Praktikumsbericht Mathematik - Mathematik und ihre Didaktik - HU ...

.
Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Didaktik der Mathematik
Schulpraktische Studien im Fach Mathematik
Frau Swetlana Nordheimer
Bericht zum Unterrichtspraktikum
im Fach Mathematik
vom 13. September bis 8. Oktober 2010
betreuende Fachdidaktikerin: Swetlana Nordheimer
Verfasserin: XXXXX
XXXXX@student.hu-berlin.de
geboren am: XX.XX.XXXX
Studienziel: Master of Education
Fachkombination: XXXXX, Mathematik
Matrikelnummer: XX XX XX
Schule: XXXXX-Gymnasium
Berlin Mitte, Klasse 9
Schulform: Gymnasium
Mentorin: XXXXX
letzte Änderung: 3. September 2010

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Klassensituation und Sozialisationserscheinungen 1
2 Unterrichtete Stoffabschnitte mit Einordnung in den Gesamtlehrgang 2
3 Sachanalyse 3
3.1 Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Existenz von Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2.1 Die Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.2 Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten . . . . . . . . . . . . 6
3.2.3 Gesetze für partielles Wurzelziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt und zu der Unterrichtsreihe
7
4.1 Darstellung möglicher Varianten für die Unterrichtsreihe . . . . . . . . . 7
4.2 Didaktische Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
9
5.1 Kompetenzen oder Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Situative Voraussetzungen und Vorkenntnisse . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 Begründung der didaktisch-methodischen Entscheidungen und Begründung
der Medienwahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.4 Verlaufsplanung in Tabellenform (Zeitraster) . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.5 Geplante Tafelbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.6 Reflexion der Stunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle 15
6.1 Der Zensurenspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2 Auswertung und Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 Hospitation 17
7.1 Teilformalisiertes Stundenprotokoll: Mathematische Begriffsbildung und
Sprechweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.2 Reflexion zu Protokoll I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.3 Teilformalisiertes Stundenprotokoll: Motivation durch Beispiele im Mathematikunterricht
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.4 Reflexion zu Protokoll II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8 Reflexion und Zusammenfassung 20
9 Literaturverzeichnis 22
9.1 Schulbücher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.2 Fachdidaktische Literatur, Fachliteratur und Quellenmaterial . . . . . . . 22
Praktikumsbericht Mathematik Autor I

Inhaltsverzeichnis
A Anhang i
A.1 Beweisführung zu den Wurzegesetzen für Produkte und Quotienten . . . i
A.2 Arbeitsblatt A1: Umformung von Wurzeltermen durch die binomischen Formeln
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
A.3 Arbeitsblatt A2: Umformung von Wurzeltermen mit dem Distributivgesetz iii
A.4 Arbeitsblatt A3: Beseitigen von Wurzeln im Nenner . . . . . . . . . . . . iv
A.5 Geplante Tafelbilder, Übungs- und Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . . v
A.5.1 Ü1: Tägliche Übung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
A.5.2 H1: Hausaufgabe zum 04.10.2010: . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
A.5.3 H2: Hausaufgabe zum 01.10.2010: . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
A.6 Sitzplan der XX, Raum 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
A.7 Auflistung der hospitierten Stunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
A.8 Leistungskontrolle Gruppe A mit Erwartungshorizont . . . . . . . . . . . ix
A.9 Leistungskontrolle Gruppe B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
A.10 Aufgeschlüsselte Punkteverteilung der LEK . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
A.11 Bewertungsmaßstab für Mathematik in der LEK . . . . . . . . . . . . . . xv
A.12 Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 im LK Ma . . . . . . xvi
A.13 Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 in der Klasse XX . . xix
B Selbstständigkeitserklärung xxiii
Praktikumsbericht Mathematik Autor II

1 Klassensituation und Sozialisationserscheinungen
1. Klassensituation und Sozialisationserscheinungen
Das XXXXX-Gymnasium ist eine staatliche Europaschule mit deutsch-griechischem Schwerpunkt
1 in Berlin-Mitte, die durch ihre Ausrichtung von einer multikulturellen Schülerschaft
mit einem hohen Migrationshintergrund geprägt ist.
Die Klasse XX des XXXXX-Gymnasiums mit 28 Schülern 2 setzt sich aus 11 Mädchen und
17 Jungen zusammen. Der Klassenverband wird durch eine heterogene Leistungsstruktur
geprägt. Der Zusammenhalt unter den Schülern ist zu dem Zeitpunkt des Unterrichtspraktikums
als schwach zu bezeichnen, da mit Beginn des neuen Schuljahres die drei Klassen
der Jahrgangsstufe aufgelöst und zwei neue Klassenverbände gebildet worden sind. Obwohl
die Schüler im gemeinsamen Umgang teilweise distanziert sind, kann das soziale Klima als
angenehm bezeichnet werden. Der hohe Anteil der Schüler mit Migrationshintergrund (86
% der Schüler haben einen muslimischen Hintergrund, der Rest ein afrikanisches, polnisches
oder kanadischen Elternteil.) stellt im gemeinsamen Schulalltag nur selten ein Problem dar,
weil das gesprochene Deutsch nicht akzentfrei ist, jedoch durch die gemachten Fehler nicht
allzu stark beeinträchtigt wird.
Die Lerngruppe präsentiert sich auf den ersten Blick als aufmerksame Klasse mit vereinzelten
leistungsstarken Schülern. Jedoch erweist es sich als schwierig, die Schüler dauerhaft für die
Mathematik zu begeistern, da sie sich schnell ablenken und nur bedingt motivieren lassen,
eigene Rechnungen durchzuführen oder Tafelanschriebe in ihren Hefter zu übernehmen. Die
Ansprechbarkeit der Klasse gestaltet sich durch die neue Klassenzusammensetzung als problematisch.
Abschweifungen vom Thema und ein hoher Lautstärkepegel erfordern regelmäßig
die Aktivierung der Aufmerksamkeit durch den Lehrer. Die Notwendigkeit der Anleitung und
Aufmerksamkeit erschwert Gruppen- oder Freiarbeiten, weil die Schüler langsam zu Ergebnissen
gelangen und sich nur kurz konzentrieren können. Da diese Arbeitsmethoden jedoch
durch praktische Anwendungen geübt werden, erfolgt im Anschluss meistens eine Sicherung
der Inhalte im Klassenverband.
Zwei Schüler erweisen sich als verhaltensauffällig und stören durch Zwischenrufe den Unterricht
sowie ihre Mitschüler. Der eine Schüler hat bereits eine Klasse wiederholt, zeigt sich
trotzdem selten gewillt, sich am Unterricht zu beteiligen und verweigert auch die Mitarbeit.
Der andere Schüler ist schwer zu motivieren und versucht, durch Fragen den Unterrichtsverlauf
zu stören. Wenn er sich jedoch angesprochen fühlt, arbeitet er elanvoll mit.
Obwohl die Klasse einen eigenen Klassenraum besitzt, sind die Arbeitsbedingungen durch eine
nicht nutzbare Tafelhälfte eingeschränkt. Ein Overheadprojektor ist vorhanden, allerdings
findet sich keine leere Wand, an die sich das Bild projizieren lässt, so dass Tafelanschriebe
kurz sein müssen und der Overheadprojektor schlecht eingesetzt werden kann.
1 Vgl. Homepage des XXXXX-Gymnasiums, www.XXXXX.de, letzter Zugriff: 01.12.2010; vgl. Homepage
der Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung, http:// www.berlin.de/sen/bildung/,
letzter Zugriff: 01.12.2010.
2 Im Folgenden werden die Schülerinnen und Schüler gleichermaßen als Schüler bezeichnet, um eine bessere
Lesbarkeit zu garantieren. Auch Lehrerinnen und Lehrer werden gleichermaßen als Lehrer bezeichnet.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 1

2 Unterrichtete Stoffabschnitte mit Einordnung in den Gesamtlehrgang
2. Unterrichtete Stoffabschnitte mit Einordnung in den
Gesamtlehrgang
In der Einheit Rechnen und Operationen mit Wurzeltermen wird der Umgang mit Quadratwurzeln
und Wurzeltermen geübt. Die Schüler sollen Quadratwurzeln addieren, subtrahieren,
multiplizieren und dividieren. In der Doppeljahrgangsstufe 9/10 ist das Thema Rechnen mit
Quadratwurzeln im Berliner Rahmenlehrplan 3 als Teilbereich des Themenfeldes: P1 9/10
Neue Zahlen entdecken, Zentrale Leitidee: Zahl verankert. Obwohl das Rechnen mit Wurzeln
als einer von fünf Unterpunkten der Zwei-Schlüssel-Kompetenz aufgeführt ist, nimmt
das Üben und die Festigung dieser Kompetenz viel Zeit in Anspruch, so dass der Unterrichtsabschnitt
wie folgt geplant und selbst unterrichtet wurde, wobei die hervorgehobene Stunde
in dem ausführlichen Unterrichtsentwurf vorgestellt wird:
Stunde Datum Stundenthema Art
1. Stunde 20.09.2010 •Zusammenhang von Quadrieren und Radizieren
•Satz: Lösungsmenge der Gleichung x2 = a
2. Stunde 27.09.2010 •Lösungsmenge der Gleichung x2 = a
•Definitionsmenge von Wurzeltermen
3. Stunde 30.09.2010 •partielles Wurzelziehen
•Darstellung von Mengen an der Zahlengerade
4.
Stunde
01.10.2010 Umformung von Wurzeltermen mit Hilfe
•der Rationalität des Nenners
•der Binomischen Formeln
•des Distributivgesetzes
DoppelstundeDoppelstundeEinzelstundeEinzelstunde
5. Stunde 04.10.2010 Lernbuffet: Umformung von Wurzeltermen Doppelstunde
6. Stunde 07.10.2010 Üben/ Festigen mit einer Aufgabensammlung Einzelstunde
7. Stunde 08.10.2010 •Durchführung des Tests
•Die Kubikwurzel 3√ x und die n-te Wurzel n√ x
Einzelstunde
Obwohl das Stundenthema im Mathematikbuch 4 zum Selbstlernen angeboten wird, handelt
es sich um ein vertiefendes Stundenthema mit dem Ziel, die drei Themenschwerpunkte in
Hinblick auf das Lösen von Wurzelgleichungen zu festigen.
Als Voraussetzung werden für die Behandlung der Quadratwurzel u.a. der sichere Umgang
mit Brüchen und das Wissen über die Eigenschaften der rationalen und irrationalen Zahlen
benötigt. Die Schüler müssen das Distributivgesetz und die binomischen Formeln beherrschen
sowie grundlegende Eigenschaften der Quadratwurzel kennen.
Durch die Zahlbereichserweiterung von den rationalen zu den reellen Zahlen erreichen die
3 Vgl. Berliner Rahmenlehrplan, S. 44.
4 Elemente der Mathematik 9 Berlin, Schroedel, 2009, S. 31 f.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 2

3 Sachanalyse
Schüler eine qualitativ höhere Ebene des mathematischen Operierens. Das Üben von Umformungen
der Quadratwurzel erleichtert es den Schülern, sich später erfolgreich mit der
Behandlung von Potenzen und Potenzgleichungen auseinander zusetzen. Der sichere Umgang
mit Quadratwurzeln bildet die Basis für die Behandlung quadratischer Funktionen und
Gleichungen, durch die sie außermathematisch dann sehr gut motiviert werden können. Das
folgende Thema, der Satz des Pythagoras, baut auf dem Wissen über Quadratwurzeln auf.
Hier erfolgt neben der innermathematischen Motivierung eine außermathematische Motivierung
anhand zahlreicher Beispiele wie das Berechnen von Höhen, die die Schüler im Alltag
anwenden können.
Das Themenfeld der reellen Zahlen, also auch die Quadratwurzel, bildet eine unverzichtbare
Grundlage für fundamentale Sätze der Analysis der kommenden Schuljahre bis in die
Sekundarstufe II. Durch die Auseinandersetzung mit Quadratwurzeln und damit der Gegenoperation
des Quadrierens erhalten die Schüler eine differenzierte und tiefgründigere Sicht
auf Möglichkeiten zur Vereinfachung von Termen, die ihnen das Rechnen und den weiteren
Umgang damit erleichtern.
3. Sachanalyse
Für die Erweiterung der rationalen Zahlen Q zu den reellen Zahlen R werden der sichere
Umgang mit den vier Grundrechenarten (+, −, · und :) auf Q vorausgesetzt. Wie üblich
werden hier die Addition und die Substraktion zur Addition zusammengefasst, da man die
Substraktion auch als Addition einer negativen Zahl auffassen kann. Das gleiche gilt für die
Multiplikation und die Division, da die Division eine Multiplikation mit dem Kehrwert einer
Zahl ist. Weiterhin ist die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der rationalen Zahlen
Q notwendig.
Die reellen Zahlen lassen sich durch die Erweiterung der rationalen Zahlen Q zu den irrationalen
Zahlen I hin zu den reellen Zahlen R motivieren. Die Charakterisierung der Vollständigkeit
der reellen Zahlen 5 erlaubt es, R aus Q zu konstruieren.
Einerseits kann R als die Menge der Klasse aller rationalen Intervallschachtelungen betrachtet
werden, wobei [an, bn] und [An, Bn] zwei Intervallschachtelungen darstellen. Diese gehören
derselben Klasse an, wenn an ≤ Bm, An ≤ bm ∀ n, m ɛ N.
Die zweite Möglichkeit ist es, die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen zu
konstruieren. Zwei Cauchy-Folgen gehören derselben Klasse an, wenn ihre Differenzenfolge
eine Nullfolge ist.
Die dritte Möglichkeit stellt die Konstruktion von R als dedekindscher Schnitt rationaler Zahlen
dar. R wird zerlegt in zwei disjunkte Teilmenge A und B, für die gilt: a < b ∀ a ɛ A, b ɛ B.
Die in der Schule übliche Möglichkeit besteht darin, den Zahlraum der rationalen Zahlen Q
um den Zahlraum der irrationalen Zahlen I zu erweitern und diese zu R zusammenzufassen.
Hierzu kann entweder der Weg über Intervallschachtelungen oder die Idee der Cauchy-Folgen
5 Vgl. Filler, Andreas: 2. Vorlesung, Folie 3.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 3

3 Sachanalyse
gewählt werden. Die Unterrichtseinheit baut auf der Herleitung über die Intervallschachtelung
auf, so dass diese durch die Betrachtung der Darstellbarkeit von Brüchen als Dezimalzahlen
näher betrachtet werden soll.
3.1. Eigenschaften der reellen Zahlen
Die reellen Zahlen R sind bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe G, d.h. sie haben
folgende Eigenschaften: 6
1. Assoziativität: ∀ a, b, c ɛ G : (a + b) + c = a + (b + c)
2. Eindeutigkeit des neutralen Elements: ∃ e ɛ G, ∀ a ɛ G : a + e = e + a = a
3. Existenz eines inversen Elements: ∀ a ɛ G ∃ b ɛ G : a + b = b + a = e
4. Kommutativität: ∀ a, b ɛ G : a + b = b + a
Des Weiteren ist (R, +) abgeschlossen, da gilt: ∀ a, b ɛ G : (a + b) ɛ G.
Bezüglich der Multiplikation sind die reellen Zahlen R ein kommutativer Monoid M, sie
haben also die folgenden Eigenschaften: 7
1. Assoziativität: ∀ a, b, c ɛ M : (a · b) · c = a · (b · c)
2. Eindeutigkeit des neutralen Elements: ∃ e ɛ M, ∀ a ɛ M : a · e = e · a = a
3. Existenz von multiplikativen Inversen: ∀ a ɛ M, a = 0 ∃ a −1 ɛ M : a · a −1 = 1.
4. Kommutativität: ∀ a, b ɛ M : a · b = b · a
Es handelt sich hierbei um keine Gruppe, da zu Null kein inverses Element vorliegt. Schließt
man diese jedoch aus und definiert die Existenz von multiplen Inversen wie oben, so ist
(R ∗ , ·) eine abelsche Gruppe. Sie ist ebenfalls abgeschlossen, da gilt: ∀ a, b ɛ M : (a · b) ɛ M.
Zusätzlich gilt auf (R, +, ·) das Distributivgesetz: ∀ a, b, c ɛ M : a · (b + c) = a · b + a · c.
Auf Grundlage der Menge der natürlichen Zahlen N lässt sich die Menge der reellen Zahlen
R durch Äquivalenzrelationen konstruieren.
Betrachte die Menge N ∗ x N ∗ mit N ∗ = N\{0}. Die Relation ist definiert durch
(a, b)(c, d) ⇔ a · d = b · c
mit den Zahlenpaaren (a, b), (c, d) ɛ N ∗ x N ∗ . Weiterhin ist sie eine Äquivalenzrelation, da sie
folgende Eigenschaften erfüllt:
1. Reflexivität: (a, b)(a, b) ∧ (c, d)(c, d)
2. Symmetrie: (a, b)(c, d) ⇔ (c, d)(a, b)
3. Transitivität: (a, b)(c, d) ∧ (c, d)(e, f) ⇒ (a, b)(e, f)
6 Vgl. Timmann: Repetitorium der Analysis, S. 15 f.
7 Timmann, S. 16.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 4

3 Sachanalyse
Die Menge der reellen Zahlen R ist gleich der Menge aller Äquivalenzklassen von N ∗ x N ∗
bezüglich der oben definierten Relation, wobei M(a) die Äquivalenzklasse von a ɛ M mit
M(a) := {b ɛ M : b a} ist. Die Addition und die Multiplikation sind beide wohldefiniert,
kommutativ und assoziativ ∀ (a, b), (c, d) ɛ R mit:
(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)
(a, b) + (c, d) = (a · d + b · c)
Die reellen Zahlen lassen sich anordnen. Für die Ordnungsrelation gilt für a, b ɛ R genau eine
der folgenden Beziehungen (Trichotomie-Eigenschaft):
a < b a = b a > b
Ferner gilt: ∀ a, b, c ɛ R
a < b ∧ b < c ⇒ a < c
a < b ⇔ a + c < b + c
a = 0 ∧ b = 0 ⇒ a · b > 0
Sei M definiert als M := {(a, b) ɛ N x N : b = 0} Menge von Paarzahlen, deren zweiter Eintrag
von Null verschieden ist. Zwei Paare (a1, b1) und (a2, b2) sind äquivalent zueinander, wenn
gilt:
Da die Notwendigkeit der Existenz reeller Zahlen aus der Intervallschachtelung und der Vollständigkeit
der reellen Zahlen hergeleitet wird, ist eine Definition der Intervallschachtelung
und der daraus resultierenden Vollständigkeit von R notwendig.
Definition 8 : Eine Intervallschachtelung ist eine Folge I1, I2, I3, ... kompakter Intervalle, kurz
(In), mit den Eigenschaften:
1) In+1 ⊂ In für n = 1, 2, 3, ...
a1
b1
= a2
b2
2) Zu jedem ɛ > 0 gibt es ein Intervall In mit einer Länge |In| < ε.
Satz 9 : Zu jeder Intervallschachtelung in R gibt es eine reelle Zahl, die allen ihren Intervallen
angehört. (Intervallschachtelungsprinzip)
3.2. Existenz von Wurzeln
Als Konsequenz aus der Vollständigkeit von R lässt sich die Existenz von Wurzeln beweisen. 10
Satz: Zu jeder reellen Zahl a > 0 und jeder natürlichen Zahl n gibt es genau eine reelle Zahl
b > 0 mit bn = a.
Anders ausgedrückt: ∀ a ɛ R und n ɛ R ∃! b ɛ R mit bn = a. Dieses b heißt die n-te Wurzel
von a mit der Bezeichnung: b = a 1
n oder b = n√ a Es gilt: Potenzen mit rationalem Exponent
r ɛ Q, r = p
, p ɛ Z, q ɛ N, q = 0 werden für x > 0 definiert durch
q
xr = x p
q := q√ xp = ( √ x) p
8 Königsberger, S. 11.
9 Königsberger, S. 12.
10 Vgl. Königsberger, Beweis auf S. 12 f.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 5

3 Sachanalyse
3.2.1. Die Quadratwurzel
Die Unterrichtseinheit behandelt den Umgang mit reellen Zahlen und Quadratwurzeltermen,
weshalb die Quadratwurzeln im Folgenden definiert wird:
Sei a > 0 eine Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll. Wenn x die Wurzel von
a ist, gilt für x = 0: x 2 = a ⇔ x = a
x
basierend auf dem arithmetischen Mittel x ′ = 1
2
, ansonsten ist x = a
x
(x + a
x
. Dann konvergiert die Folge,
) gegen die Wurzel aus a.
Satz: 11 Seien a > 0 und x0 > 0 reelle Zahlen. Die Folge (xn)nɛN sei durch
xn+1 := 1
2 (xn + a
xn )
rekursiv definiert. Dann konvergiert die Folge (xn) gegen die Quadratwurzel von a, d.h.
gegen die eindeutig bestimmte positive Lösung der Gleichung x2 = a.
Nach Forster wird für a ≥ 0 die eindeutig bestimmte nichtnegative Lösung der Gleichung
x2 = a mit √ a bezeichnet. Die Gleichung x2 ⎧
= a hat folgende Lösungen:
⎨ a = 0 : x = 0
L =
⎩ a > 0 : ± √ a
Definition (in der Schule gebräuchlich): Unter der Quadratwurzel aus a (Schreibweise
√ a oder 2 √ a, a heißt Radikand) versteht man diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert
a ergibt. Die Quadratwurzel in nichtnegativ.
Satz: ∀ a ɛ R gilt: √ a 2 = |a|
3.2.2. Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten
Auf Grundlage der Definition und des Satzes aus Kapitel 3.2.1 lassen sich die beiden Wurzelgesetze
für Produkte und Quotienten auf dem Zahlenraum der reellen Zahlen in R herleiten.
W1 ∀ a, b ≥ 0, a, b ɛ R : √ a · √ b = √ a · b
W2 ∀ a, b ≥ 0, a, b ɛ R :
√ a
√b = a
b
Der Beweis findet sich im Anhang A.1 auf Seite i.
3.2.3. Gesetze für partielles Wurzelziehen
Neben den bereits genannten Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung sind
die drei Gesetze für das partielles Wurzelziehen elementar, um Terme umformen zu können.
Sie lassen sich mit Hilfe des Satzes und den Gesetzen für Produkte und Quotienten beweisen.
P1 ∀ a, b ɛ R, b ≥ 0 : √ a 2 b = |a| · √ b Beweis: √ a 2 b = √ a 2√ b = |a| · √ b
P2 ∀ a, b ɛ R, a ≥ 0, b = 0 : a
b2 = √ a
|b|
P3 ∀ a, b ɛ R, b > 0 :
a 2
b
= |a2
√ b
Beweis:
a2 b = √ a2 b
= |a|
b
Beweis: a
b2 = √ a
b2 = √ a
|b|
11 Forster, Otto: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Braunschweig 1983,
S. 34; Beweis auf S. 34 f.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 6

4 Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt und zu der Unterrichtsreihe
4. Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt
und zu der Unterrichtsreihe
4.1. Darstellung möglicher Varianten für die Unterrichtsreihe
Eine Einführung der Quadratwurzel und ihrer Rechenoperationen ist auf verschiedene Arten
möglich. Die erste Möglichkeit besteht in der deduktiven Spezialisierung der allgemeinen
n-ten Wurzel hin zu der Quadratwurzel als Spezialfall. Diese Variante, wie sie universitär
beschritten wird, stellt für die Schule jedoch keine gute Möglichkeit dar, da diese Darstellung
sich als zu abstrakt für die Schüler erweist und der induktive Umkehrschluss von der
Quadratwurzel hin zur Kubikwurzel schülernäher ist.
Die Einführung der Quadratwurzel ist durch die Mentorin über eine Intervallschachtelung als
Berechnung der Quadratwurzel über einen nicht abbrechenden Dezimalbruch erfolgt. 12 Eine
weitere Möglichkeit hätte in der Konstruktion eines Quadrates und seiner Diagonale ohne
explizite Berechnung von √ 2 bestanden, an dem die Schüler die Wurzel geometrisch erfahren
hätten. 13 Nach der Betrachtung der Eigenschaften von abbrechenden und periodischen
Dezimalbrüchen wird der kognitive Konflikt der Länge der Quadratdiagonale erzeugt. Das
Zuhilfenehmen der Inkommensurabilität erleichtert es, den Beweis der Irrationalität einer
Wurzel zu führen und hebt die besondere Eigenschaft der irrationalen Zahlen, die Nichtdarstellbarkeit
als gewöhnlicher Bruch, hervor.
Als Einstieg in die selbstständig geplante Unterrichtsreihe wird zunächst der Zusammenhang
zwischen dem Quadrieren und Radizieren sowie die Lösungsmenge der Gleichung x 2 = a herausgearbeitet.
Darauf aufbauend wurden die Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten mit
ihren speziellen Anwendungen und die Darstellung von Wurzeltermen an der Zahlengerade
erarbeitet. Diese Vorgehensweise wurde gewählt, um Umformungsschritte und das Verständnis
für die Gesetze zu erleichtern und vorzubereiten. Hiervon ausgehend ist es jedoch schwer,
den weiteren Umgang mit Wurzeltermen für die Schüler außermathematisch zu motivieren.
Sie kennen bereits die Darstellbarkeit einer Wurzel an der Zahlengerade, die Rechenregeln
und ihre Anwendung sind jedoch nur sehr mühsam durch viele Übungsaufgaben erlernbar.
Es fällt den Schülern schwer nachzuvollziehen, warum es notwendig ist, die Definitionsmenge
eines Wurzelterms zu betrachten, trotz dass sie sich der Nichtnegativität einer Wurzel bewusst
sind. Ausgewählte Gegenbeispiele, bei denen der Radikand beispielsweise negativ ist,
sollen die Notwendigkeit zur Betrachtung der Definitionsmenge innermathematisch motivieren,
ohne auf den zu komplizierten Begriff der Konvergenz einer Folge zurückzugreifen. Die
Darstellbarkeit der Definitionsmenge an der Zahlengerade wurde gewählt, um den Schülern
einen optischen bzw. geometrischen Zugang zu dieser Problematik für das bessere Verständnis
anzubieten. Der Schluss von der Quadratwurzel zur Kubikwurzel erlaubt es, die Einheit
sinnvoll abzuschließen, da der Spezialfall über die Betrachtung der Kubikwurzel auf die all-
12 Vgl. Elemente der Mathematik 9, S. 20; Lambacher Schweizer 9, Klett 2008, S. 12; Mathematik heute
9, Schroedel 1992, S. 7.
13 Vgl. z.B. Hahn, Dzewas: Mathematik 9, Westermann 1995, S. 72.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 7

4 Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt und zu der Unterrichtsreihe
gemeine Behandlung der n-ten Wurzel erweitert wird.
Es wäre möglich, die Darstellung von Wurzelfunktionen bei der intuitiven Einleitung von
Wurzeln voraus zunehmen. 14 Diese Möglichkeit wurde allerdings nicht gewählt, um den
Schwerpunkt nicht auf den Funktionsbegriff zu legen. Dieser hätte die Schüler vermutlich
irritiert, da es notwendig gewesen wäre, sich zusätzlich zu der neuen Thematik im Umgang
mit Wurzeln auch mit dem Funktionsbegriff und der Darstellung von Funktionsgraphen auseinander
zusetzen.
4.2. Didaktische Reduktion
Die Einführung der reellen Zahlen R erfolgt nicht axiomatisch, sondern basierend auf dem
kognitiven Konflikt der Notwendig der Erweiterung des Zahlbereiches von Q. Für die Herstellung
des Zusammenhanges zwischen den rationalen Zahlen werden diese um die irrationalen
Zahlen I erweitert und die bisher geltenden Eigenschaften beibehalten. Q und I werden als
Erweiterung des Zahlbereiches zu R zusammengefasst. Hier gilt der axiomatische Aufbau,
ohne dass er mit den Schülern explizit behandelt wird.
Da eine Betrachtung der Wurzel vom Spezialfall der Quadratwurzel hin zur n-ten Wurzel
erfolgt, wird für die Quadratwurzel folgende vereinfachte Definition gebraucht:
Definition: Unter der Quadratwurzel aus a (Schreibweise √ a oder 2√ a, a heißt Radikand)
versteht man diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. Die Quadratwurzel ist
nichtnegativ.
Die Definition der Quadratwurzel nach Forster 15 wird hier deutlich vereinfacht, da der in der
Sachanalyse gegebene Begriff der Konvergenz von Folgen nicht benutzt werden kann, da auf
ihn nur intuitiv zurück gegriffen werden kann. Dies wurde durch die Intervallschachtelung
zwar approximativ veranschaulicht, jedoch wird mit der oben genannten vereinfachten Definition
der Quadratwurzel gearbeitet, ohne auf die Definition der Intervallschachtelung nach
Königsberger auf Grund ihrer Abstraktheit zurückzugreifen. Der Satz zur Quadratwurzel
wird den Schülern durch die Betrachtung des Betrages auf der Zahlengerade ohne Beweisführung
näher gebracht.
Der Beweis für die Wurzelgesetze für Produkte wird zu Beginn der Unterrichtseinheit an der
Tafel vorgeführt und analog von den Schülern für Quotienten behandelt. Hiermit soll eine
Heranführung an das mathematisch korrekte Führen von Beweisen auf Schulniveau erreicht
werden. Trotz dass beide Beweisführungen 16 für den Unterricht relevant sind, wird nicht der
Weg über die Betrachtung der Eigenschaften gewählt, sondern die zweite Beweisführung, da
hier die Operationen bei einer Gleichung für Schüler leichter nachzuvollziehen sind.
Der Unterrichtsstoff der Einheit wird teilweise im zweiten Abschnitt stark vom formalen
Denken hin zum intuitiven Umgang mit Wurzeltermen vereinfacht, um dem Niveau der
Schüler und dem Bedürfnis nach Anwendung angepasst zu werden. Die Gesetze für das partielle
Wurzelziehen, die Anwendung des Distributivgesetzes und der binomischen Formeln
14 Vgl. Hahn/ Dzewas: Mathematik 9, S. 72.
15 Vgl. Kapitel 3.2.1 auf Seite 6.
16 Vgl. Beweisführung im Anhang A.1 auf Seite i.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 8

5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
sowie das Rationalmachen des Nenners erfolgen ohne Beweisführung, damit sich die Schüler
auf die Anwendung dessen konzentrieren können. Die Betrachtung der Definitionsmengen
von Wurzeltermen erfolgt lediglich durch das Berechnen bzw. Aufstellen in mathematischer
Schreibweise D = {Variable ɛ R|Variable. . . }. Hierbei wird als didaktische Reduktion nicht
weiter auf die Eigenschaften von Mengen auf universitärem Niveau eingegangen, sondern
inhaltlich-anschaulich erklärt.
Auch der Begriff der Wurzel als Konvergenz einer Folge wird den Schülern nicht näher gebracht,
da die Schuldefinition mittels einer Intervallschachtelung hergeleitet, aber nicht als
explizite Folge charakterisiert wurde. Die Quadratwurzel als Produkt zweier Zahlen bietet
eine leichter zu begreifende Möglichkeit des Begriffs und bereitet zugleich das Verständnis
für den Satz des Pythagoras und die Potenzgesetze vor. Trotzdem wird das Verhalten einer
Folge verbal beschrieben.
Die Vollständigkeit der reellen Zahlen R wird in der Klasse als Dichtheit der reellen Zahlen
behandelt, ohne dass jedoch der Begriff der Stetigkeit genannt wird. Die Notwendigkeit der
Stetigkeit wird zwar in Bezug auf das Stopfen der Löcher auf der Zahlengerade impliziert
und von einem intuitiven Begriff der Stetigkeit ausgegangen, jedoch würde eine Behandlung
der Stetigkeit mittels der ε − δ−Sprache zu abstrakt sein.
5. Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der
Umformung von Wurzeltermen
Die im folgenden beschriebene Stunde wurde am 1. Oktober 2010 in der Klasse XX des
XXXXX-Gymnasiums unterrichtet. Das Thema der Einzelstunde lautet Umformen von Wurzeltermen
mit den binomischen Formeln, dem Distributivgesetz und durch das Rationalmachen
des Nenners.
5.1. Kompetenzen oder Lernziele
• Die Schüler kennen die reellen Zahlen, ihre grundlegenden Eigenschaften und können
auf diesem für sie neuen Zahlenraum sicher addieren, subtrahieren, multiplizieren und
dividieren. (Kompetenzziel der Unterrichtsreihe)
Die Schüler im oberen Leistungsniveau
• formen Wurzelterme mit Hilfe der binomischen Formeln und des Distributivgesetzes um
und erkennen Gesetzmäßigkeiten. Sie machen den Nenner von Wurzeltermen rational,
indem sie sinnvoll erweitern und dabei die binomischen Formeln zur Hilfe nehmen.
• bearbeiten in Gruppen zügig und zielführend die gestellten Aufgaben und erläutern
der Klasse an der Tafel selbstständig ihre gemeinsam ausgewählten Übungsaufgaben.
(soziale Kompetenz)
Praktikumsbericht Mathematik Autor 9

5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
Die Schüler im unteren Leistungsniveau
• formen Wurzelterme mit Hilfe der binomischen Formeln und des Distributivgesetzes
um, können aber keine eigenen Aufgaben formulieren. Sie machen den Nenner von
Wurzeltermen rational, indem sie sich an den Beispielaufgaben orientieren.
• bearbeiten in Gruppen langsam die gestellten Aufgaben und erläutern auf Nachfrage
den Rechenweg ihrer gemeinsam gewählten Übungsaufgaben.
5.2. Situative Voraussetzungen und Vorkenntnisse
In den vorangegangenen Stunden wurden die Eigenschaften der Quadratwurzel 17 und die
damit verbundenen Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten 18 eingeführt. Auch mit Hilfe
des partiellen Wurzelziehens, der Bestimmung der Definitionsmenge einer Wurzel und ihrer
Darstellung an der Zahlengerade sind die Schüler für Umformungstechniken und das graphische
Verständnis sensibilisiert worden. Die Hausaufgabe diente zur Festigung des Wissens
über partielles Wurzelziehen und die Wurzelgesetze.
Trotz dass der Klassenraum verhältnismäßig klein ist für eine Klasse mit 28 Schülern, wird
eine offene Form des Unterrichts gewählt, um diese den Schülern näher zubringen und das
eigenständige Arbeiten zu fördern. Um keine Zeit während der Stunde zu verlieren, werden
bereits in der Pause zuvor die Tische zu sechs Gruppentischen à zwei bzw. drei Tische zusammengestellt.
Da die Schüler in der vergangenen Stunde geäußert haben, dass sie gerne
die praktische Anwendung der Umformung von Wurzeltermen üben würden, ist die heutige
Stunde als Übungs- und Anwendungsstunde ausgelegt, in der aber trotzdem eine inhaltliche
Vertiefung erfolgt.
Die Schüler müssen sich ein Thema selbstständig erarbeiten und dieses dem Rest der Klasse
vorstellen. Die Form des selbstverantwortlichen Lernens fällt der Klasse großteils sehr
schwer. Deshalb ist das Aufgabenblatt so konzipiert, dass anhand vorgebener Beispiele das
inhaltliche Konstrukt erarbeitet, verstanden und dann an selbst gewählten Beispielaufgaben
verdeutlicht werden soll. Obwohl die binomischen Formeln und das Distributivgesetz als bekannt
vorauszusetzen sind, hat sich in den vergangenen Stunden gezeigt, dass davon nicht
ausgegangen werden kann. Deshalb sind diese auf dem jeweiligen Arbeitsblatt abgedruckt,
damit die Bearbeitung der Blätter nicht aufgrund mangelnden Vorwissens beeinträchtigt
wird.
In den beiden folgenden Stunden werden zwei verschiedene Formen der Übung für die Schüler
angeboten. Beiden Varianten, das Lernbuffet und die Aufgabensammlung, liegen dieselben
Aufgaben zu Grunde, so dass jeder Schüler als Vorbereitung für den Test vor den Herbstferien
und die Klassenarbeit nach den Ferien die für ihn optimale Lernstrategie finden, sein Wissen
bündeln und festigen kann.
17 Vgl. Kapitel 3.2.1 auf Seite 6.
18 Vgl. Kapitel 3.2.2 auf Seite 6.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 10

5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
5.3. Begründung der didaktisch-methodischen Entscheidungen und
Begründung der Medienwahl
Die geplante Stunde steht an dieser Stelle der Unterrichtseinheit, da sie elementare Bearbeitungsstrategien
von Wurzeltermumformungen behandelt und als letzter inhaltlicher Baustein
für die Lernerfolgskontrolle fehlt. Die Schüler erhalten zur Wurzeltermumformung einige Beispiele,
an denen sie ihr Wissen erweitern und ihr Verständnis vertiefen können.
Die Verbindung von theoretischem Wissen und der praktischen Anwendung durch Übungsaufgaben
erweist sich in dieser Klasse als besonders notwendig, da es vielen Schülern schwer
fällt, Sätze oder Definitionen sachlogisch korrekt zu durchdenken. Die Möglichkeit, die Herleitung
der Rechengesetze, die angewandt werden, an der Tafel zu erklären und diese in Form
eines Satzes zu notieren, erscheint hier nicht sachdienlich. Bei der Wahl eines gelenkten Unterrichtsgesprächs
hätten sich nur vereinzelte Schüler mit Wortmeldungen beteiligt und der
Großteil wäre passiv geblieben, hätte nicht zugehört oder gestört. Bei der Erarbeitung der
Themen in Einzelarbeit wären die Schüler jedoch nicht miteinander in Interaktion getreten,
so dass diese Möglichkeit der Unterrichtsgestaltung verworfen wurde.
Als Einstieg wurde die Form der täglichen Übung gewählt. Der Stundenbeginn wird deutlich
signalisiert, die Schüler können zur Ruhe kommen und durch die Konzentration in der Bearbeitung
wird eine didaktisch wertvolle Arbeitsathmosphäre geschaffen. Die einzelne Lösung
der diktierten Aufgaben zeigt jedem Schüler einzeln auf, wo seine individuellen Schwächen
liegen und was er noch einmal wiederholen sollte. Normalerweise erfolgt der Vergleich der
Ergebnisse in der Partnerarbeit. Wegen der schwierigen Vergleichsmöglichkeiten der graphischen
Darstellungen werden diese als Ergebnissicherung ausnahmsweise an der Tafel eingezeichnet.
Außerdem können im Hinblick auf die Lernerfolgskontrolle und die Klassenarbeit
formale Fehler direkt beseitigt werden, so dass sich keine falsche Darstellung einprägt.
Das Vorstellen der Gruppenarbeit und das Erklären der drei Gruppen ermöglicht die Zielangabe
der Stunde. Die Schüler erfahren, worin die Schwerpunkte der Stunde liegen und auf
welche Weise sie diese erarbeiten sollen. Der Lehrervortrag ermöglicht es, notwendige Informationen
zum Ablauf der Stunde und Organisatorisches kompakt und schnell zu erklären.
Gleichzeitig können Schülerfragen geklärt und offene Probleme direkt gelöst werden.
Für die Erarbeitungsphase wurde die Form der Arbeitsblätter gewählt, da drei verschiedene
Themen erarbeitet und durchdacht werden sollen. Die Gruppengröße von 4-5 Schülern wurde
gewählt, da hier jeder Schüler der jeweiligen Gruppe gezwungen ist, sich an der Erarbeitung
zu beteiligen, ohne sich zurücklehnen zu können. Trotzdem liegt die Last der Verantwortung
nicht bei einem einzelnen Schüler, sondern verteilt sich optimalerweise gleichmäßig auf die
Gruppenmitglieder. Um Ergebnisse erzielen zu können, müssen sie in Interaktion miteinander
treten. Obwohl die sechs Gruppen sechs mögliche Themen suggerieren, ist eine Auswahl
der drei genannten Themen erfolgt, da es sonst zu viele inhaltlich neue Schwerpunkte für die
Stunde gäbe. Es ist für die Schüler bereits schwierig genug, sich mit drei neuen Vertiefungsbereichen
auseinander zu setzen. Schwierigkeiten können in der Erarbeitungsphase in Form des
fachlichen Verstehens und in der Gruppendynamik entstehen. Das Verständnis des Inhalts
Praktikumsbericht Mathematik Autor 11

5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
wird, wie bereits beschrieben, durch die Informationsboxen auf dem Arbeitsblatt und die
Beispielaufgaben erleichtert. Die farblichen Hervorhebungen erleichtern das Erkennen von
Zusammenhängen. Das Anleiten zum Zusammenarbeiten muss sukzessive gefördert werden.
Falls Probleme in einer Gruppe auftreten sollten, kann der Lehrer als Vermittlungsperson
zur Verfügung stehen oder auch die Gruppen zur intensiven Bearbeitung auffordern.
Nach dieser Phase ist bei verlängerter Erarbeitungszeit ein Ende der Stunde möglich. Um
einen sinnvollen Stundenabschluss zu gewähren, würden die zu diesem Zeitpunkt erarbeiteten
Übungsaufgaben zwischen den jeweiligen Partnergruppen ausgetauscht und die weitere
Bearbeitung als Hausaufgabe gestellt werden. Die Präsentation für die anderen vier Gruppen
würde auf die folgende Stunde verschoben werden, so dass hierdurch ein Aufgreifen und eine
Wiederholung der Stundeninhalte erfolgen kann, ohne dass ein inhaltlicher Bruch zustande
kommt.
Die Sicherung der Ergebnisse soll in einer Präsentationsphase stattfinden. Die Unterrichtsform
ermöglicht den Schülern, das freie Sprechen und das Erklären sowie das Schreiben an der
Tafel zu üben. Die Verbalisierung der mathematischen Fachbegriffe wie sinnvoll Erweitern
und die Kennzeichnung der angewendeten Rechengesetze ermöglicht es den anderen Schüler,
die Themen, die sie selbst nicht bearbeitet haben, zu verstehen, die Rechenwege nachzuvollziehen
und auf die gestellten Übungsaufgaben direkt anzuwenden. Der Tafel wurde der
Vorzug gegenüber dem Overhead-Projektor gegeben, da für diesen eine nicht vorhandene
freie Wand notwendig wäre.
Die Hausaufgabe besteht aus Anwendungsaufgaben zu den drei behandelten Themengebieten
und dient als Festigungsmöglichkeit für das Gelernte. Die Schüler sollen die Algorithmen
verinnerlichen und verstehen können.
Als Reserve dient die Hausaufgabenbesprechung zu der heutigen Stunde.
5.4. Verlaufsplanung in Tabellenform (Zeitraster)
Phase/
Zeit
Einstieg
10:00 -
10:10 Uhr
Lehrerhandeln Schülertätigkeiten Lerninhalte/
Ziele
(Stichpunkte)
Begrüßung der Schüler (S)
durch die Lehrerin (L).
Durchführung einer täglichen
Übung: L liest den Arbeitsauftrag
vor, notiert die Mengen
und zeichnet die Zahlengeraden
an der Tafel an.
Stelle die Menge graphisch an der
Zahlengerade dar oder nenne die
Menge, für die Zeichung gilt.
S öffnen ihr Übungsheft,
notieren das
Datum, hören den
Arbeitsauftrag
und schreiben die
Mengen in das
Übungsheft. Sie
lösen die Aufgaben
eigenständig, nennen
die Mengen, stellen
sie graphisch an
der Tafel dar und
korrigieren mögliche
Fehler.
Verschriftlichung
von gesprochenen
Mengen,
Darstellung von
Mengen an der
Zahlengerade
Sozialform/
Materialien
Einzelarbeit,Unterrichtsgespräch
(Ü1, Heft)
Praktikumsbericht Mathematik Autor 12

5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
Einleitung
10:10 -
10:15 Uhr
Erarbeitung
10:20 -
10:30 Uhr
Präsentation
und Übung
10:30 -
10:45 Uhr
Reserve:
Hausaufgabe
L erklärt den Ablauf der kommenden
Stunde.
Wie ihr bemerkt habt, sind die Ti-
sche in Gruppen zusammengestellt.
Wir werden heute in sechs Grup-
pen mit jeweils 4-5 Schülern arbei-
ten. Die drei Themen werden im-
mer von zwei Gruppen bearbeitet,
so dass ihr euch hinterher gegenseitig
ergänzen könnt. L teilt Gruppen
ein, erklärt Arbeitsauftrag
und gibt Bearbeitungszeit
vor.
L steht für Rückfragen zur
Verfügung.
S finden sich in den
Gruppen zusammen,
hören zu und klären
eventuelle Verständnisprobleme.
S erhalten A1, A2, A3
und lesen den Arbeitsauftrag
und bearbeiten
die Aufgaben.
inhaltiche und
formale Zielangabe
selbständiges
Erarbeiten von
neuen Inhalten,
produktive Interaktion
in der
Gruppe
Lehrervortrag
Gruppenarbeit
(A1, A2, A3)
mögliches Stundenende, HA: S formen die von den Partnergruppen gefundenen Terme um.
L moderiert bei auftretenden
Problemen.
S nennen ihr Thema,
geben eine Überschrift
an, rechnen
ein Beispiel an der
Tafel vor und erläutern
den Rechenweg.
Sie schreiben einen
weiteren Term für ihre
Mitschüler an die
Tafel.
Präsentation
von Ergebnissen,Verbalisierung
von
Rechenwegen
Stundenende, HA H1: S. 32, Nr. 3 d - f, 9, S. 33, Nr. 15 c, d
L fordert S auf, ihre Hausaufgaben
zu vergleichen. Bei
Fehlern werden auftretende
Probleme benannt und mit
seinem Sitznachbarn geklärt.
Während des Vergleich kontrolliert
L die Vollständigkeit
der Hausaufgaben bei den
Schülern.
5.5. Geplante Tafelbilder
S vergleichen ihre
Ergebnisse und setzen
einen Haken bei
richtigem Lösungsweg
und Ergebnis.
Bei Problemen suchen
sie gemeinsam
mit ihrem Sitznachbarn
den Fehler und
korrigieren ihn.
Finden von
Fehlern und
eigenständige
Korrektur bzw.
Korrektur in
Partnerarbeit.
Gruppenarbeit
(Heft)
Partnerarbeit
(H2, Heft)
Da sich die Schüler selbstständig Aufgaben ausdenken müssen, sind die Beispielaufgaben
exemplarisch für das Tafelbild aufbereitet worden.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 13

5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen
Umformung von Wurzeltermen durch die binomischen Formeln
Beispiel: (5 + √ 13) · (5 − √ 13) = (5 + √ 13) · (5 − √ 13)
= 5 2 − √ 13 2 = 25 − 13 = 12
Übung: ( √ 3 + √ 12) 2 = ( √ 3 + √ 12) 2 = √ 3 2 + 2 √ 3 √ 12 + √ 12 2
= 15 + 2 √ 3 · 12 + 12 = 27 + 2 √ 36 = 27 + 2 · 6 = 27 + 12 = 39
Umformung von Wurzeltermen mit dem Distributivgesetz
Beispiel: √ 7 · (1 + √ 7) = √ 7 · (1 + √ 7) = √ 7 · 1 + √ 7 · √ 7
= √ 7 + √ 7 · 7 = √ 7 + √ 49 = √ 7 + 7
Übung: ( √ 25b + √ 25c) − ( √ 16b + √ 16c) = ( √ 25 √ b + √ 25 √ c) − ( √ 16 √ b + √ 16 √ c)
= √ 25(b + c) − √ 16(b + c) = 5(b + c) − 4(b + c) = b + c
Beseitigen von Wurzeln im Nenner (Den Nenner rational machen)
Beispiel: 10
√ 5 = 10√ 5
√ 5 √ 5 = 10√ 5
√ 5·5 = 10√ 5
5
= 2√ 5
1 Übung:
3+ √ 5 = 1·(3−√5) (3+ √ 5)(3− √ 5) = 3−√5 32− √ 5 2 = 3−√5 9−5 = 3−√5 4
Die weiteren Materialen wie die Tägliche Übung und die Hausaufgaben befinden sich im
Anhang A.5.3 auf Seite vi. Der Sitzplan der Klasse XX findet sich im Anhang A.6 auf
Seite vi.
5.6. Reflexion der Stunde
Der Beginn der Stunde gestaltet sich insoweit problematisch, dass die Schüler nicht zur Ruhe
finden. Deshalb stehen die Schüler, nach Absprache mit der Mentorin, zu Beginn der Stunde
auf, um einen gemeinsamen Anfang zu finden. Leider hat sich gezeigt, dass die Schüler trotz
des wiederkehrende Rituals nur schwer aus der Lebendigkeit der vorangegangenen Pause in
die Aufmerksamkeit des Unterrichtsgeschehens finden. Die tägliche Übung unterstützt diesen
Wechsel und es hat sich gezeigt, dass diese Art des Stundenbeginns sinnvoll ist. Die Schüler
nehmen gerne die Möglichkeit wahr zu zeigen, was sie gelernt haben. Aus den Reaktionen
bei dem Vergleichen konnte daraus geschlossen werden, dass das graphische Darstellen von
Wurzeltermen an der Zahlengerade zwei Drittel der Klasse kaum mehr Schwierigkeiten bereitet.
Durch das langsame „zur Ruhe kommen“ ist jedoch zu viel Zeit verloren gegangen,
die am Ende der Stunden fehlt.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 14

6 Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle
Bereits aus den Reaktionen bei dem Umstellen der Tische und während des Lehrervortrages
hat sich gezeigt, dass die offene Arbeitsform des Gruppenlernens bei einem Teil der Schüler
als unnötig angesehen wird. Sie präferieren den Frontalunterricht, haben sich in den Gruppen
jedoch erstaunlich ruhig und angenehm verhalten. Auch wenn einzelne Schüler immer wieder
dazu angehalten werden mussten, sich mit der Thematik auseinander zusetzen, haben die
Schüler innerhalb der Gruppen jedoch gute Ergebnisse erzielen können. Bei der Vermittlung
des Unterrichtsinhaltes in einem Frontalunterricht hätten sich vermutlich die anderen Schüler
ablenken lassen.
Leider hat sich die Bearbeitungszeit des Aufgabenzettels als zu kurz kalkuliert erwiesen. Es
hat sich bestätigt, dass die Klasse sehr langsam Aufgaben bearbeitet und vor allem langsam
rechnet. Die Hälfte der Schüler arbeitet sehr schnell, macht aber regelmäßig gravierende
Fehler. Die andere Hälfte gelangt zu einem richtigen Ergebnis, braucht dafür jedoch eine
sehr lange Bearbeitungszeit. Die Arbeit in Gruppen kommt diesem differierten Arbeitsverhalten
entgegen, da die Schüler sich gegenseitig austauschen, was sie in dieser Stunde auch
ausführlich getan haben. Leider hat sich die Bearbeitungszeit derart verlängert, dass die
Präsentation einer der drei Gruppen in die folgende Stunde verschoben werden musste. Dies
stellt allerdings kein Defizit dar, da so die Inhalte wiederholt und aufgefrischt werden konnten.
Eine kleine Veränderung scheint auf dem Aufgabenzettel zu dem Rationalmachen des Nenners
sinnvoll. Die Schüler haben bei einer Summe oder einer Differenz im Nenner nur mit
Hilfe erkannt, dass der Nenner zu einer binomischen Formel ergänzt werden und diese dann
angewandt werden muss. Ein Hinweis auf dem Aufgabenzettel erleichtert beim nächsten Mal
die Bearbeitung, da es sich hierbei zusätzlich noch um die am anspruchsvollsten zu bearbeitende
Arbeitsgruppe handelt. Ansonsten kann gesagt werden, dass die Stunde in Bezug auf
die Erfüllung der anfangs formulierten Lernziele theoretisch sehr gut konzipiert worden ist.
Leider hat nur ein Teil der Schüler alle drei Kompetenzen erlangen können, da die Klasse
sehr langsam lernt und es vielen Erklärungsversuchen bedarf. Im Umgang mit der Anwendung
der binomischen Formeln und dem Distributivgesetz haben die meisten Schüler jedoch
die angestrebten Lernziele erreichen können.
6. Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle
Die Durchführung der dargestellten Lernerfolgskontrolle (LEK) 19 ist am Ende der Unterrichtseinheit
Rechnen mit Quadratwurzeln in der Klasse XX durchgeführt worden. Die LEK
besteht aus jeweils fünf Aufgaben und ist, wegen der begrenzten räumlichen Situation, in
zwei Varianten A und B durchgeführt worden, um Täuschungsversuche zu verhindern. In
Absprache mit der Lehrerin wurden die Umformung von Wurzeltermen, die Angabe des
19 Die beiden Aufgabenblätter mit den Aufgabenstellungen befinden sich, zusammen mit dem Erwartungshorizont,
einer aufgabenspezifischen Verteilung der Punkte und einer Einteilung in die drei Aufgabenbereiche
im Anhang im Kapitel A.8 auf Seite xi.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 15

6 Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle
Definitionsbereiches eines Wurzelterms und seine graphische Darstellung sowie die Lösungsmenge
einer einfachen quadratischen Gleichung als Inhalte gestellt. Die letzte Aufgabe wurde
als Textaufgabe gestellt und die Schüler mussten die Wurzelgesetze für den Beweis kreativ
anwenden. Da bei dieser Aufgabe eigene Überlegungen ohne erfolgte Vorgabe des Lösungsweges
notwendig sind, ist diese Aufgabe so gewählt worden, dass sie bewältigt werden musste,
um eine Note im sehr guten Bereich zu erlangen. Durch die einfache Anwendung der Wurzelgesetze
in Aufgabe 1 jedoch soll gewährleistet werden, dass die Schüler den Test bewältigen
können.
6.1. Der Zensurenspiegel
Note 1 2 3 4 5 6
Anzahl - 3 3 5 13 2
Im Anhang ist, zusätzlich zu der detaillierten Aufschlüsselung nach Aufgaben (Anhang A.10
auf Seite xiv) auch der Bewertungsmaßstab für Mathematik (Anhang A.11 auf Seite xv)
einzusehen, auf den in der Auswertung Bezug genommen wird.
6.2. Auswertung und Reflexion
Der Notenspiegel bildet leider die schwache Leistungen der Klasse relativ gut ab. Ein Großteil
der Klasse arbeitet entweder sehr langsam und sorgfältig, kann sich dafür die Zeit nicht
gut einteilen, oder bearbeitet die Aufgaben schnell und unkonzentriert, woraus viele Fehler
resultieren. Die LEK ist verhältnismäßig schlecht ausgefallen. Lediglich drei Schüler haben
im guten Notenbereich abgeschnitten. Die ungenügenden Leistungen haben sich im Unterricht
bereits durch den Unwillen, sich am Unterrichtsgeschehen zu beteiligen, angedeutet.
Insgesamt darf die LEK von den Aufgaben her nicht als zu schwer angesehen werden. Obwohl
es in der LEK 24 Punkte zu erreichen gab, wurde auf Wunsch der Mentorin der strengere
Maßstab für weniger als 20 Punkte 20 angesetzt mit der Begründung, dass die Aufgaben die
Unterrichtsinhalte in sehr gut zu lösender Weise wiederspiegeln. Auf Basis des positiveren
Maßstabs wäre folgende Verteilung der Noten erfolgt: 3x Note 2, 4x Note 3, 9x Note 4, 8x
Note 5, 2x Note 6. Als Zeitangabe wurden 20 Minuten kalkuliert und den Schüler standen
schlussendlich 25 Minuten zur Verfügung. Auch wenn sechs Schüler bereits vor Abgabeschluss
fertig waren, sollte bei zukünftigen Leistungskontrollen mehr darauf geachtet werden, dass
die Schüler ausreichend Zeit für die Bearbeitung erhalten.
Auf Grund der vielen Unterrichtsinhalte konnte nur schwer eine wirkliche Schwerpunktsetzung
innerhalb der Aufgaben erfolgen. Jede Aufgabe deckt einen Themenbereich ab, der
explizit behandelt worden ist. Im Einzelnen ist aufgefallen, dass es einigen Schülern schwer
fällt, die verschiedenen Wurzelgesetze angemessen anzuwenden. Dem Großteil der Klasse hat
20 Vgl. die Maßstabstabelle im Anhang A.11 auf Seite xv.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 16

7 Hospitation
es kaum Schwierigkeiten bereitet, die Wurzel über einem Bruch durch Umformungen aufzulösen
oder zwei Wurzeln miteinander richtig zu multiplizieren. Trotz zweifacher Behandlung
und der Klärung aller dazu auftretenden Fragen haben die Schüler jedoch die Notwendigkeit
des Betrages bei Wurzeltermen nicht verinnerlicht. Da in der Unterrichtsstunde, in der dieser
thematisiert wurde, Probleme im Verständnis der Schüler aufgetreten sind, wurde das Thema
erneut aufgegriffen. Die graphische Darstellung von Definitionsmengen an der Zahlengerade
wurde großteils erfolgreich umgesetzt und beim Rationalmachen des Nenners sinnvoll erweitert.
Für einige Schüler stellt die Verknüpfung mit den binomischen Formeln hierbei noch
ein Problem dar. Weiterhin musste, auch zum Entsetzen der Lehrerin, festgestellt werden,
dass die Schüler trotz zahlreicher Hinweise und Ausführungen Wurzelterme nicht möglichst
weit kürzen. Hierdurch sind seitens der Schüler viele unnötige Punkte verschenkt worden.
Trotz einer ausführlichen Übungsphase vor der LEK haben sich die Schülern schwer mit dem
Rechnen von Wurzeltermen getan. Zukünftig sollte eine direkte Verknüpfung von Theorie
und praktischer Anwendung erfolgen. In den ersten beiden Stunden sind zu schwere Einstiegsbeispiele
gewählt worden, da die Klasse in einem sehr niedrigen Leistungsniveau anzusiedeln
ist. Die Übungsphase ist von den Schülern sehr gut aufgenommen worden, jedoch muss in
dieser Klasse vermehrt das Augenmerk auf das Üben gelegt werden, durch das Inhalte noch
besser verinnerlicht werden können. Durch die Anwendung ist es sehr wahrscheinlich, dass
das Rechnen zukünftig schneller automatisiert wird.
Ein Hinweis seitens der Mentorin lässt schlussendlich das Abschneiden des Schüler vielleicht
besser verstehen. Nach ihren Beobachtungen hätte die LEK auf Grund des erteilten
Unterrichts ohne größere Probleme gut bewältigt werden müssen. Die Schüler haben sich
interessiert am Unterrichtsgeschehen beteiligt und die Praktikantin im Unterricht ohne Einschränkungen
als Lehrperson anerkannt. Die Schlussfolgerung, zu Hause zu lernen und sich
auf die LEK vorzubereiten, wurde allerdings nicht gezogen, da die Relevanz der LEK für die
Halbjahresnote von den meisten Schülern nicht ernst genommen wurde.
7. Hospitation
Die tabellarische Auflistung der hospitierten Stunden findet sich im Anhang A.7 auf Seite vii.
7.1. Teilformalisiertes Stundenprotokoll: Mathematische
Begriffsbildung und Sprechweisen
Datum: 13.09.2010 Uhrzeit: 08:55-09:40 Uhr
Klasse: LK Ma Fach: Mathematik
Stundenthema: Kollinearität, Komplanarität und lineare (Un-)Abhängigkeit
Hospitationsschwerpunkt: Das Lernen mathematischer Begriffe
Das teilformalisierte Stundenprotokoll mit dem Beobachtungsschwerpunkt Mathematische
Begriffsbildung und Sprechweisen befindet sich im Anhang A.12 auf Seite xvi.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 17

7 Hospitation
7.2. Reflexion zu Protokoll I
Das Wiederholen der Kollinearität und der Besonderheit der Parallelität stellt ein gutes
Einstiegsbeispiel dar, an dem die Definition der Kollinearität wiederholt werden kann. Die
Lehrerin festigt den Begriff der Kollinearität durch eine Realdefinition 21 , mit der artbildende
Merkmale wiederholt werden. In der anschließenden Übung müssen vorhandene Wissensstrukturen
auf die Aufgabe transferiert werden. Die Verbalisierung der berechneten Ergebnisse
festigt das inhaltliche Verständnis, auf dem die mathematische Vorgehensweise beruht.
In der fortschreitenden Begriffsbildung der Kollinearität wird diese noch einmal realdefiniert,
da die Schüler das Ergebnis interpretieren müssen.
Der Übergang zur linearen (Un-)Abhängigkeit wird als eine Konventionaldefinition 22 eingeführt.
Durch die Überschrift ist für die Schüler direkt ersichtlich, was das Thema der
Stunde ist. Jedoch wird zunächst nur die lineare Abhängigkeit von Vektoren definiert, um
hier den Bezug zur Kollinearität, dem Bekannten, herzustellen. Die objektive-logische Begriffsbildungsform
ermöglicht es den Schülern, an bekannte Wissensstrukturen anzuknüpfen
und sich eine eigene Struktur zu erarbeiten. Das weniger komplexe sekundäre Konzept der
Kollinearität und Parallelität von Vektoren wird erweitert zu einem komplexen sekundären
Konzept 23 der Begriffsbildung, der linearen Abhängigkeit von Vektoren.
Die Trennung von linearer Abhängigkeit und der Erweiterung zu linearer Unabhängigkeit
stellt eine sinnvolle mathematische Weise dar, diese beiden zusammenhängenden Begriffe
einzuführen. Da sie auseinander hergeleitet werden (Ist dies nicht der Fall, so heißen die
Vektoren linear unabhängig.), ist es gut, erst eine Verknüpfung der linearen Abhängigkeit
mit Bekanntem zu ermöglichen und anschließend den Begriff zu erweitern. Die Schülerantwort
in Bezug auf die Komplanarität zeigt, dass zumindest einige Schüler den Begriff in ihre
Wissensstruktur sinnvoll einordnen konnten.
Leider zeigt sich anhand der beiden Beispiele, dass die Schüler der 11. und der 12. Klasse sich
schwer mit der Bearbeitung der Aufgabe tun. Im Gegensatz zu den Schülern der 13. Jahrgangsstufe
finden sie nur schwer einen Ansatz, die lineare Unabhängigkeit durch Darstellung
einer Linearkombination zu zeigen bzw. zu widerlegen. Auch die Darstellung des linearen
Gleichungssystems in der letzten Beispielaufgabe bereitet einigen Schüler große Probleme.
Hier fehlt grundlegende Kompetenzen, um erfolgreich eine Untersuchung von Vektoren auf
lineare (Un-)Abhängigkeit durchzuführen. Die Lehrerin weist die entsprechenden Schüler an
sich diese Fähigkeiten schleunigst selbst anzueignen, da im Unterricht dazu keine Zeit vorhanden
ist und sie die LGS bereits umformen können müssten.
Der Verweis auf das Kriterium für lineare (Un-)Abhängigkeit ist folgerichtig, aber es ist für
manche Schüler vielleicht zu theorielastig. Deshalb ist die Verknüpfung von Beispielen mit
der Definition und dem Bezug auf bekannte Wissensstrukturen ein guter Weg, den Begriff für
möglichst viele Schüler begreifbar zu machen. Das Anwendungsbeispiel der Erwärmung ist
21 Vgl. Zech, S. 255.
22 Vgl. Zech, S. 255.
23 Vgl. Ausubel in Zech, S. 258.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 18

7 Hospitation
ein abstraktes Anwendungsbeispiel, um sich die lineare Abhängigkeit der einzelnen Faktoren
zu vergegenwärtigen.
7.3. Teilformalisiertes Stundenprotokoll: Motivation durch Beispiele im
Mathematikunterricht
Datum: 13.09.2010 Uhrzeit: 10:55-12:45 Uhr
Klasse: XX Fach: Mathematik
Stundenthema: Darstellung von gemischt periodischen Dezimalzahlen als Bruch
Hospitationsschwerpunkt: Erkennen und Anwendung von Lösungsstrategien und Rechenalgorithmen
Das teilformalisierte Stundenprotokoll mit dem Beobachtungsschwerpunkt Motivation im
Mathematikunterricht befindet sich im Anhang A.13 auf Seite xix.
7.4. Reflexion zu Protokoll II
Der Einstieg wird geschickt durch den Lehrer motiviert, da durch die tägliche Übung die
besonderen Eigenschaften der rein periodischen und abbrechenden Dezimalzahlen und der
Umwandlungsalgorithmus wiederholt und aktiviert werden. Die bewusste Auswahl von unterschiedlichen
Beispielen (z.B. ein negativer Radikand, Quadratzahlen,...) motiviert die Schüler,
spielerisch an das Rechnen heranzugehen. Die Reaktion eines Schülers zeigt, dass bereits
beim Diktieren der Aufgaben überlegt wird, wie der Lösungsweg aussehen könnte. Die Themenangabe
für die folgende Unterrichtsstunde macht den Schülern deutlich, was sie lernen
sollen und wie der Lehrer den Stoff vorstrukturiert hat. Damit motiviert er nach Zech 24 bis
zu diesem Zeitpunkt auf zwei Arten: erstens fördert er durch die tägliche Übung den Wettbewerbsgedanken,
der durch die gemeinsame Kontrolle in eine Zusammenarbeit zwischen
den Schülern übergeleitet wird. Die Zielorientierung ist als Form der Leistungsmotivation
die zweite Variante der Motivation.
Leider stellt sich heraus, dass viele Schüler trotz der vorhergehenden Umformungsalgorithmen
enorme Probleme bei der Umformung gemischt periodischer Dezimalzahlen in einen
Bruch haben. Das Vorrechnen an der Tafel ermöglicht es jedem Schüler, seine Fehler selbst
zu finden und zu korrigieren. Nach der enaktiven Phase zeigt sich der Lehrer hilfsbereit und
geht auf die Lernschwierigkeiten der Schüler ein, was nach Zech 25 Motivation durch Selbsttätigkeit
und emotionale Zuwendung bezeichnet wird.
In der Übungsphase werden die Schüler durch die Logik der Beispielbildung fasziniert und
rufen bereits nach dem Anschreiben der dritten Aufgabe die beiden folgenden laut in die
Klasse. Durch die Wiederholung der Rechenschritte und der Erweiterung mit „9“ im Nenner
kann ein Teil der Klasse mit seinem Wissen glänzen und mündliche Punkte sammeln.
24 Zech, S. 207.
25 Zech, S. 207.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 19

8 Reflexion und Zusammenfassung
Der Lehrer motiviert geschickt die Gleichheit von 1 und 0, 9, indem er Unklarheit über
das Ergebnis lässt und die Schüler entdeckend zu einem scheinbar unmögliches Ergebnis
gelangen. 26 Indem die Schüler selbstständig begründen sollen, warum die Gleichheit gilt,
beschäftigen sie sich mit der Faszination der Darstellbarkeit zweier Zahlen, die inhaltlich
dasselbe ausdrücken, aber optisch vollkommen verschieden aussehen. Der Beweis über die
Darstellung als geometrische Reihe 27 würde vielleicht vereinzelte Schüler durch den erhöhten
Schwierigkeitsgrad ansprechen, jedoch würde es den Großteil der Klasse überfordern. Die
Eingabe des Bruchs in den Taschenrechner fördert das spielerische Entdecken der Schüler
und die Bedeutung des Unendlichen.
Zu Beginn der Stunde motiviert der Lehrer geschickt, jedoch fühlen sich die Schüler geprüft.
Im Verlauf der Stunde wird ihr Interesse durch den Darstellungskonflikt geweckt, den der
Lehrer durch eine gute offene Fragestellung erreicht. Allerdings erfolgt die Beweisführung
sehr schnell, so dass ein Teil der Schüler dem Unterricht nicht mehr aufmerksam folgen
kann, sondern sich aus der Diskussion und Ideenfindung heraushält.
8. Reflexion und Zusammenfassung
Als Rückblick auf das Praktikum hat sich dieses als sehr lehrreich erwiesen. Ich durfte mich
als Lehrperson in einer sehr angenehmen Umgebung ausprobieren und stetige Erfolge in meiner
Unterrichtsvorbereitung und vor allem in der Durchführung sehen können. Auch wenn
ich anfangs deutlich zu schwere Beispiele ausgewählt habe, konnte ich den Schwierigkeitsgrad
im Laufe des Praktikums angemessen anpassen, so dass am Ende der Unterrichtseinheit die
Schüler nicht überfordert, aber gleichzeitig passend gefordert wurden.
Zu Anfang habe ich den Unterricht in Absprache mit meiner Mentorin wochenweise vorbereitet
unter Zielangabe der Inhalte der LEK. Auf Grund des Lernstandes der Klasse mussten
diese allerdings jeweils modifiziert werden, da sich Lernschwierigkeiten aufgezeigt haben, auf
die mit den Schülern eingegangen werden musste. So ist eine grobe Übersicht sinnvoll gewesen,
beim nächsten Mal ist eine noch genauere Planung der Unterrichtsreihe im vorhinein
aber bestimmt noch hilfreicher, da man sich bereits mit möglichen Problemfällen auseinander
setzen muss. Auf diese Weise können Schwierigkeiten vorweg genommen werden.
Beispielsweise würde ich die Behandlung der Definitionsmenge eines Wurzelterms und die
Lösungsmenge einer einfachen quadratischen Gleichung getrennt voneinander behandeln.
Der ähnlich klingende Wortlaut hat die Schüler irritiert, so dass eine Trennung der Begriffe
sinnvoll ist.
Als weitere Erfahrung habe ich festgestellt, dass die Schüler mich zwar als Lehrperson akzeptiert,
aber nicht vollkommen ernst genommen haben. Anweisungen zur Wiederholung
oder Beruhigungsmaßnahmen wurden galant ignoriert, so dass meine Mentorin vereinzelt
die Schüler auf meinen Status aufmerksam machen musste. Ich gehe aber davon aus, dass
im Referendariat dieses Problem nicht besteht, da ich dort einen anderen rechtlichen Status
26 Vgl. Zech, S. 206.
27 Vgl. o.A.: Verschieden und doch gleich, S. 52.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 20

8 Reflexion und Zusammenfassung
besitze und dort auch die Legitimation habe, Noten zu geben.
Es hat sich während der Hospitation gezeigt, dass vereinzelt versucht wird, neue Formen des
Unterrichtens anzuwenden und eine Öffnung des Unterrichts zu ermöglichen. Leider zeigen
sich die Schüler oft ablehnend gegenüber diesen Versuchen und bevorzugen den Frontalunterricht.
Natürlich müssen sie an neue Methoden langsam herangeführt werden, aber die
Umsetzung der Konzepte der Universitäten in den Schulen wird noch lange dauern, bis sie
von den Schülern vollständig akzeptiert sind.
Während des Praktikums habe ich mich sehr gut durch meine Mentorin betreut gefühlt.
Sie hat mich in ihre Kurse von Beginn an mitgenommen und nur wenige Hinweise vorweg
gegeben, so dass ich mich selbst ausprobieren konnte. Die Hinweise zu meinen Stundenplanungen
waren sehr hilfreich, ohne in der Gestaltung der Stunde eingeengt zu sein. Das
Feedback meiner Mentorin, die Hinweise meiner Dozentin und die praxisnahen Vorschläge
einer abgeordneten Lehrerin haben mir sehr geholfen. Ich habe aus den Besuchen mit den
anschließenden Gesprächen viele hilfreiche Hinweise erhalten, die in den folgenden Stunden
zum Gelingen beigetragen haben.
Abschließend kann ich sagen, dass das Praktikum mich in meiner Wahl des Lehramtstudiums
bestärkt hat. Es wird bewusst, wieviel Zeit für eine gute Vorbereitung von Unterricht
benötigt wird. Aber die Anstrengung, die der Lehrerberuf mit sich bringt, wird dadurch
ausgeglichen, dass man mit Menschen zusammen arbeiten kann und versuchen darf, diesen
das eigene Interesse und die Begeisterung für die Mathematik weiterzugeben.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 21

9 Literaturverzeichnis
9. Literaturverzeichnis
9.1. Schulbücher
Elemente der Mathematik 9:
Heinz Griesel u.a. [Hrsgs.], Schroedel, Berlin 2009.
Lambacher Schweizer:
Mathematik für Gymnasien 9, Christina Drüke-Noe u.a. [Hrsgs.], Klett 2008.
Mathematik heute 9:
Heinz Griesel, Helmut Postel [Hrsgs.], Schroedel 1992.
Mathematik 9:
Hahn/ Dzewas, Jutta Cukrowicz, Jürgen Dzewas [Hrsgs.], Westermann 1995.
Mathematik 13.1 Leistungskurs:
Anton Bigalke, Norbert Köhler u.a. [Hrsgs.], Sekundarstufe II Berlin, Cornelsen 2001.
9.2. Fachdidaktische Literatur, Fachliteratur und Quellenmaterial
Berliner Rahmenlehrplan:
http://www.berlin.de/imperia/md/content/sen-bildung/schulorganisation/lehrplaene/
sek1_mathematik.pdf, letzter Zugriff: 30.11.2010.
Filler, Prof. Dr. Andreas:
Vorlesungsskript: Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II, WS 2010/11.
Forster, Otto:
Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Braunschweig
1983.
Homepage des XXXXX-Gymnasiums:
Link: www.XXX.de, letzter Zugriff: 01.12.2010.
Homepage Berliner Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung:
Link: http://www.berlin.de/sen/bildung/besondere_angebote/staatl_europaschule/,
01.12.2010.
Königsberger, Konrad:
Analysis 1, Berlin 1995.
Timmann, Steffen:
Repetitorium der Analysis, Hannover 2006.
O.A.: Verschieden und doch gleich.
Eine kleine, ganz schlichte Fangfrage zeigt, dass es nicht einfach ist, Zahlen darzustellen,
in: Unendlich (plus eins), Spektrum der Wissenschaft (2/10).
Zech, Friedrich:
Grundkurs Mathematikdidaktik. Theoretische und praktische Anleitung für das
Lehren und Lernen von Mathematik, Weinheim (8) 1996.
Praktikumsbericht Mathematik Autor 22

A Anhang
A. Anhang
A.1. Beweisführung zu den Wurzegesetzen für Produkte und
Quotienten
Beweis zu W1
Behauptung: √ a · √ b ist die Wurzel aus dem Produkt a · b. Es gilt: ( √ a · b) 2 = a · b
a) Z.z.: Das Quadrat von √ a · √ b ist a · b.
( √ a · √ b) 2 = ( √ a · √ b) · ( √ a · √ b) = √ a · √ a · √ b · √ b = a · b
b) Z.z.: √ a · √ b ist nichtnegativ.
Laut Definition ist eine Quadratwurzel nichtnegativ. Da √ a und √ b nichtnegativ sind
⇒ Produkt √ a · √ b ist auch nichtnegativ.
Aus a) und b) ⇒ √ a · √ b = √ a · b
alternativ:
√ a · √ b = √ a · b ⇔ ( √ a · √ b) 2 = ( √ a · b) 2 ⇔ ( √ a · √ b) · ( √ a · √ b) = a · b
⇔ √ a · √ a · √ b · √ b = a · b ⇔ a · b = a · b
Beweis zu W2
Die Behauptung √ a
√b = a
b bedeutet: √ a
√b ist die Wurzel aus dem Quotienten a
b .
a) Z.z.: Das Quadrat von √ √b
a
ist a
b . ( √ √b
a
) 2 = √ √b
a
· √ √b
a
= √ a· √ √ √
a
=
b· b a
b
b) Z.z.: √ a
√b ist nichtnegativ.
Laut Definition ist eine Quadratwurzel nichtnegativ. Da √ a und √ b nichtnegativ sind
⇒ Quotient √ √b
a
ist auch nichtnegativ.
Aus a) und b) ⇒ √ √b
a
= a
b
alternativ:
√
√b
a
= a
b ⇔ ( √ √b
a
) 2 = ( a
b )2 ⇔ (√a) 2
( √ b) 2 = a
b
⇔ a
b
Beide Beweismöglichkeiten der beiden Gesetze sind für den Unterricht relevant, jedoch zeigt
die zweite Beweisführung leichter nachzuvollziehende Operationen bei einer Gleichung auf,
so dass diese für den Unterricht gewählt wird.
Praktikumsbericht Mathematik Autor i
= a
b

A Anhang
A.2. Arbeitsblatt A1: Umformung von Wurzeltermen durch die
binomischen Formeln
Übungszettel Umformen von Wurzeltermen 1. Oktober 2010
Umformung von Wurzeltermen durch die binomischen Formeln
Aufgabe:
1. Lies dir die unten stehenden drei Beispiele durch und vollziehe nach, welche Umformungsschritte
vorgenommen wurde.
Beachte dabei besonders die Klammern, die gesetzt wurden!
2. Forme folgende Wurzelterme mithilfe der Binomischen Formeln um. Vergleiche anschließend
die Ergebnisse in deiner Gruppe.
(5 + √ 13) · (5 − √ 13) ( √ 20 + √ 5) 2
3. Denkt euch gemeinsam zwei Wurzelterme aus. Den ersten formt ihr für eure Mitschüler
an der Tafel um. Schreibt dazu die Überschrift an die Tafel und erläutert euren
Rechenweg. Den zweiten Term formen eure Mitschüler selbst um.
Anwenden der Binomischen Formeln
Beispiel: Verwandle folgende Terme in Summen:
1) ( √ 2 + √ 18) 2 2) ( √ a − √ b) 2 3) ( √ a + √ b) · ( √ a − √ b)
Lösung: Durch Anwenden der binomischen Formeln erhälst du:
1) ( √ 2 + √ 18) 2 = √ 2 2 + 2 √ 2 √ 18 + √ 18 2 = 2 + 2 √ 36 + 18 = 2 + 2 · 6 + 18 = 32
2) ( √ a − √ b) 2 = √ 2 2 − 2 √ a √ b + √ b 2 = a − 2ab + b
3) ( √ a + √ b) · ( √ a − √ b) = √ a 2 − √ b 2 = a − b
Praktikumsbericht Mathematik Autor ii

A Anhang
A.3. Arbeitsblatt A2: Umformung von Wurzeltermen mit dem
Distributivgesetz
Übungszettel Umformen von Wurzeltermen 1. Oktober 2010
Umformung von Wurzeltermen mit dem Distributivgesetz
Aufgabe:
1. Lies dir die unten stehenden drei Beispiele durch und vollziehe nach, welche Umformungsschritte
vorgenommen wurde.
Beachte dabei besonders die Klammern, die gesetzt wurden!
2. Forme folgende Wurzelterme mithilfe des Distributivgesetzes um. Vergleiche anschließend
die Ergebnisse in deiner Gruppe.
√ 7 · (1 + √ 7) ( √ 25b + √ 25c) − ( √ 16b + √ 16c)
3. Denkt euch gemeinsam zwei Wurzelterme aus. Den ersten formt ihr für eure Mitschüler
an der Tafel um. Schreibt dazu die Überschrift an die Tafel und erläutert euren
Rechenweg. Den zweiten Term formen eure Mitschüler selbst um.
Anwenden des Distributivgesetzes Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c
Beispiel:
Verwandle folgende Terme in Summen:
1) (10 + √ 2) √ 2 2) √ a( √ a − b) 3) ( √ 3x − √ x + 1) √ x
Lösung:
Durch Anwenden des Distributivgesetzes erhälst du:
1) (10 + √ 2) √ 2 = 10 · √ 2 + √ 2 · √ 2 = 10 √ 2 + 2
2) √ a( √ a − b) = √ a · √ a − √ a · b = a − b √ a
3)( √ 3x − √ x + 1) √ x = √ 3x · √ x − √ x · √ x + 1 · √ x = √ 3x 2 − x + √ x
= √ 3x − 1 · x + √ x
=( √ 3 − 1)x + √ x
Praktikumsbericht Mathematik Autor iii

A Anhang
A.4. Arbeitsblatt A3: Beseitigen von Wurzeln im Nenner
Übungszettel Umformen von Wurzeltermen 1. Oktober 2010
Beseitigen von Wurzeln im Nenner
Aufgabe:
1. Lies dir die unten stehenden zwei Beispiele durch und vollziehe nach, welche Umformungsschritte
vorgenommen wurde.
Beachte dabei besonders die Klammern, die gesetzt wurden!
2. Forme folgende Wurzelterme um und vereinfache sie, indem du die Wurzel im Nenner
eliminierst. Vergleiche anschließend die Ergebnisse in deiner Gruppe.
10
√ 5
1
3+ √ 5
3. Denkt euch gemeinsam zwei Wurzelterme aus. Den ersten formt ihr für eure Mitschüler
an der Tafel um. Schreibt dazu die Überschrift an die Tafel und erläutert euren
Rechenweg. Den zweiten Term formen eure Mitschüler selbst um.
Beseitigen von Wurzeln im Nenner
Beispiel:
Forme den linken Term so um, dass du den rechten erhälst:
1) 2
√ 3
2 √ 3
3 2) 2
3− √ 2
2( √ 2+3)
7
Lösung: Durch Erweitern der Brüche erhälst du Terme, in denen keine Wurzeln mehr im
Nenner erscheinen:
1) 2
√ 3 = 2·√ 3
√ 3· √ 3 = 2√ 3
3
2 2)
3− √ 2 = 2(3+√2) (3− √ 2)(3+ √ 2) = 2(3+√2) 32− √ 2 2 = 2(√2+3) 9−2
= 2(√ 2+3)
7
Praktikumsbericht Mathematik Autor iv

A Anhang
A.5. Geplante Tafelbilder, Übungs- und Hausaufgaben
A.5.1. Ü1: Tägliche Übung
Aufgaben:
1) Stelle D = {x ɛ R|x < −2} graphisch dar.
2) Nenne die Menge, für die gilt:
3) Stelle die Menge A an der Zahlengerade dar: A = {a ɛ R|a ≥ −1}
4) Nenne die Menge, für die gilt:
Lösungen:
1)
2) D = {z ɛ R|z < 1}
3)
4) A = {a ɛ R|a = 2}
A.5.2. H1: Hausaufgabe zum 04.10.2010:
Elemente der Mathematik 9 (2008):
S. 32, Nr. 3: Vereinfache durch Ausmultiplizieren bzw. Dividieren.
d) w √ uv 2 − v √ u 3 v + u √ uv
e) √ u 3 vw − √ uv 3 − √ uvw 3
S. 32, Nr. 9: Berechne im Kopf.
a) ( √ 3 − √ 27) 2
b) ( √ 7 − √ 13) · ( √ 7 − √ 13)
f) a √ c 5 + bc √ c 3 + c 2√ c
c) √ 169 − 2 · 13 · 17 + 289
S. 33, Nr. 15: Beseitige zuerst die Wurzel im Nenner. Verwende dann √ 3 ≈ 1, 7 und
√ 5 ≈ 2, 2 für die Berechnung von Näherungswerten. Was ist einfacher, die umgeformten
Terme zu berechnen oder die gegebenen?
c) 1
√ 3+ √ 5
d) 2
3− √ 5
Praktikumsbericht Mathematik Autor v

A Anhang
A.5.3. H2: Hausaufgabe zum 01.10.2010:
Elemente der Mathematik 9 (2008):
S. 29, Nr. 15:
a) √ 12 = 2 √ 3
b) √ 72 = 4 √ 2
c) √ 125 = 6 √ 2
S. 29, Nr. 18:
a) 2 · √ 17 = √ 68
b) 7 · √ 10 = √ 490
c) 0, 5 · √ 28 = √ 7
d) √ 180 = 6 √ 5
e) √ 125 = 5 √ 5
f) √ 192 = 8 √ 3
d) 3
4 · √
99,
11 = 16
e) 11
6 · 6
11 = 11
6
f) 2 · √ 3, 25 = √ 13
A.6. Sitzplan der XX, Raum 252
g) √ 360 = 6 √ 10
h) √ 525 = 5 √ 21
g) 10 · √ 17, 33 = √ 1733
h) 2, 5 · 1
50 = 1
8
Praktikumsbericht Mathematik Autor vi

A Anhang
A.7. Auflistung der hospitierten Stunden
Die dunkelgrün hervorgehobenen Stunden wurden neben den unterrichteten Stunden in der
Klasse 9|2 zusätzlich alleine oder im kooperativen Unterricht unterrichtet.
Datum Zeit Klasse Schüler-
13.09.10 08:00-
09:40
13.09.10 10:00-
10:45
13.09.10 10:55-
12:45
13.09.10 13:50-
15:25
14.09.10 15:30-
17:05
16.09.10 10:00-
11:40
16.09.10 12:00-
12:45
17.09.10 08:00-
08:45
17.09.10 10:00-
10:45
17.09.10 10:55-
11:40
17.09.10 12:00-
12:45
20.09.10 08:00-
09:40
20.09.10 13:50-
15:25
20.09.10 15:30-
16:15
anzahl
LK Ma 19 Mathematik
10g 25 Mathematik
9|2 28 Mathematik
Logik I 11 Mathematik
Logik
II
15 Mathematik
LK Ma 19 Mathematik
9|2 28 Mathematik
Logik I 11 Mathematik
9|2 28 Mathematik
Logik
II
15 Mathematik
LK Ma 19 Mathematik
LK Ma 19 Mathematik
Logik I 11 Mathematik
AG
Mathe
12 Mathematik
Fach Stundenthema Hospitations-
Komplanarität/
Kollinearität, lineare
(Un-) Abhängigkeit
Berechnungen im
Dreieck mit Sinus,
Cosinus, Tangens
Abzählbarkeit und
Dichtheit der rationalen
Zahlen
LEK, Fehlersuche in
Beweisen
LEK, Fehlersuche in
Beweisen
Herleitung Geradengleichung,
Lagebeziehungen im
Raum
Die irrationalen
Zahlen
Terme und Termumformungen
LEK, Eigenschaften
rationale Zahlen
Terme und Termumformungen
LEK, Kollinearität
und Identität
Identität, Parallelität,
windschief,
Schnitt von Geraden
Tautologien, Negationen
schwerpunkt
Lernen von mathematischenfenBegrif-
Transfer von Textaufgaben
in mathemische
Formeln
Lernen mathematischer
Begriffe
Hinterfragen von
Operationen
Hinterfragen von
Operationen
Motivation durch
Beispiele
Gestaltung des Tafelbildes
Lernen von Begriffen
Motivation von
Sätzen
Lernen von Begriffen
Erarbeitung durch
Fragen
Meldeverhalten
Übersetzung von
Denkstrukturen in
die Logik
Känguruh-Aufgaben Selbstkontrollmechanismen
Praktikumsbericht Mathematik Autor vii

A Anhang
21.09.10 15:30-
17:05
23.09.10 10:00-
11:40
27.09.10 8:00-
09:40
28.09.10 15:30-
17:05
01.10.10 08:00-
08:45
01.10.10 10:55-
11:40
01.10.10 12:00-
12:45
05.10.10 15:30-
17:05
08.10.10 08:00-
8:45
08.10.10 10:55-
11:40
08.10.10 12:00-
12:45
Logik
II
15 Mathematik
LK Ma 19 Mathematik
LK Ma 19 Mathematik
Logik
II
15 Mathematik
Logik I 11 Mathematik
Logik
II
15 Mathematik
LK Ma 19 Mathematik
Logik
II
15 Mathematik
Logik I 11 Mathematik
Logik
II
15 Mathematik
LK Ma 19 Mathematik
Tautologien, Negationen
Identität, Parallelität,
windschief,
Schnitt von Geraden
Übung für die Klausur,
Spurpunkte
alternative/konjunktive
Normalform
alternative/konjunktive
Normalform
alternative/ konjunktiveNormalform
Klausurbesprechung,
Geradenscharen
Assoziativität,
Idempotenz, Distributivität,Verschmelzungsgesetz
LEK, Schülervortrag
vollständige Induktion
Übersetzung von
Denkstrukturen in
die Logik
Festigung durch
Üben
Erkennen von Lösungsstrategien
Möglichkeiten der
Termumformung
Möglichkeiten der
Termumformung
Möglichkeiten der
Termumformung
korrekte mathematischeAufschreibweisen
Lösungsstrategien
Gestaltung des Tafelbildes
LEK, Schaltalgebra Motivation durch
Beispiele
Klausurbesprechung,
lin. Unabhängigkeit
Verbalisierung von
Schülerlösungen
Praktikumsbericht Mathematik Autor viii

A Anhang
A.8. Leistungskontrolle Gruppe A mit Erwartungshorizont
Name: MA XX, Gruppe A
2. LEK Thema: Umformen von Wurzeltermen 08.10.2010
Aufgabe 1: Vereinfache soweit wie möglich.
a) 36
81 = √ √36 =
81 6
9
= 2
3
b) √ 10 · √ 16, 9 = √ 10 · 16, 9 = √ 169 = 13
c) √ 5 · √ 5x 2 = √ 5 · 5x 2 = √ 25x 2 = √ 25 · √ x 2 = 5|x|
d) (2 √ v − √ 2) · (2 √ v + √ 2) (für v ≥ 0) = 2 · 2 · √ v · √ v − √ 2 2 = 4v − 2
e) ( √ 3− √ 6) 2 = √ 3 2 − 2 √ 3 √ 6 + √ 6 2 = 3 − 2 √ 3 · 6 + 6 = 9 − 2 √ 18 = 9 − 2 √ 2 · 9 = 9 − 6 √ 2
f) 5 √ a + 7 √ a − 2 √ a (für a ≥ 0) = (5 + 7 − 2) √ a = 10 √ a
Aufgabe 2: Mache den Nenner rational. (Entferne die Wurzel aus dem Nenner.)
a) 2 √ =
6 2√ √ √6 =
6 6 2√6 6 = √ 6
3
b) 1
2+ √ 3 =
2− √ 3
(2+ √ 3)(2− √ 3) = 2−√3 4−3 = 2−√3 1
= 2 − √ 3
Aufgabe 3: Löse die Gleichung x 2 − 3 = 0. (Gib die Lösungsmenge an.)
x 2 − 3 = 0 | + 3
x 2 = 3 | √
|x| = √ 3 x = √ 3vx = − √ 3
L = {− √ 3; √ 3}
Aufgabe 4:
a) Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms √ 3x − 6 und stelle ihn graphisch dar.
b) Bestimme die Menge, für die gilt:
3x − 6 ≥ 0 | + 6
3x ≥ 6 | : 3
x ≥ 2
D = {x ɛ R|x ≥ 2}
D = {x ɛ R|x < 1}
Praktikumsbericht Mathematik Autor ix

A Anhang
Aufgabe 5:
Der arabische Mathematiker Al-Karkhi schrieb in einem Lehrbuch der Algebra:
√ 8 + √ 18 = √ 50. Beweise die Gültigkeit dieser Gleichung.
√ 8+ √ 18 = √ 4 · 2 + √ 2 · 9 = √ 4 √ 2+ √ 2 √ 9 = √ 2(2+3) = √ 5 = √ 2 √ 25 = √ 2 · 25 = √ 50
alternativ:
√ 8 + √ 18 = √ 50
√ 4 · 2 + √ 9 · 2 = √ 25 · 2
√ 4 √ 2 + √ 9 √ 2 = √ 25 · √ 2
(2 + 3) √ 2 = 5 √ 2
5 √ 2 = 5 √ 2
Form: Punkte: Ergebnis: Note:
Kenntnisnahme der Eltern:
Verteilung der Punkte:
Aufgabe 1: (AFB I)
a) 1 Punkt: Wurzel ziehen
b) 2 Punkte: Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehen
c) 2 Punkte: Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehen mit Betragsstrichen
d) 1 Punkt: Anwendung der binomischen Formel
e) 2 Punkte: Anwendung der binomischen Formel, partielles Wurzelziehen
f) 1 Punkt: Anwendung des Distributivgesetzes
Aufgabe 2: (AFB II)
a) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Multiplikation
zweier Wurzeln
b) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Anwendung
der binomischen Formel
Aufgabe 3: (AFB II)
2 Punkte: Lösen der Gleichung nach x mit zwei Lösungen, Aufstellen der Lösungsmenge
Praktikumsbericht Mathematik Autor x

A Anhang
Aufgabe 4: (AFB II)
a) 3 Punkte: Betrachtung des Radikanden ≥ 0, Lösen der Ungleichung nach x, Bestimmung
des Definitionsbereiches
b) 1 Punkt: Bestimmung des Definitionsbereiches aus der Graphik
Aufgabe 5: (AFB III)
3 Punkte: partielles Wurzelziehen, Anwendung des Distributivgesetzes, Lösung mit Antwortsatz
A.9. Leistungskontrolle Gruppe B
Name: MA XX, Gruppe B
2. LEK Thema: Umformen von Wurzeltermen 08.10.2010
Aufgabe 1: Vereinfache soweit wie möglich.
a) 81
144 = √ 81
144
= 9
12
= 3
4
b) √ 19, 6 · √ 10 = √ 1, 96 · 10 = √ 196 = 14
c) √ 12a 2 · √ 3 = √ 36a 2 = √ 36 √ a 2 = 6|a|
d) (3 √ p − √ 7) · (3 √ p + √ 7) (für p ≥ 0) = 3 · 3 · √ p · √ p − √ 7 · √ 7 = 9p − 7
e) ( √ 6− √ 2) 2 = √ 6 2 − 2 √ 6 √ 2 + √ 2 2 = 6 − 2 √ 6 · 2 + 2 = 8 − 2 √ 12 = 8 − 2 √ 4 · 3 = 8 − 4 √ 3
f) 6 √ x + 3 √ x − 11 √ x (für x ≥ 0) = (6 + 3 − 11) √ x = −2 √ x
Aufgabe 2:
a) Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms √ 5x + 10 und stelle ihn graphisch dar.
b) Bestimme die Menge, für die gilt:
5x + 10 ≥ 0 | − 10
5x ≥ −10 | : 5
x ≥ −2
D = {x ɛ R|x ≥ −2}
Praktikumsbericht Mathematik Autor xi

A Anhang
D = {x ɛ R|x < −2}
Aufgabe 3: Mache den Nenner rational. (Entferne die Wurzel aus dem Nenner.)
3 a) √15 = 3√ √ √15 =
15 15 3√15 15 = √ 15
5
6 b)
2− √ 2 = 6(2+√2) (2− √ 2)(2+ √ 2) = 6(2+√2) 4−2
= 6(2+√ 2)
2
= 3(2+√ 2)
1
= 6 + √ 2
Aufgabe 4: Löse die Gleichung x 2 − 7 = 0. (Gib die Lösungsmenge an.)
x 2 − 7 = 0 | + 7
x 2 = 7 | √
|x| = √ 7 x = √ 7vx = − √ 7
L = {− √ 7; √ 7}
Aufgabe 5:
Der arabische Mathematiker Al-Karkhi schrieb in einem Lehrbuch der Algebra:
√ 12 + √ 48 = √ 108. Beweise die Gültigkeit dieser Gleichung.
√ 12 + √ 48 = √ 4 · 3 + √ 3 · 16 = √ 3 · √ 4 + √ 3 · √ 16 = √ 3(2 + 4) = √ 36 = √ 3 √ 36 =
√ 3 · 36 = √ 108
alternativ:
√ 12 + √ 48 = √ 108
√ 4 · 3 + √ 3 · 16 = √ 36 · 3
√ 3 · √ 4 + √ 3 · √ 16 = √ 36 √ 3
√ 3(2 + 4) = 6 √ 3
√ 36 = √ 36
Form: Punkte: Ergebnis: Note:
Kenntnisnahme der Eltern:
Verteilung der Punkte:
Aufgabe 1: (AFB I)
a) 1 Punkt: Wurzel ziehen
b) 2 Punkte: Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehen
Praktikumsbericht Mathematik Autor xii

A Anhang
c) 2 Punkte: Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehen mit Betragsstrichen
d) 1 Punkt: Anwendung der binomischen Formel
e) 2 Punkte: Anwendung der binomischen Formel, partielles Wurzelziehen
f) 1 Punkt: Anwendung des Distributivgesetzes
Aufgabe 2: (AFB II)
a) 3 Punkte: Betrachtung des Radikanden ≥ 0, Lösen der Ungleichung nach x, Bestimmung
des Definitionsbereiches
b) 1 Punkt: Bestimmung des Definitionsbereiches aus der Graphik
Aufgabe 3: (AFB II)
a) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Multiplikation
zweier Wurzeln
b) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Anwendung
der binomischen Formel
Aufgabe 4: (AFB II)
2 Punkte: Lösen der Gleichung nach x mit zwei Lösungen, Aufstellen der Lösungsmenge
Aufgabe 5: (AFB III)
3 Punkte: partielles Wurzelziehen, Anwendung des Distributivgesetzes, Lösung mit Antwortsatz
Praktikumsbericht Mathematik Autor xiii

A Anhang
A.10. Aufgeschlüsselte Punkteverteilung der LEK
Zur Vereinfachung sind die Aufgabentypen der Leistungskontrolle B in dieselbe Reihenfolge
gebracht worden wie bei der Leistungskontrolle A.
Nr. Aufgabe 1 2 3 4 5 Punkte % Note
a) b) c) d) e) f) a) b) a) b)
1 1 1
2 1 0 1 0 1 1
2 1 0 1 1
2 0 2/2 ⇒ 9 1/24
2 39, 6 5
2 1 2 1 1
2 1 1
2 1 1 1
2 1 1 1 0 0 2/2 ⇒ 13 1/24
2 56,3 4
3 1 2 1 1 2 1 1 1
2 2 1 1
2 3 1 3 2/2 ⇒ 21/24 87,5 2
4 1
2 0 0 1 1 1
2 0 1 1
2 2 1 0 1
2 1 2/2 ⇒ 11/24 45,8 5
5 1 0 1 0 1 1
2 0 1 1
2 1 1
2 0 1
2
1
2 0 2/2 ⇒ 9 1/24
2 39,6 5
6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
2
1
2 0 2/2 ⇒ 3/24 12,5 6
7 1
2 2 1 0 1 1
2
1
2 1 1
2 1 1
2 0 0 1
2 0 0/2 ⇒ 9/24 37,5 5
8 1 2 1 1
2 2 1
2 2 2 1 3 1 3 2/2 ⇒ 21/24 87,5 2
9 0 0 0 0 1
2 0 0 0 0 1 1
2 0 1/2 ⇒3/24 12,5 6
10 1 2 1 0 1 0 1 1
2 0 1 1 1 0 1/2 ⇒ 10 1/24
2 43,8 5
11 1 2 1 1
2
1
2 0 1 1
2 0 0 0 1 0 2/2 ⇒ 9 1/24
2 39,6 5
12 0 1 1
2
1
2 1 1
2 1 1 1
2 0 0 1 1
2 0 2/2 ⇒ 9 1/24
2 39,6 5
13 1
2 2 1 0 1
2 1 1 1
2 1 0 1 1 0 2/2 ⇒ 11 1/24
2 47,9 5
14 0 0 1 0 2 0 1 1
2
1
2 1 0 0 3 1/2 ⇒ 11/24 41,7 5
15 0 0 0 0 1
2 0 1 1
2 0 1
2 1 1
2 0 1/2 ⇒ 5/24 20,8 5
16 1 2 1 1
2
1
2 1 0 0 1 2 1 0 2/2 ⇒ 12/24 50 4
17 1
2 2 1 1 1 0 1 1
2 0 1 1 1
2
1
2 0 1/2 ⇒11/24 45,8 5
18 1 2 1 0 1 1
2 0 1 1
2 0 1 3 1
2 0 2/2 ⇒ 13 1
2 56,3 4
19 1
2 2 1 1 1 1
2 1 1 1
2
1
2 1 2 1
2 2 2/2 ⇒ 16 1/24
2 68,8 3
20 1 2 1 1
2 1 1 2 1 1
2 1 2 1 0 2/2 ⇒ 16/24 66,6 3
21 1 2 1 1 0 1 1 1
2 1 1
2 1 1 1
2 2 2/2 ⇒ 15 1/24
2 65 3
22 1 2 1 1 1 0 1 1
2 1 1 0 0 0 2/2 ⇒ 11 1/24
2 47,9 5
23 1 2 1 0 0 0 1 1
2 1 0 2 1
2
1
2 0 2/2 ⇒ 11 1/24
2 47,9 5
24 1 0 1 1 1
2 1 1 1
2 1 1
2 0 1
2 2 2/2 ⇒ 12/24 50 4
25 1 2 0 1
2 2 1 2 2 1 1
2 3 1 2 2/2 ⇒ 20/24 83,3 2
26 1 2 0 1 1 1
2 1 2 1 1 2 1
2 0 2/2 ⇒ 15/24 62,5 4
Praktikumsbericht Mathematik Autor xiv

A Anhang
A.11. Bewertungsmaßstab für Mathematik in der LEK
Bewertun9..§!}laßstab für Mathematik und Physik
Sekl
über
bis 20
Note 20
Punkte
Punkte
1 95% 90%
2 80% . 750/0
3 65% 60%
4 500/0 45%
5 20% 20Yo
6 < 20% < 20'%
Notenpunkte
Sekl
Tests
S1a ärzz 10
a s re
15 100% I 95%
14 95% 90'%
13 . 90% 85%
12 85%) 80%
11 800/0 75%
10 75 % 70%
9 70 % 65%
8 65 % 60%
7 60% 55%
6 ·55%-- 50%
5 50% 45%
4 45% 36%
3 35% 270/0
2 20% 18 %
1 10 % 9 %
0

A Anhang
A.12. Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 im LK Ma
Phase/
Zeit
Einstieg
8:55 Uhr
Übung
09:01 Uhr
Lehrerhandeln Schülertätigkeiten Lerninhalte
Lehrerin (L) fordert auf, die
vergangene Aufgabe zur Un-
tersuchung eines Trapez vor-
zustellen. Stellen Sie bitte kurz
Ihre Ergebnisse zu der Aufgabe
vor, bei der untersucht werden
sollte, ob es sich bei dem Recht-
eck um ein Trapez handelt.
L schreibt drei Punkte an die
Tafel.
geg.: A(1|2|4), B(3|4|3), C(5|6|2)
Prüfen Sie, ob C durch ein Viel-
faches von A und B darstellbar
ist. Alternativ: Sind
AB und
BC
kollinear?
09:12 Uhr L weist darauf hin, dass ein
Antwortsatz bzw. eine Inter-
pretation der Ergebnisse not-
wendig ist.
Wo liegen die Punkte auf der Ge-
rade?
Bei einem Trapez muss ein Paar
kollinearer Vektoren Die Vektoren
sind für r = 2 kollinear. Das heißt,
dass beide Seiten parallel sind und
es sich um ein Trapez handelt.
S lösen die Aufgabe und ein S
stellt seinen Rechenweg an der
Tafel vor.
Um zu prüfen, ob die drei Punkte
auf einer Geraden liegen, untersucht
man, ob
# »
AB und
# »
BC kollinear zu
einander sind:
# » # »
AB = r · BC, r ɛ R
# »
AB = ⎛ ⎞
3
⎜ ⎟
⎜ ⎟
b−a = ⎜4⎟
⎝ ⎠
3
−
⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜2⎟
⎝ ⎠
4
=
⎛ ⎞
2
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
−1
# »
BC = c− ⎛ ⎞
5
⎜ ⎟
⎜ ⎟
b = ⎜6⎟
⎝ ⎠
2
−
⎛ ⎞
3
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜4⎟
⎝ ⎠
3
=
⎛ ⎞
2
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
# » # »
Da AB = BC, ist r = 1.
−1
Wir haben eine Strecke AC mit dem
Mittelpunkt B.
Die Länge der Strecke AC ist dop-
pelt so lang wie AB.
Die Strecke AB und BC sind gleich
lang.
Sicherung der
Ergebnisse,
Wiederholung
Transfer von
Wissensstruk-
turen auf neue
Aufgabe
Interpretation
von Ergebnis-
se in verbale
Sprachweise
Praktikumsbericht Mathematik Autor xvi

A Anhang
09:17 Uhr L schreibt das Stundenthema
an die Tafel.
„Lineare Abhängigkeit und
Unabhängigkeit“
Def.: Die n Vektoren
a1,a2, ...,an heißen linear
abhängig, wenn einer der Vek-
toren als Linearkombination der
anderen darstellbar ist.
Was fällt Ihnen dazu ein?
09:21 Uhr Nein, das ist nicht genug. Was
macht den Unterschied aus?
09:24 Uhr Komplanarität untersucht
man im Dreidimensionalen,
lineare Abhängigkeit im n-
Dimensionalen.
L nennt Beispiel: Erwärmung
einer Eisenstange und die dabei
entstehende Helligkeit bei der
Erwärmung. Es ist zwar nicht
vorstellbar, aber durch die
Betrachtung der Temperatur
begreifbar.
09:27 Uhr L ergänzt das Tafelbild. Ist
dies nicht der Fall, so heißen die
Vektoren linear unabhängig.
L verweist auf das Kriterium
für lineare Abhängigkeit und Un-
abhängigkeit, dass die Schüler
nicht auswendig können, aber bei
Nachfrage ausdrücken müssen.
Vektoren sind linear abhängig, wenn
sie komplanar sind.
Komplanarität kann man in ei-
ner Ebene untersuchen, hier nicht.
Komplanarität ist ein Spezialfall der
Abhängigkeit.
S hören zu, kommentieren und
stellen Nachfragen bei Unklarhei-
ten.
S ergänzen das Tafelbild in ihrem
Heft.
Zielangabe, Be-
griffsbildung,
Aufbau auf
bekannte Wis-
sensstrukturen
Verdeutlichung
durch Anwen-
dungsbeispiel
Erweiterung
der lin. Ab-
hängigkeit zur
Unabhängig-
Praktikumsbericht Mathematik Autor xvii
keit

A Anhang
09:30 Uhr Wo sieht man den Unterschied
beim Rechnen von Komplanari-
tät und linearer Unabhängigkeit?
Unter uns. Im Dreidimensiona-
len gibt es maximal drei linear
unabhängige Vektoren. Der vier-
te ist linear abhängig...
09:32 Uhr L stellt Aufgabe aus dem
Buch von Bigalke/ Köhler:
Mathematik 13.1, S. 46, Nr.
8a und ⎛d.
⎞
6
⎜ ⎟
⎜ ⎟
a) Sind ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
−9
und
⎛ ⎞
−3
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜−2
⎟
⎝ ⎠
4, 5
linear
unabhängig?
09:35 Uhr L schreibt die zweite Aufgabe
an⎛ die⎞Tafel: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
r ⎜−2⎟
+ s ⎜ 2 ⎟ + t ⎜0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 −1 1
=
0; r, s, t ɛ R
Gar nicht. und verweist auf die
Dimensionalität (Komplanarität im
Dreidimensionalen)
S lösen die Aufgabe. Sie sind line-
ar abhängig, weil außer der trivialen
Lösung noch die Lösung r = 1
2 , s = 1
existiert: 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
6 −3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 ⎜ 4 ⎟ + 1 ⎜−2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−9 4, 5
= 0
S lösen die Aufgabe und er-
gänzen an der Tafel. Daraus
ergibt sich das folgende GS:
r s t rechte Seite
1 1 1 0
−2 2 0 0
3 −1 1 0
1 1 1 0
0 4 2 0
0 −4 2 0
1 1 1 0
0 4 2 0
0 0 0 0
Unterschiede
zwischen Kom-
planarität und
lin. Unab-
hängigkeit,
Herausar-
beiten von
Eigenschaften
Anwendung
von Gelerntem,
Transfer auf
Aufgabe
Übung, Fes-
tigung von
Wissensstruk-
turen
Praktikumsbericht Mathematik Autor xviii

A Anhang
A.13. Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 in der Klasse
Phase/
Zeit
Einstieg
10:55 Uhr
Übung
11:00 Uhr
XX
Lehrerhandeln Schülertätigkeiten Lerninhalte
Lehrerin (L) begrüßt die
Schüler (S) und fordert
sie auf, ihre Übungshefte
herauszuholen. Sie diktiert
vier Aufgaben der täglichen
Übung.
1. „Wandle um in eine Dezimal-
zahl: “
2. Wandle um in einen Bruch:
3. Berechne folgende Wurzeln:
121
144 , √ −64, √ 625
4. Aus welchen Zahlen besteht die
Menge der rationalen Zahlen?
L weist S an, die Aufgaben al-
leine und ohne Nutzung des
Taschenrechners zu lösen.
11:08 Uhr L fordert zum Vergleich der
Hausauf-
gaben
11:14 Uhr
Aufgaben auf.
L leitet die Kontrolle der
Hausaufgaben ein und bittet
S, ihre Ergebnisse nacheinan-
der laut zu nennen.
S begrüßen L, holen ihre
Übungshefte heraus und
notieren die diktierten
Aufgaben in ihrem Heft.
Ha, das geht ja gar
nicht!
S versuchen, die Aufgaben
einzelnd ohne Nutzung des
Taschenrechners zu lösen.
S nennen ihre Ergebnisse
und klären Probleme im
Klassengespräch.
Die Definition für die ratio-
nalen Zahlen Q lautet: Die
Menge der rationalen Zahlen
besteht aus allen abbrechen-
den oder periodischen Dezi-
malzahlen.
S nennen ihre Lösungen,
vergleichen und korrigie-
ren sie gegebenenfalls.
Ziel des Einstieges:
Festigung bekann-
ter mathematischer
Inhalte, Aktivierung
von Wissen
Umwandlung Bruch
↔ Dezimalzahl,
Eigenschaften der
rationalen Zahlen
Anwendung bekann-
ter Regeln
Praktikumsbericht Mathematik Autor xix

A Anhang
11:17 Uhr L leitet neue Phase ein.
Bisher haben wir rein periodische
und abbrechende Dezimalzahlen
(in Brüche) umgewandelt. Jetzt
arbeiten wir mit gemischt peri-
odischen Dezimalzahlen.
L schreibt Aufgabe an die Tafel:
Formt die gemischte periodische
Dezimalzahl in einen Bruch um:
0, 16
11:20 Uhr L fordert einen S auf, die Auf-
11:26 Uhr
Übung
gabe an der Tafel vorzurech-
nen, um für alle eine Muster-
lösung und einen Rechenalgo-
rithmus zu liefern.
L schreibt fünf Aufgaben an
die Tafel und bittet S, sie als
Bruch umzuformen.
a) 0, 4163 b) 0, 258
c) 0, 258 d) 0, 258
e) 0, 258
S versuchen, in Einzelar-
beit die Dezimalzahl in
einen Bruch umzuwan-
deln. Dabei zeigt sich, dass
viele S Probleme damit
haben.
S stellt seine Lösung
an der Tafel vor und
kommentiert sie. Seine
Mitschüler stellen Fragen
und korrigieren gemein-
sam Fehler.
0, 16
= 0, 1 + 0, 06
= 0, 1 + 0, 1 · 0, 6
= 0, 1 + 0, 1 · 6
9
= 0, 1 + 6
90
= 1 2
10 + 30
= 5 1
30 = 6
S versuchen, die De-
zimalzahlen als Bruch
darzustellen, haben aber
grundlegende Probleme,
den Rechenalgorithmus
der Beispielaufgabe auf
die Übungsaufgaben zu
transferieren.
Umwandlung einer
gemischt periodischen
Zahl in einen Bruch
gemeinsames Lösen
der Problemstellung
im Klassenverband
mit Hinterfragen der
Lösbarkeit
Transfer von Rechen-
algorithmen
Praktikumsbericht Mathematik Autor xx

A Anhang
Ergebnis-
sicherung
11:33 Uhr
Fortsetzung
Ergebnis-
sicherung
12:00 Uhr
12:08 Uhr
Übung
L erkennt die Schwierigkeiten
der S, die Umformung vor-
zunehmen und lässt exempla-
risch Aufgabe a) an der Tafel
lösen.
L stellt Nachfragen zu den Re-
chenschritten des Schülers an
der Tafel.
Wie verschiebt man Kommata
bei Dezimalzahlen?
Wie addiert man Brüche?
Wie stellt man eine periodische
Dezimalzahl als Bruch dar?
L weist S darauf hin, wie nicht
endende periodische Dezimal-
zahlen als Bruch dargestellt
werden.
0, 639 wird dargestellt durch 639
999 .
Periodische Dezimalzahlen wer-
den als Bruch immer mit einer
9, 99, 999, ... im Nenner darge-
stellt.
L gibt erneut Zeit, die restlichen
Dezimalzahlen umzuformen.
HausaufgabeL
schreibt die Hausaufgaben
12:26 Uhr
an die Tafel.
Wandle um:
a) 0,101 b) 0, 101
c) 0, 101 d) 0, 101
S beginnt, den Lösungs-
weg zu Aufgabe a) an der
Tafel vorzurechnen und
wird parallel bei gemach-
ten Fehlern von seinen
Mitschülern korrigiert.
S vervollständigt den Lösungsweg
an der Tafel.
0, 4163
= 0, 41 + 0, 0063
= 0, 41 + 0, 01 · 0, 63
(Kommaverschiebung)
= 41
63
+ 0, 01 · 100 99
(Bruchdarstellung)
= 41 21 1
+ · 100 33 100
= 41 7
+ 100 1100
(Addition von Brüchen)
= 41·11+7
1100
= 458 229
= 1100 550
Man addiert Brüche, indem
man sie gleichnamig macht.
S können nun wesentlich
besser den Algorithmus
anwenden und stellen die
Dezimalzahlen hauptsäch-
lich in Einzelarbeit als
Bruch dar und vergleichen
mit ihrem Partner.
S notieren die Aufgaben
in ihrem Hausaufgaben-
heft, wandeln um und ver-
gleichen die Ergebnisse.
Kommaverschiebung
bei Dezimalzahlen,
Addition von Brü-
chen,
kgV, Umwandlung
eines Bruches ↔
Dezimalzahl
systematische Erwei-
terung des Nenners
zur Darstellung von
Dezimalzahlen als
Bruch
Praktikumsbericht Mathematik Autor xxi

A Anhang
Problem-
stellung
12:31 Uhr
Was ist mit dieser periodischen
Dezimalzahl: 0, 99?
12:33 Uhr L schreibt 1, 9 an die Tafel
Übung
12:36 Uhr
Sicherung
12:39 Uhr
und fragt nach dem umge-
formten Bruch. Nach verschie-
denen Lösungsvorschlägen der
Schüler schreibt sie das richti-
ge Ergebnis an die Tafel und
erklärt es.
1, 9 = 1 + 9
9 = 1 + 1 = 2
L schreibt Übungsaufgaben
an die Tafel, um das Verständ-
nis zu festigen.
0, 09 0, 9 0, 59 0, 59
Eine Periode ist nicht in den Ta-
schenrechner eingebbar, da Stel-
len fehlen würden. Eine Periode
ist kein endlicher Bruch.
L lässt die Ergebnis vorlesen
und vergleichen.
Es gibt keine 9er Periode.
S versuchen, die Dezimal-
zahl nach gewohnten Re-
geln umzuwandeln und ge-
langen sehr schnell eigen-
ständig zu einer Lösung
mit Begründung:
0, 99 ist gleich 1, denn 0, 99
sind 99
99 , was wieder 1 ist.
S nennen Lösungen 1, 9
ist gleich 19
9
18 19 , 9 , 99 und
schreiben anschließend
den richtigen Lösungweg
von der Tafel ab.
S lösen die Aufgaben in
Einzelarbeit ohne Ta-
schenrechner.
Ein S gibt trotzdem
1,999999 in den Taschen-
rechner ein und stellt die
Frage Warum kommt da
nicht 2 raus?
S lesen ihre Lösungen vor,
vergleichen ihre Ergebnis-
se und korrigieren sie ge-
gebenenfalls.
0, 09 = 0, 1 = 1
10
0, 9 = 9 1
99 = 11
0, 59 = 0, 6 = 3
5
0, 59 = 59
99
Gleichheit von De-
zimalzahlen bei
verschiedener Darstel-
lungsform
Transfer des Gelern-
ten auf andere Auf-
gaben; Probleme der
Eingabe von periodi-
schen Dezimalzahlen
in den Taschenrechner
Praktikumsbericht Mathematik Autor xxii

B Selbstständigkeitserklärung
B. Selbstständigkeitserklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst sowie keine anderen Quellen
und Hilfsmittel als die angegebenen benutzt habe.
Berlin, den 3. Dezember 2010
Praktikumsbericht Mathematik Autor xxiii