∫ ∫

Berechnung von Doppelintegralen - vertauschte Reihenfolge
Beispiel Forts. Vertauschen der Reihenfolge der Integrationen:
Innere Integration:
1
∫
x=
0
xcos(
2y)
⋅ dx =
Äussere Integration:
I
=
π / 4
∫
y=
0
1
cos( 2y)
2
cos( 2y)
⋅ dy =
1
2
1
∫
x=
0
π / 4
x ⋅ dx =
∫
y=
0
⎡1
cos( 2y)
⎢ x
⎣2
cos( 2y)
⋅ dy =
Beobachtung. Die beiden Resultate stimmen überein!
1
cos( 2y)
2
xcos(
2y)
⋅ dx ⋅ dy
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 1
2
⎤
⎥
⎦
1
x=
0
=
1 ⎡1
⎤
sin( 2y)
2 ⎢2
⎥
⎣ ⎦
π / 4
0
=
1
4
π / 4
1
∫ ∫
y=
0 x=
0

Berechnung von Doppelintegralen - Rechenbeispiele ff.
Beispiel 2. Berechne das Doppelintegral
Innere Integration:
∫
x
y=
x
Äussere Integration:
I
x
y=
x
x
y=
x
xy ⋅ dy ⋅ dx
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 2
I :
1
= ∫ ∫
x
x=
0 y=
x
2 3 ( x x )
⎡1
2⎤
⎛ 1 1 2 ⎞ 1
xy ⋅ dy = x ∫ y ⋅ dy = x⎢
y = x⎜
x − x ⎟ = −
2 ⎥
⎣ ⎦ ⎝ 2 2 ⎠ 2
1
1
2 3 1 2 3
( x − x ) ⋅ dx = ( x − x )
1
= ∫ 2
2 ∫
x=
0
x=
0
⋅ dx =
1 ⎡1
x
2 ⎢
⎣3
3
−
1
4
x
4
⎤
⎥
⎦
1
0
=
1
24

Berechnung von Doppelintegralen - Rechenbeispiele ff.
Beispiel 3. Betrachte den Spezialfall f(x;y) ≡ 1.
I
=
∫∫
A
dA
=
b
fo(
x)
∫ ∫
x=
a y=
fu(
x)
1⋅
dy ⋅ dx
Interpretation. Dieses Doppelintegral liefert das Volumen des Zylinderkörpers mit
der Einheitshöhe 1. Das Volumen lässt sich in diesem Falle aber auch berechnen als
Produkt von Flächeninhalt A x Höhe h. D.h. aber, zahlenmässig liefert dieses
zweifache Integral auch den Flächeninhalt des Bereiches A!
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 3

Berechnung von Doppelintegralen - beliebige Bereiche A
Der Integrationsbereich A besitzt i.a. die unten skizzierte Form, d.h. er wird
„oben“ und „unten“ durch zwei Kurven y = f o (x) und y = f u (x) und seitlich
durch zwei parallel zur y-Achse verlaufende Geraden x = a und x = b
begrenzt.
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 4

Berechnung von Doppelintegralen - beliebige Bereiche A ff.
Bei einem Doppelintegral der Form
b
∫
y=
a
g2(
y)
f(
∫
x=
g1(
y)
x;
y)
⋅ dx ⋅ dy
wird zuerst nach x und erst anschliessend
nach der Variablen y integriert.
Der Integrationsbereich A besitzt dann
die skizzierte Gestalt. Die inneren
Integrationsgrenzen sind in dem Falle
in der Regel Funktionen der Variablen y.
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 5

Berechnung von Doppelintegralen - Beispiel allg. Bereich A
Beispiel 4. Berechne das Doppelintegral
Innere Integration:
y
∫
e
x=
−y
x+
y
⋅dx
=
e
e
Äussere Integration:
I
=
1
∫
( e
y=
−0
2y
−
1)
y
y
∫
x=
−y
⋅ dy
x
⋅dx
⎡1
= ⎢ e
⎣2
=
2y
e
y
⋅
⎤
− y⎥
⎦
⋅dx
⋅ dy
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 6
I
1
y
= ∫ ∫
e
y=
0 x=
−y
x+
y
[ ] x y y y −y
2y
e = e ⋅(
e − e ) = e −1
1
y=
0
x=
−y
=
1
(
2
e
2
−1)
−
1
2
=
e
2
− 3
2

Berechnung von Doppelintegralen - Polarkoordinaten
Oft vereinfacht sich die Berechnung eines Doppelintegrals
erheblich wenn man an Stelle der kartesischen Koordinaten x und y die
Polarkoordinaten r und φ verwendet.
Pro memoria.
x = r·cos(φ) , y = r·sin(φ)
r ≥ 0 , 0 ≤ φ < 2π
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 7
∫∫
A
f(
x;
y)
⋅ dA

Berechnung von Doppelintegralen - Polarkoordinaten ff.
Integrationsbereich A in Polarkoordinaten
Die bei Doppelintegralen in Polarkoordinaten-Darstellung auftretenden
Integrationsbereiche A besitzen die skizzierte Gestalt:
Sie werden von zwei Strahlen φ = φ 1 und
φ = φ 2 sowie einer innere Kurve r = r i (φ)
und einer äusseren Kurve r = r a (φ) begrenzt
und lassen sich durch die Ungleichungen
beschreiben:
φ 1 ≤ φ ≤ φ 2 und r i (φ) ≤ r ≤ r a (φ)
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 8

Berechnung von Doppelintegralen - Polarkoordinaten ff.
Das Flächenelement dA wird in der Polarkoordinaten-Darstellung von zwei
infinitesimal benachbarten Kreisen mit den Radien r und r + dr und zwei
infinitesimal benachbarten Strahlen mit φ und φ + dφ berandet.
Dabei gilt: dA = (r·dφ)·dr = r·dr·dφ
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 9

Berechnung von Doppelintegralen - Polarkoordinaten ff.
Berechnung eines Doppelintegrals unter Verwendung von Polarkoordinaten
Beim Übergang von kartesischen Koordinaten (x;y) zu den Polarkoordinaten (r;φ)
gelten folgende Transformationsgleichungen:
x = r·cos(φ) , y = r·sin(φ) , dA = r·dr·dφ
∫∫
Ein Doppelintegral f(
x;
y)
⋅ dA transformiert sich dabei wie folgt:
∫∫
A
f(
x;
y)
⋅ dA
=
A
ϕ2
∫ ∫
ϕ=
ϕ1
ra
( ϕ)
r=
ri
( ϕ)
f(
r ⋅cos(
ϕ);
r ⋅ sin( ϕ))
⋅r
⋅ dr ⋅ dϕ
Regel. Die Integralberechnung erfolgt in zwei nacheinander auszuführenden gewöhnlichen
Integrationsschritten: innere Integration nach der Variablen r und äussere Integration nach φ.
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 10

Berechnung von Doppelintegralen - Polarkoordinaten ff.
Beispiel 1. Welchen Wert besitzt das Doppelintegral I = ∫∫ x ⋅ y ⋅ dA für den
unten dargestellten Integrationsbereich.
A
Umrechnung auf Polarkoordinaten:
f(x;y) = x·y = (r·cos(φ))·(r·sin(φ)) = r 2 ·sin(φ)·cos(φ)
Integrationsgrenzen:
r-Integration: von r = 0 bis r = 2
φ-Integration: von φ = 0 bis φ = π/4
Integral in Polarkoordinaten:
I
=
∫∫
A
xy ⋅ dA
=
π / 4
2
∫ ∫
r
ϕ = 0 r=
0
3
sin( ϕ)
⋅cos(
ϕ)
⋅ dr ⋅ dϕ
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 11

Berechnung von Doppelintegralen - Beispiel 1 ff.
I =
π / 4
2
∫ ∫
ϕ = 0 r=
0
Innere Integration:
2
∫
r
r=
0
3
r
Äussere Integration:
I
=
3
sin( ϕ)
⋅cos(
ϕ)
⋅ dr ⋅ dϕ
sin( ϕ)
cos( ϕ)
⋅ dr = sin( ϕ)
cos( ϕ)
⋅
π / 4
∫
ϕ=
0
4cos(
ϕ)
sin( ϕ)
⋅ dϕ
=
4
π / 4
∫
ϕ=
0
2
∫
r=
0
r
3
dr
⎡ 4
r ⎤
= sin( ϕ)
cos( ϕ)
⋅ ⎢ ⎥
⎣ 4 ⎦
⎡ 2
sin ( ϕ)
⎤
cos( ϕ)
sin( ϕ)
⋅ dϕ
= 4 ⋅ ⎢ ⎥
⎣ 2 ⎦
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 12
π / 4
ϕ=
0
2
r=
0
= 1
= 4sin(
ϕ)
cos( ϕ)

Berechnung von Doppelintegralen - Polarkoordinaten
Beispiel 2. Durch Drehung der Parabel z = 4 - x 2
um die z-Achse entsteht der skizzierte Rotationskörper,
dessen Bodenfläche in die x,y-Ebene fällt.
Berechne das Volumen V des Körpers.
Funktionsgleichung des Körpers: z = f(x;y) = 4 - (x 2 + y 2 )
Umrechnung auf Polarkoordinaten: z = 4 - r 2
Integrationsgrenzen:
r-Integration: von r = 0 bis r = 2
φ-Integration: von φ = 0 bis φ = 2π
V
=
∫∫
A
f(
x;
y)
⋅ dA
=
∫∫
A
z ⋅ dA
=
2π
2
∫ ∫
ϕ = 0 r=
0
( 4 − r
2
) ⋅r
⋅ dr ⋅ dϕ
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 13

Berechnung von Doppelintegralen - Beispiel 2 ff.
V
=
2π
2
∫ ∫
ϕ = 0 r=
0
( 4 − r
Innere Integration:
2
∫
r=
0
( 4 − r
2
) ⋅r
⋅ dr =
) ⋅r
⋅ dr ⋅ dϕ
Äussere Integration:
V
=
2π
∫
ϕ=
0
4 ⋅ dϕ
=
2
2
∫
r=
0
( 4 ⋅r
− r
3
2π
[ 4 ⋅ ϕ]
= 8π
ϕ=
0
⎡
) ⋅ dr = ⎢2
⋅r
⎣
2
4
r ⎤
− ⎥
4 ⎦
2
r=
0
=
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 14
4

Doppelintegrale - Flächenberechnung kartesische Koordinaten
Wie bereits früher diskutiert, können mit Hilfe von Doppelintegralen
geeignet berandete Flächen in der x,y-Ebene berechnet werden.
So gilt für die skizzierte Fläche A:
A
=
∫∫
A
dA
=
b
fo(
x)
∫ ∫
x=
a y=
fu(
x)
1⋅
dy ⋅ dx
Bemerkung. f u(x) und f o(x) können
beliebige stetige Funktionen sein,
mit der Einschränkung f u(x) ≤ f o(x).
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 15

Doppelintegrale mit Polarkoordinaten - Flächenberechnung
Definitionsformeln. Der Flächeninhalt A
= dA eines geeignet berandeten
Integrationsbereichs A lässt sich aus infinitesimal kleinen rechteckigen Flächen-
elementen vom Flächeninhalt dA = dy·dx resp. dA = r·dr·dφ zusammensetzen.
Es gelten dann die Formeln:
A
in kartesischen Koordinaten und
A
=
=
b
∫ ∫
x=
a y=
fu(
x)
ϕ2
∫ ∫
ϕ=
ϕ1
fo
( x)
1⋅
dy ⋅ dx
ra
( ϕ)
r=
ri
( ϕ)
r ⋅ dr ⋅ dϕ
in Polarkoordinaten.
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 16
∫∫
A

Doppelintegrale - Flächenberechnung
Beispiel 1. Berechne mit Hilfe eines Doppelintegrals den Flächeninhalt A
der Ellipse mit der Gleichung b 2 ·x 2 + a 2 ·y 2 = a 2 ·b 2 .
Vorgehen: Berechnung des im 1. Quadranten gelegenen Flächenstücks
Integrationsgrenzen:
y-Integration: von y = 0 bis
b
a
2
a −
x
x-Integration: von x = 0 bis x = a
Flächeninhalt:
A
=
4
a
∫ ∫
x=
0
b
a
a
2
−x
2
y=
0
1⋅
dy ⋅ dx
2
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 17

Berechnung von Doppelintegralen - Beispiel 1 ff.
A
Innere Integration:
b
a
Äussere Integration:
A
=
=
4
4
a
∫ ∫
x=
0
a
2
−x
2
∫
y=
0
a
∫
x=
0
b
a
b
a
a
2
−x
2
y=
0
a
1⋅
dy ⋅ dx
b
a
2
−x
2
a
y=
0
b 2
1⋅ dy = [ y]
= a − x
a
2
− x
2
b
⋅ dx = 4 ⋅
a
a
∫
x=
0
2
a
2
− x
2
⋅ dx
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 18

Berechnung von Doppelintegralen - Beispiel 1 ff.
Z.B. aus der Tabelle:
oder mit MAXIMA
daraus folgt:
A
a
∫
x=
0
a
b ⎡1
= 4 ⋅ ( x
a ⎢ ⋅
⎣2
2
− x
a
2
2
⎡1
⋅ dx = ⎢ ( x ⋅
⎣2
− x
2
+ a
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 19
2
a
2
− x
2
x ⎤
⋅ arc sin( ))
a ⎥
⎦
a
+ a
x=
0
2
x ⎤
⋅ arc sin( ))
a
⎥
⎦
b
= 2 ⋅ ⋅a
a
2
a
x=
0
π
⋅ = π ⋅ a ⋅b
2

Doppelintegrale - Flächenberechnung
Beispiel 2. Berechne mit Hilfe eines Doppelintegrals die im 1. Quadrant
gelegene Fläche zwischen der Kreislinie x 2 + y 2 = 25 und der Geraden
y = -x + 5.
Integrationsgrenzen:
y-Integration: von y = -x + 5 bis
x-Integration: von x = 0 bis x = 5
Flächeninhalt:
A
=
5
∫ ∫
x=
0
25−x
2
y=
−x+
5
1⋅
dy ⋅ dx
2
25 − x
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 20

Doppelintegrale - Beispiel 2 ff.
A
=
5
∫ ∫
x=
0
25−x
2
y=
−x+
5
1⋅
dy ⋅ dx
Innere Integration:
25−x
2
∫
y=
−x+
5
1⋅
dy =
25−x
2
2
2
[ y]
= 25 − x − ( −x
+ 5)
= 25 − x + x − 5
y=
−x+
5
Äussere Integration:
A
=
=
5
∫
(
x=
0
25 − x
2
1
⋅ 25 ⋅arc
sin( 1)
2
+ x −
+
5)
⎡1
⋅ dx = ⎢ ( x ⋅
⎣2
1
⋅ 25 − 25≈
2
7.
13
25 − x
2
x
+ 25 ⋅arc
sin( )) +
5
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 21
1
2
x
2
−
5x
⎤
⎥
⎦
5
x=
0

Doppelintegrale mit Polarkoordinaten - Flächenberechnung
Beispiel 3. Berechne mit Hilfe eines Doppelintegrals in Polarkoordinaten
die Fläche der Kardioide r(φ) = 1 + cos(φ), mit (0 ≤ φ < 2π).
Integrationsgrenzen:
Innere Kurve r i (φ) = 0 ,
äussere Kurve r a (φ) = 1 + cos(φ). Daraus folgt:
r-Integration: von r = 0 bis r = 1 + cos(φ)
φ-Integration: von φ = 0 bis φ = 2π
Flächeninhalt:
A
=
2π
∫ ∫
ϕ=
0
1+
cos( ϕ)
r=
0
r ⋅ dr ⋅ dϕ
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 22

Doppelintegrale mit Polarkoordinaten - Beispiel 3 ff.
A
Innere Integration:
Äussere Integration (partielle Integration anwenden):
A
=
=
=
2π
∫ ∫
ϕ=
0
1+
cos( ϕ)
∫
r=
0
2π
∫
ϕ=
0
1+
cos( ϕ)
r=
0
r ⋅ dr ⋅ dϕ
1+
cos( ϕ)
⎡ 2
r ⎤ 1
r ⋅ dr = ⎢ ⎥ = ( 1+
cos( ϕ))
⎣ 2 ⎦ 2
r=
0
1
( 1+
cos( ϕ))
2
⋅ dϕ
=
1 ⎡
1
⋅ ⎢ϕ
+ 2 ⋅ sin( ϕ)
+ ⋅ ϕ
2 ⎣
2
2
+
1
2
2π
∫
ϕ=
0
( 1+
2 ⋅ cos( ϕ)
+ cos
1 ⎤
⋅ sin( 2ϕ)
4 ⎥
⎦
2
2π
ϕ=
0
=
3
2
π
( ϕ))
⋅ dϕ
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 23
2

Doppelintegrale - Schwerpunktberechnung homogene Fläche
Definition. Für die Schwerpunktskoordinaten x s und y s einer homogenen ebenen
Fläche mit dem Flächeninhalt A gelten die folgenden allgemeinen Formeln:
x
y
s
s
=
=
1
A
1
A
∫∫
A
∫∫
A
x ⋅ dA
y ⋅ dA
in kartesischen Koordinaten:
x
y
s
s
=
=
1
A
1
A
b
∫ ∫
b
fo(
x)
x=
a y=
fu(
x)
fo(
x)
∫ ∫
x=
a y=
fu(
x)
x ⋅ dy ⋅ dx
y ⋅ dy ⋅ dx
in Polarkoordinaten:
x
s
=
1
A
ϕ2
ra
( ϕ)
2
∫ ∫
r
ϕ=
ϕ1
r=
ri(
ϕ)
⋅cos(
ϕ)
⋅ dr ⋅ dϕ
y
s
=
1
A
ϕ2
ra
( ϕ)
2
∫ ∫
r
ϕ=
ϕ1
r=
ri
( ϕ)
⋅ sin( ϕ)
⋅ dr ⋅ dϕ
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 24

Doppelintegrale - Schwerpunktberechnung homogene Fläche
Beispiel 4. Bestimme die Koordinaten des Schwerpunkts S der Fläche, die
von der Parabel y = -x 2 + 4 und der Geraden y = x + 2 begrenzt wird.
Integrationsgrenzen: Bestimmung der Schnittpunkte
der begrenzenden Kurven
-x 2 +4 = x+2 x 1 = -2 , x 2 = 1
y-Integration: von y = x + 2 bis y = -x 2 + 4
x-Integration: von x = -2 bis x = 1
Berechnung des Flächeninhaltes A:
A
=
⎡
= ⎢−
⎣
1
x=
−2
1
3
x
3
−x
2
+ 4
∫ ∫
y=
x+
2
− −
1⋅
dy ⋅ dx =
1
2
x
2
+
2x
⎤
⎥
⎦
1
1
∫
(
x=
−2
x=
−2
[ y]
=
−x
2
+ 4
y=
x+
2
4.
5
) ⋅ dx =
1
∫
x=
−2
( −x
2
+ 4 − ( x + 2))
⋅ dx
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 25

Doppelintegrale - Schwerpunktberechnung Beispiel 4 ff.
Berechnung der Schwerpunktskoordinate x s :
x
s
=
1
4.
5
Innere Integration:
−x
2
+ 4
∫
y=
x+
2
Äussere Integration:
x
s
y s analog:
1
∫ ∫
x=
−2
x ⋅ dy = x ⋅
=
1
4.
5
1
∫
x=
−2
( −x
y
s
−x
2
+ 4
y=
x+
2
x ⋅ dy ⋅ dx
−x
2
+ 4
2
3 2
[ y]
= x ⋅(
−x
+ 4 − ( x + 2))
= −x
− x + 2x
3
y=
x+
2
− x
2
1
4.
5
1 ⎡ 4 3
x x 2⎤
+ 2x)
⋅ dx = ⋅ ⎢−
− + x ⎥
4.
5 ⎣ 4 3 ⎦
1
x=
−2
−x
2
+ 4
= ∫ ∫
y=
x+
2
y ⋅ dy ⋅ dx =
2.
4
⋅(
−2.
25)
= −
Resultat. Der Flächenschwerpunkt liegt somit im Punkt S = (-0.5, 2.4).
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 26
1
x=
−2
=
1
4.
5
0.
5

Doppelintegrale - Schwerpunktberechnung homogene Fläche
Beispiel 5. Bestimme die Koordinaten des Schwerpunkts S eines
Viertelkreises vom Radius R.
Integrationsgrenzen:
r-Integration: von r = 0 bis r = R
φ-Integration: von φ = 0 bis φ = π/2
Flächeninhalt A:
Berechnung der Schwerpunktskoordinate x s :
x
s
=
4
πR
π / 2 R
2
2
∫ ∫r
ϕ = 0 r=
0
πR
A =
4
2
⋅ cos( ϕ)
⋅ dr ⋅ dϕ
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 27

Doppelintegrale - Schwerpunktberechnung Beispiel 5 ff.
x
s
=
4
πR
π / 2 R
2
2
∫ ∫r
ϕ = 0 r=
0
Innere Integration:
R
∫
r
r=
0
2
Äussere Integration:
x
s
⋅ cos( ϕ)
⋅ dr ⋅ dϕ
⎡ 3
r ⎤
⋅cos(
ϕ)
⋅ dr = cos( ϕ)
⋅ ⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦
4
=
πR
π / 2
∫
2
ϕ=
0
3
R
3
⋅ cos( ϕ)
Aus Symmetriegründen gilt x s = y s !
R
r=
0
4
⋅cos(
ϕ)
⋅ dϕ
=
πR
3
R
=
3
2
3
R
⋅
3
⋅
π / 2 [ sin( ϕ)
] = ≈ 0.
424 ⋅R
ϕ=
0
Resultat. Der Flächenschwerpunkt liegt somit im Punkt S = (0.424 R, 0.424 R).
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 28
4 ⋅R
3π

Mehrfachintegrale - Dreifachintegrale
Grundidee. Sei f(x;y;z) eine im räumlichen
Bereich V definierte und stetige Funktion. Der
Bereich (Körper) wird zunächst in n Teilbereiche
∆Vi unterteilt.
Im k-ten Teilbereich ∆Vk wählen wir einen beliebigen
Punkt Pk = (xk ;yk ;zk ) aus, berechnen an
dieser Stelle den Funktionswert f(xk ;yk ;zk )
und bilden schliesslich das Produkt aus
Funktionswert und Volumen: f(xk ;yk ;zk ) ∆Vk .
Ebenso wird mit den andern Teilbereichen
verfahren.
Die Summe dieser Produkte, auch
Zwischensumme Zn genannt, beträgt dann:
n
Zn =
∑
k=
1
f(
x
k
; y
k
; z
k
) ⋅ ΔV
k
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 29

Mehrfachintegrale - Dreifachintegrale ff.
Nun lässt man die Anzahl n der Teilbereiche unbegrenzt wachsen (n∞),
wobei gleichzeitig der Durchmesser (und damit das Volumen) eines jeden
Teilbereiches gegen Null strebt. Bei diesem Grenzübergang strebt die
Zwischensumme Z n gegen einen Grenzwert, der als 3-dimensionales
Bereichsintegral von f(x;y;z) über V oder kurz als Dreifachintegral
bezeichnet wird.
Definition. Der Grenzwert wird (falls er existiert)
als Dreifachintegral bezeichnet und durch das Symbol
gekennzeichnet.
n→∞
( ΔVk
→0)
k
n
lim ∑ =
1
f(
x
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 30
k
; y
k
; z
k
) ⋅ ΔV
k
∫∫∫
V
f(
x;
y;
z)
⋅ dV

Dreifachintegral - Notation und Terminologie
Bezeichnungen.
x, y, z Integrationsvariablen
f(x;y;z) Integrand
dV Volumendifferential oder Volumenelement
V räumlicher Integrationsbereich oder Körper
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 31

Dreifachintegrale - Praktische Berechnung
Der Berechnung eines Dreifachintegrals legen
wir ein kartesisches Koordinatensystem und
einen zylindrischen Integrationsbereich V
zugrunde, der „unten“ durch eine „Bodenfläche“
z = z u (x;y) und oben durch eine
Deckelfläche z = z o (x;y) begrenzt wird.
Die Projektion der Begrenzungsflächen in die
x,y-Ebene führt zu einem Bereich A der durch
die Kurven y = f u (x) und y = f o (x) sowie
den Parallelen x = a und x = b berandet wird.
Der zylindrische Integrationsbereich V wird
beschrieben durch die Ungleichungen:
zu( x;
y)
≤
z ≤ zo(
x;
y)
, fu(
x)
≤ y ≤ fo(
x)
,
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 32
a
≤
x
≤
b

Dreifachintegrale - Praktische Berechnung ff.
Das Volumenelement dV besitzt in der kartesische Darstellung die
geometrische Form eines Quaders mit den infinitesimal kleinen
Seitenlängen dx, dy und dz. Somit ist: dV = dx·dy·dz
Regel. Ein Dreifachintegral über einem zylindrischen Integrationsbereich V
lässt sich durch drei nacheinander auszuführende gewöhnliche
Integrationen nach folgendem Schema berechnen:
∫∫∫
V
f(
x;
y;
z)
b
fo(
x)
zo(
x;
y)
⋅ dV = ∫ ∫ ∫ f(
x;
y;
z)
⋅ dz ⋅ dy ⋅ dx
x=
a y=
fu(
x)
z=
zu(
x;
y)
144244
3
1.
Integration
1444
4 244443
2.
Integration
1444442
444443 3.
Integration
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 33

Dreifachintegrale - Praktische Berechnung ff.
Für die Berechnung eines Dreifachintegrals gilt wie bei einem
Doppelintegral die Regel: es wird von innen nach aussen integriert. D.h. die
Reihenfolge der Differentiale (dx, dy und dz) bestimmt eindeutig die
Reihenfolge der Integrationen.
Bemerkungen.
Die Reihenfolge der Integrationen ist nur dann vertauschbar, wenn sämtliche
Integrationsgrenzen konstant sind.
Für f(x;y;z) ≡ 1 beschreibt das Dreifachintegral das Volumen V des zylindrischen
Körpers V.
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 34

Berechnung von Dreifachintegralen - Beispiel 1
Aufgabe. Berechne das Dreifachintegral
1. Integrationsschritt (Integration nach z)
x−y
∫
z=
0
y ⋅ e
z
⋅ dz = y ⋅
x−y
∫
e
z=
0
z
⋅ dz = y ⋅
2. Integrationsschritt (Integration nach y)
x
∫
y=
0
( y
⋅ e
x−y
−
y)
⎡
⋅ dy = ⎢e
⎣
x−y
∫ ∫
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 35
I
=
2
∫
x
x=
1 y=
0
x−y
z=
0
y ⋅ e
[ ] z x−y
x−y
x−y
e = y ⋅(
e −1)
= y ⋅ e − y
z=
0
( −y
−1)
−
1
2
y
2
⎤
⎥
⎦
x
y=
0
=
e
x
−
1
2
x
2
z
⋅ dz ⋅ dy ⋅ dx
− x −1

Berechnung von Dreifachintegralen – Beispiel 1 ff.
3. Integrationsschritt (Integration nach x)
2
∫
x=
1
( e
x
−
1
2
x
daraus folgt:
I
2
x
x=
1 y=
0
2
x−y
= ∫ ∫ ∫
z=
0
⎡
− x −1)
⋅ dx = ⎢e
⎣
y ⋅ e
z
x
⋅ dz ⋅ dy ⋅ dx
−
=
1
6
x
3
−
1.
004
1.
004
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 36
1
2
x
2
⎤
− x⎥
⎦
2
1
=

Berechnung Dreifachintegrale - Zylinderkoordinaten
In physikalisch-technischen Anwendungen treten häufig rotationssymmetrische
Problemstellungen auf. Zu deren Beschreibung und Lösung verwendet man sogenannte
Zylinderkoordinaten (r;φ;z) die sich der Symmetrie des Körpers anpassen.
Definition. Die Zylinderkoordinaten eines Raumpunktes
P(x,y,z) bestehen aus den Polarkoordinaten r und φ
des Projektionspunktes P‘ in der x-y-Ebene und der
kartesischen Höhenkoordinate z.
Bemerkung. Für Zylinderkoordinaten gilt stets:
0 ≤ φ < 2π
r ≥ 0
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 37

Berechnung Dreifachintegrale - Zylinderkoordinaten ff.
Zwischen kartesischen Koordinaten (x;y;z) und
Zylinderkoordinaten (r;φ;z) bestehen die
folgenden Transformationsgleichungen
x = r cos(φ) , y = r sin(φ) , z = z
bzw.
r =
x
2
+
y
2
,
tan( ϕ)
=
Das Volumenelement dV besitzt in
den Zylinderkoordinaten die Form
dV = dA·dz = r·dr·dφ = r·dz·dr·dφ
y
x
,
z
=
z
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 38

Berechnung Dreifachintegrale - Zylinderkoordinaten ff.
∫∫∫
f(
x;
y;
z)
⋅ dV
Für ein Dreifachintegral erhält man in Zylinderkoordinaten
die Darstellung:
V
∫∫∫
V
f(
x;
y;
z)
⋅ dV = ∫∫∫f(
r cos( ϕ);
r sin( ϕ);
z)
⋅r
⋅ dz ⋅ dr ⋅ dϕ
V
Der Integrand ist jetzt eine von r, φ und z abhängige Funktion, ebenso sind
die Integrationsgrenzen mittels dieser Variablen auszudrücken. Die
Integration erfolgt durch drei nacheinander auszuführende gewöhnliche
Integrationen in der Reihenfolge z, r und φ.
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 39

Dreifachintegral mit Zylinderkoordinaten - Beispiel 1
Aufgabe. Berechne das Dreifachintegral
Integrationsbereich:
1. Integrationsschritt (Integration nach z)
R
2
−r
2
∫
z=
0
z ⋅r
⋅ dz = r ⋅
R
2
−r
2
∫
z=
0
⎡1
z ⋅ dz = r ⋅ ⎢ z
⎣2
2
⎤
⎥
⎦
R
2
−r
2
z=
0
2π
R
∫
ϕ=
0 r=
0
∫ ∫
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 40
I
1 2
= ( R r − r
2
=
3
)
R
2
−r
2
z=
0
z ⋅r
⋅ dz ⋅ dr ⋅ dϕ

Dreifachintegral mit Zylinderkoordinaten - Beispiel 1 ff.
2. Integrationsschritt (Integration nach r)
R
∫
r=
0
1
( R
2
3. Integrationsschritt (Integration nach φ)
2π
ϕ=
0
2
r − r
3
) ⋅ dr =
1
2
2π
1 4 1 4
I = ∫ R ⋅ dϕ
= R ∫
8 8
R
∫
r=
0
( R
2
r − r
ϕ=
0
3
) ⋅ dr =
dϕ
=
1 ⎡1
R
2 ⎢
⎣2
π
R
4
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 41
4
2
r
2
−
1
4
r
4
⎤
⎥
⎦
R
r=
0
1
= R
8
4

Dreifachintegral mit Zylinderkoordinaten - Beispiel 2
Aufgabe. Volumenberechnung für einen rotationssymmetrischen Körper:
Durch Rotation des Kurvenstücks z = x , 0 ≤ x ≤ 4 um die z-Achse
entsteht der skizzierte trichterförmige Drehkörper, dessen Volumen
bestimmt werden soll.
Integrationsgrenzen:
z-Integration:
r-Integration:
φ-Integration:
z = r bis z =
r = 0 bis r =
4
2
ϕ = 0
bis ϕ = 2π
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 42

Dreifachintegral mit Zylinderkoordinaten - Beispiel 2 ff.
Für das Rotationsvolumen gilt:
1. Integrationsschritt (Integration nach z)
2
∫
z=
r
2
∫
z=
r
[ z]
2. Integrationsschritt (Integration nach r)
4
∫
r=
0
2
z=
r
V
=
2π
4 2
∫ ∫
ϕ=
0 r=
0
∫r
z=
r
r ⋅ dz = r ⋅ dz = r ⋅ = r(
2 − r ) = 2r
− r
( 2r
− r
3
/ 2
) ⋅ dr
⎡ 2
= ⎢r
−
⎣
2
5
r
5
/ 2
⎤
⎥
⎦
4
r=
0
=
3.
2
⋅ dz ⋅ dr ⋅ dϕ
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 43
3
/ 2

Dreifachintegral mit Zylinderkoordinaten - Beispiel 2 ff.
3. Integrationsschritt (Integration nach φ)
V
2π
= ∫ 3.
2 ⋅ dϕ
= 6.
4π
ϕ=
0
Analysis II / FRE Funktionen mehrerer Variablen 44