 

Somit: P : (- l; 2) 

Tangentensteigung: m : y' (t : 

4 

Tangentengleichung: 

y - )o 

jf JO 

< 

- + 

v-) l 

J-_ 

r 

ItrL 

-; + 

3 

1@+ 

li: 

JJ 

-YI- 

t^ 

' 

f 

3l 

2'"' 2


1.8 Differenzieren in Polarkoordinaten 

Sie müssen die in Polarkoorulitutten r, E dargestellte Kurve mit der Gleichung r - r (E) zunächst in die Parameterform 

bÄngen: 

x(E) : r(9) 'cosg, y(E) : r(E)'sincp (Parameter:winkel 

q) 

Die Ableitungen erhalten Sie wie in Abschnitt 1.7 beschrieben. sie sind Funktionen des Winkelparameters E 

Hinweise 

Lehrbuch: Band 1, Kapitel IV.2.l2 

Formelsammlung: Kapitel IV.3. l0 

Bestimmen Sie den Anstieg der Kun,e 

r-l+eq, 0 

in Abhängigkeit vom Winkel E. 

Welche SteigLutg m besitzt die Kurventallgente für cp : n'r 

Die Kurve wird zunächst in die Parameterform gebracht: 

x: r. cosE - (l + eq) .cosE, 

) - r. sinq : (l + eq) .sinE 

Die benötigten Ableitungen i und rr nach dem Winkelparametel' g erhalten wir mit der Produktregel: 

t:(l+eE).coSf :sl' mit tt:1+ee t'-coSg und u:e'/'. u:-sinE 

-,- \./ 

uu 

i üulüu: ee'.cosE sinq.(l + "u) - eq.cosE - (l + eq) .sinq 

l,:(1 +eq) .sinE:41, mit u-Iieq. r,:sinq uncl ü:eq, u-cosg 

-'-\z 

u 

'l) 

-i': riulitu: ee sing * cosE (1 + eo) - "q sin E + 0 * e() .cosE 

Steigung der Kurventansente in Abhängigkeit vom Winkel E: 

L 

, i 

--l 

ee sinEf (l*eq) .cosq 

x ee.cosE_(l+sr) .sinq 

Dividiert man die Summanden in Zähler und Nenner jeweils durch cos E und beachtet dabei die trigonometrische 

srn ff 

Bez.iehung tan q : 

^^;i. so lässt sich die Steigungsformcl auch wie folgt schreiben: 

cos cp 

^., _"o.sing 

+ (l + ee) .cosg eq tan rt l 1 * eq 

ee cosq-(l 1srr; .sinq eq_(lJe,r) tang 

Steigung der Tangente für cp - tt: 

'', - ) 

t. . et tan.z * I I e.t 

It 

- 

frl 

e'-(1 *e') .tanz 

e"".0+1+et 

_l+e'_ 

e'-(lie")'0 e' 

t.0432


sin2 E 

cos E 

- 

JL JI 

)-< { < ; 

1: 

(..Zissoide".1 

Bestimmen sie die Tangentensteig,,g 

dieser Kurve in Abhä'gigkeit vom winkel @. 

Wir stellen die Kurve zunächst inder pqrameterform dar (mit dem Winkel q als Kurvenparameter): 

sin2 < 

x : r.cosq -#. 

cosg : sin2q, ], : r. sing : 

Die benötigten Ableitungen ,i und j erhalten wir wie folgt: 

.r: sintt: (ryf - u2 mit u: sin$ 

Die Ke rt e n re g e I lief ertau,l f nu.f.r erfol gter Rück s ubsti tu tion) : 

. dx dx du 

-f -- 

dE du d(t 

L:2, 

cosg:2.sinq.cosg 

Die zweite Parametergleichung wird mit Hilfe der euotientenregel differenzierl: 

sin2 p sin3 g 

.slnq 

cos E 

cos E 

. sinlg (sinq)t u 

cosq cosg t' mit r:(sinq)3, u:cosg und ü:,1 , tr: 

Die noch unbekannte 

Ableitung von u : (sin rp) 3 

4:(sinE)t:t3 mit /:sinE =+ 

\,-z 

t 

Die Quotientenregel liefert dann mit 

u : sin3 g, ?' : cos q und 

die gesuchte 

Abteitung j,: 

erhalten wir nrit der Kettenrcgel: 

-sinE 

. du du tlt 

Lt:- 

-lr2.cosA:3.sin2g.cosg 

dq dr dE 

ü : 3 .sin2 g . cos q , ü - -sln9 

_.. üu _ i,t, 3 . sin2 E . cosp cos q - (- sin q) . sins q 

sin2 cp (3 . cos 2 cp t sin2 rp1 sln c.rs: r7 t- | - cos r 

r1J 

- g,(J 

(unter Verwendung 

von tt t ; * cos 2 9 

sin2 p (2 . cosz E -l 

cos- E 

2'sinE.cosq 

sinp'sinq(2.cos2q * l) 

2.sinp.cos3cp 

Umformungen: Zählerbruch mit dem 

sin q kürzen. 

I 

l\ 

cos2 E 

a'"*, 

1). Die Steigungsformel 

lautet damit: 

sin 2 g, (2 . cos. ,l + 1) 

cos2 E 

sing(2 .cosr rJ * t) 

2 . cos3 cp 

3 .sinz E .cos2 E + sina E 

cos2 E 

2'sin q.cosq) 

sinrq(2.coslg r l) 

cos2 g 

Kehrwert des Nennerbruchesmultiplizieren, 

dann den gemeinsamen Faktor 

87


Welche Steigung hat die Tangente an die Kurve mit der Gleichung 

,::-, o< E

B Differentialrechnung

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