Material

1 Lehr- und Lernbedingungen 

1.1 Angaben zur Lerngruppe 

Bei der FGW 1-1 handelt es sich um eine 11. Klasse des Fachgymnasiums Wirtschaft. 

Die Klasse setzt sich aus 15 Jungen und 10 Mädchen zusammen. Das Durchschnittsalter 

beträgt 18 Jahre. 

Das Leistungsniveau ist mittlerweile als recht homogen zu betrachten. Mit dem 

Fortschreiten im Schulstoff hat sich der Vorteil der fünf Wiederholer (siehe 3.4 Sitzplan, 

Anhang) aufgebraucht. Dennoch versuche ich so oft es geht, diese durch gezielte Fragen 

in den Unterricht einzubinden, um deren Vorwissen für die gesamte Klasse nutzbar 

zu machen. Auch bei der gewählten Zusammensetzung der Gruppen (vgl. Anhang) 

habe ich darauf geachtet, dass die Wiederholer ihre Kenntnisse in möglichst vielen 

Teams einbringen können. 

Die leistungsstärkste Schülerin ist mit großem Abstand T. Sie durchschaut 

mathematische Aufgaben und Zusammenhänge schnell und erfasst auch bei Transferaufgaben 

in kurzer Zeit den Kern der Problemstellung. Zu den Schülern mit durchschnittlichen 

mathematischen Fähigkeiten gehören A., A. und M. Sie erkennen mathematische 

Zusammenhänge mit einiger Hilfestellung, können diese dann aber auch mit 

ihren eigenen Worten wiedergeben und erläutern. Die mündliche Mitarbeit ist in der 

Klasse insgesamt als sehr positiv zu bewerten. Nur wenige Schüler (A. oder D.) melden 

sich kaum. Einige Schüler brauchen zu Beginn der Stunde einen Anstoß, um sich 

eigenständig zu melden. Eine besondere Qualität hat die mündliche Mitarbeit von W. 

Sie stellt die „richtigen“ Fragen. Ich habe festgestellt, dass sie seit einiger Zeit den Stoff 

intensiv nacharbeitet und auch ihre Hausaufgaben gewissenhafter macht als zu Beginn 

des Schuljahres. Die Leistungen von E. und M. variieren sehr stark. Beide fragen viel, 

sind engagiert und sehr aktiv am Geschehen beteiligt. Dennoch lassen sie sich auch 

sehr leicht ablenken und neigen zu störenden Gesprächen mit den Nachbarn. Hier 

reicht es aus, die Schüler kurz auf ihr Fehlverhalten anzusprechen. 

Bei allen Schülern sind große Defizite im Stoff der Sekundarstufe I vorhanden. 

Diese versuche ich konsequent aufzuzeigen und – wenn sinnvoll und dringend nötig – 

Lösungen kurz an der Tafel zu wiederholen und die Mängel durch (zusätzliche freiwillige) 

Arbeitsblätter zu minimieren. Bei immerhin 12 Schülern ist die Versetzung durch 

ihre mangelnden mathematischen Leistungen gefährdet. Ich gehe daher sehr kleinschrittig 

und langsam im Unterricht vor. 

Nachdem ich nach dem Zufallsprinzip von einigen Schülern die Hausaufgaben 

einsammele und außerdem direkt zu den Hausaufgaben Tests schreiben lasse, sind 

nicht gemachte Hausaufgaben mittlerweile kein Problem mehr. Ich denke, dass ein 

Großteil der Schüler die Notwendigkeit der Hausaufgaben eingesehen hat. Sie werden 

von mir dazu angehalten, den Stoff nachzuarbeiten und ihre Defizite zu verringern. 

Zwar sind Fehlzeiten nach wie vor ein Problem innerhalb der Klasse, es wurde jedoch 

sowohl von mir als auch von Seiten der Schule darauf reagiert. 

Das Verhältnis zur Klasse ist gut. Es herrscht eine entspannte Atmosphäre. Ich 

versuche, eine für die Schüler neue Fehlerkultur einzuführen, bei welcher der Fehler als 

Lernhelfer und nicht als Garant für schlechte Noten gesehen wird. Dieses soll die Schüler 

dazu motivieren, eigene Gedanken sprachlich zu formulieren und damit einhergehend, 

eigenständiges und konstruktives Problemlöseverhalten zu entwickeln. 

Die Fachkompetenz der Schüler weist z. T. erhebliche Mängel beim Umgang 

mit Funktionen und deren Eigenschaften und beim Lösen von Gleichungssystemen auf. 

Hierbei sind im Besonderen Defizite im Bereich der Bruchrechnung und der Termumformung 

auffällig. Die Schüler verfügen über ein Konzept zum Lösen von 

Gleichungssystemen. Sie wenden dieses dann jedoch unreflektiert bei allen Aufgaben 

an. Viele Themenbereiche sind den Schülern aus der Sekundarstufe I bekannt, es 

1. Entwurf_PU_I.doc 1 von 11

gelingt ihnen jedoch nicht, dieses träge Faktenwissen wieder zu reaktivieren. Sie wirken 

oftmals desinteressiert und sind leicht abgelenkt. Ich steigere die Motivation der Schüler 

oftmals durch spielerische Elemente und anwendungsbezogene Aufgaben. Dieses gilt 

in besonderem Maße in der Einstiegsphase. Hierbei greife ich insbesondere die Themen 

der letzten Stunden auf, um den Schülern Anknüpfungspunkte und Erfolgserlebnisse 

zu geben und sie auch dadurch zu motivieren. 

Die Methodenkompetenz der Lerngruppe umfasst ein breites Repertoire aus 

Gruppenarbeit und Präsentationstechniken, aber spezielle Problemlösestrategien sind 

rudimentär. Das beginnt bereits beim richtigen und sorgfältigen Lesen von Arbeitsaufträgen 

oder Aufgabenstellungen. Insgesamt ist die Klasse oftmals sehr unruhig. Bei 

vielen Schülern habe ich Konzentrationsschwierigkeiten beobachten können. Gerade in 

den Montagsstunden fällt dieses auf. Aus diesem Grund formuliere ich auch die Arbeitsaufträge 

relativ kleinschrittig. Auch in den Klassenarbeiten hat sich kaum ein Schüler 90 

Minuten konzentrieren können. Daher versuche ich, Erklärungsphasen und Arbeitsphasen 

zu kombinieren. Mit Aufgaben, bei denen die Schüler mit ihrem Erfahrungshorizont 

Probleme lösen können, ist die Motivation der Schüler gestiegen. Dieses werde ich 

weiter ausbauen. Auch in dieser Unterrichtsstunde greife ich auf bekannte Schemata 

zurück und lasse die Schüler die ersten Schritte zur Ermittlung einer Kostenfunktion 

durchführen. 

Bezüglich der Sozialkompetenz kann ich sagen, dass das Klassenklima nach 

meinen Beobachtungen recht gut ist. Kein Schüler wird ausgegrenzt. Die Wiederholer 

haben sich integriert. Bei den von mir durchgeführten Gruppenarbeiten gab es keinerlei 

Probleme. Die Umsetzung des Schülers E. nach vorne hat dazu geführt, dass sein Stören 

zurückgegangen ist. Im Unterricht hat sich das sehr soziale Miteinander gefestigt. In 

Gruppenarbeitsphasen und bei Ergebnispräsentationen geben sich die Schüler Hilfestellungen, 

indem sie an entscheidenden Stellen ihre Gedanken mitteilen und – ähnlich 

meinem Verhalten – durch „lautes Denken“ Fragen aufwerfen. 

1.2 Der Referendar 

Ich unterrichte die Klasse seit Beginn diesen Schuljahres (2004 / 2005). Aufgrund der 

sehr unterschiedlichen Leistungsniveaus und im Hinblick auf das Zentralabitur hat sich 

die BBS Norden dazu entschlossen, Mathematik in Klasse 11 fünfstündig zu unterrichten. 

Zwei dieser fünf Stunden sind explizit als Förderstunden gedacht, in denen kein 

neuer Stoff erarbeitet werden soll, sondern Übungen zum Stoff und Wiederholungsphasen 

geplant sind. Ich unterrichte die Klasse in allen fünf Stunden eigenverantwortlich. 

Die FGW 1-1 wird am Montag in der 7. und 8. Stunde, am Mittwoch in der 5. und 

am Donnerstag in der 1. und 2. Stunde von mir unterrichtet. 

1.3 Organisatorische Rahmenbedingungen 

Der Raum A 210 kommt mit der Anzahl von 25 Schülern an seine Kapazitätsgrenze 

(vgl. Sitzplan im Anhang). Die Tische stehen in U-Form mit Innenreihen. Diese 

Anordnung hat sich als vorteilhafter gegenüber der „preußischen Sitzordnung“ 

herausgestellt, da sich die Schüler i. d. R. ansehen. Da in der besuchten Stunde eine 

Partnerarbeit vorgesehen ist, bleibt die Anordnung der Tische bestehen. 

Im Klassenraum lässt sich lediglich ein Fenster kippen. Dieses führt zu den 

üblichen Nachteilen. 


2 Didaktisch-methodische Konzeption 

2.1 Didaktische Überlegungen 

2.1.1 Analyse der curricularen Vorgaben 

Gemäß dem schulinternen Stoffverteilungsplan, angelehnt an den Minimalkatalog [05], 

hat sich die Fachkonferenz Mathematik der BBS Norden darauf geeinigt, wirtschaftliche 

Aufgaben in regelmäßiger Wiederholung immer wieder nach abgeschlossenen 

Themenbereichen zu behandeln. In den Rahmenrichtlinien [06] findet sich die Vorgabe 

nach einem Anwendungsbezug aus dem Bereich der Wirtschaftswissenschaften als 

letzter Punkt für die Klasse 11. Beispielhaft wird hier von der Bestimmung 

ganzrationaler Funktionen geschrieben. Die wirtschaftlichen Anwendungen aus dem 

Bereich der Kostentheorie mit der Betrachtung und Ermittlung einer Kostenfunktion 

bieten sich an, wenn es sich bei der gesuchten Funktion um eine ganzrationale 

Funktion höchstens dritten Grades handelt. Dieses führt bei der Ermittlung auf ein 

Gleichungssystem mit vier Unbekannten, welches in einer Unterrichtsstunde (ohne den 

Einsatz von GTR oder CAS) 1 lösbar ist. 

2.1.2 Analyse der Thematik, ihrer Komplexität und fachlichen Begründung 

Schüler haben oftmals Schwierigkeiten, die rein innermathematisch erworbenen rechentechnischen 

Kenntnisse und Fähigkeiten außermathematisch anzuwenden. Die besuchte 

Stunde legt ihren Schwerpunkt auf den wirtschaftlichen Anwendungsbezug. 

Kern der Stunde ist das Mathematisieren. Die Schüler müssen gegebene Daten 

aus der Aufgabenstellung herauslesen, modellieren und in Gleichungen umsetzen. Der 

Arbeit der Schüler liegt ein fünfschrittiges Schema zu Grunde, von dem im Unterricht 

die ersten vier Schritte durchgeführt werden sollen. Der letzte Schritt, das Lösen des 

Gleichungssystems, wird als Hausaufgabe gestellt und in der nächsten Stunde mithilfe 

eines Programms durch den PC überprüft. Die Kenntnisse über das Lösen von 

Gleichungssystemen beruht auf Kenntnissen aus der Sekundarstufe I bzw. aus einer 

kurzen Behandlung am Anfang des Schuljahres. Bei der Auswahl der Aufgaben wurde 

von mir daher darauf geachtet, dass die Schüler diese auch ohne intensivere 

Wiederholung lösen können. 

Zur Behandlung der ersten vier Schritte müssen die Schüler in der Lage sein, 

eine Funktion in der allgemeinen Polynomdarstellung, also unter Verwendung von 

zunächst unbestimmten Koeffizienten, aufzustellen und diese dann zu differenzieren. 

Hierbei gibt der Grad (n) der gesuchten Funktion die Anzahl der Variablen (n+1) und 

3 2 

damit auch die Anzahl der benötigten Gleichungen vor: f ( x) 

= ax + bx + cx + d ist 

eine Funktion dritten Grades mit den vier Koeffizienten a, b, c und d. Anhand der Bedingungen 

an den Graphen, welche in der Aufgabe formuliert sind, werden die Bedingungen 

an die Funktion aus der allgemeinen Gleichung formuliert (vgl. Erwartungshorizont 

der Aufgaben). Die Schüler müssen die Bedingungen am Graphen in Funktionsbedingungen 

übersetzen können. Diese Bedingungen müssen im dritten Schritt durch Übertragen 

auf die allgemeinen Funktionsgleichungen in ein System mit n Gleichungen für n 

Unbekannte übertragen werden. Die Schüler müssen in der Lage sein, Terme umzuformen 

und nach Unbekannten aufzulösen. 

2.1.3 Auswahl und Reduktionsentscheidungen 

Im eingesetzten Schulbuch [01] ist das Thema der „typischen Steckbriefaufgabe“ zu 

finden. Die Umkehrung der Aufgabenstellung, also zu gegebenen Eigenschaften eine 

passende Funktion zu konstruieren, findet sich im Schulbuch allerdings nicht mit 

1 GTR = grafikfähiger Taschenrechner, CAS = Computer-Algebra-System 


wirtschaftlichem Bezug. Die Problemstellungen bei den anwendungsorientierten 

Aufgaben sind lediglich technischer Natur. Nachdem den Schülern bereits bei der 

Untersuchung von Funktionen ein Schema an die Hand gegeben wurde (vgl. Abschnitt 

1, Fachkompetenz), verfahren die Schüler auch im Falle der Umkehrung nach einem 

begründeten Leitfaden. Die Schüler kennen die fünf zur Bestimmung notwendigen 

Schritte 2 . 

Die anwendungsbezogenen Aufgaben zeichnen sich oftmals dadurch aus, dass 

sie – mehr als sonst üblich – auf nicht ganzzahlige Ergebnisse führen. Dieses setzt 

beim Rechnen hohe Konzentration voraus und ist regelmäßig Quelle von Fehlern. Da 

das in der besuchten Stunde ermittelte Gleichungssystem in der zur Verfügung 

stehenden Zeit nicht zu lösen ist, wird dieses als Hausaufgabe erteilt. In der 

nachfolgenden Stunde soll dann das Ergebnis mit einem CAS überprüft werden. Da es 

sich hierbei um einfache aber konzentrations- und schreibintensive Rechenoperationen 

handelt, sollen die Schüler durch den Einsatz von PC unterstützt werden. 

Aufgrund der Lernschwierigkeiten innerhalb der Klasse wird ein Beispiel gemeinsam 

aber arbeitsteilig bearbeitet. Gemäß einer inneren Leistungsdifferenzierung führen 

unterschiedlich schwierige Bedingungen an den Graphen letztendlich alle auf dieselbe 

Funktion. Die auftretenden wirtschaftlichen Begriffe werden im Kontext wiederholt. Hierbei 

hoffe ich, die Wiederholer aktiv einbeziehen zu können. Wichtig ist, dass die Schüler 

die Vorgehensweise der Problemlösung durchdringen und nachvollziehen können. 

Inhaltlich liegt die Schwierigkeit beim Mathematisieren von betriebswirtschaftlichen Formulierungen 

in ein Gleichungssystem. 

2.1.4 Lern- und Handlungsziele, Kompetenzen 

Stundenziel: Die Schüler analysieren einen gegebenen Text auf wirtschaftliche Daten. 

Sie mathematisieren die auftretendenden Aussagen und übersetzen 

diese in ein Gleichungssystem. 

Vorlaufziele: 

Die Schüler sollen... 

V1 ... die fünf Schritte zur Bestimmung einer Funktion nennen. 

V2 ... das Schema zur Konstruktion einer Funktion aus gegebenen Eigenschaften 

anwenden. 

V3 ... die notwendigen Bedingungen zum Vorliegen von Nullstellen, Extrema und 

Wendepunkten nennen und anwenden. 

V4 ... eine ganzrationale Funktion dritten Grades in der allgemeinen Polynomschreibweise 

notieren und differenzieren. 

V5 ... betriebswirtschaftliche Vokabeln erläutern. 

Lernziele zur Förderung der Fachkompetenz: 


F1 ... die fünf Schritte zur Bestimmung eines Funktionsterms bei einer betriebswirtschaftlichen 

Funktion anwenden. 

F2 ... verwendete betriebswirtschaftliche Vokabeln in mathematische Gleichungen 

übersetzen. 

F3 ... die in einem Text formulierten Sachinhalte mathematisch interpretieren. 

F4 ... Funktionsbedingungen auf ermittelte Funktionsgleichungen anwenden. 

F5 ... ein Gleichungssystem nach ihren Unbekannten auflösen. 

2 (1) Gesuchte Funktion und deren Ableitung, (2) Bedingung an den Graphen, (3) Bedingung an die 

Funktion, (4) Bedingung an die Koeffizienten und (5) Lösen des Gleichungssystems 


Lernziele zur Förderung der Methodenkompetenz: 


M1 ... selbstgesteuert Hinweiskarten zur eigenständigen Problemlösung nutzen. 

M2 ... ihr Arbeitsergebnis im Plenum vorstellen. 

M3 ... konstruktiv mit Kritik und Fragen umgehen. 

M4 ... Arbeitsschritte und Vorgehen zusammenfassen. 

M5 ... in der Fertigkeit gefördert werden, mathematisch-formale Nachweise zu führen. 

M6 ... die logische Struktur eines Lösungsablaufes beschreiben können. 

M7 ... ihre Ergebnisse strukturiert in Heft und Arbeitsblatt festhalten. 

M8 ... ein in der Aufgabenstellung gegebenes Problem sachlich und verständlich erläutern. 

Lernziele zur Förderung der Sozialkompetenz: 

Diese Ziele sind mit dieser Unterrichtseinheit nicht explizit angestrebt und gehen nicht 

über das übliche Maß hinaus. 

2.2 Methodische Entscheidungen 

2.2.1 Verfahrensweisen und Unterrichtsformen 

Der besuchten Stunde wird eine schülerzentrierte Unterrichtsform zu Grunde gelegt. 

Wegen der z. T. großen Schwierigkeiten in der Klasse (vgl. Seite 1) habe ich mich allerdings 

entschlossen, strenge Vorgaben zu machen. Die Schüler werden mit einer lustig 

anmutenden Situation konfrontiert. Dieses soll das Interesse und die Motivation 

wecken, die mathematische Problemstellung zu bearbeiten. In der eingebauten 

Übungsphase nutzen die Schüler selbstgesteuert Hinweiskarten, falls sie an einer Stelle 

ein Problem haben. Weitere Unterlagen sind nicht erlaubt. 

In der Einstiegs- und Motivationsphase tritt der Lehrer als Unternehmer auf. 

Diesem ist ein „Missgeschick“ passiert: Eine auf der Vorstandssitzung zu veröffentlichende 

Funktionsgleichung der Gesamtkosten ist verloren gegangen. Lediglich 

Bedingungen und Aussagen, welche bei der Veranstaltung als markante Punkte 

genannt werden sollten, sind erhalten. Die Schüler sollen dem Manager dabei helfen, 

die Gesamtkostenfunktion zu rekonstruieren. In der sich anschließenden Arbeits- und 

Übungsphase gibt der Lehrer Bedingungen an die Schüler, welche diese eigenständig 

in Partnerarbeit bearbeiten. Den Schülern wird schnell deutlich, dass es sich um eine 

bekannte Aufgabenstellung unter einem betriebswirtschaftlichen Blickwinkel handelt. 

Die Schüler formulieren jeweils vier Bedingungsgleichungen und notieren diese auf 

farbigem Papier. Die Schüler setzen dabei selbstgesteuert Hinweiskarten ein, welche 

sie der Lösung immer einen Schritt näher bringen. Die Schüler kennen diese Methode. 

Es ist hierbei der Ehrgeiz zu beobachten, dass die guten Schüler möglichst lange auf 

die Hilfe verzichten. Den schwachen Schülern helfen die Karten von Beginn an. In der 

Präsentationsphase tritt der Lehrer erneut als Unternehmer auf und lässt sich die Ergebnisse 

der Gruppen erläutern. Die Ergebnisse werden an der Tafel gesammelt und 

im Rahmen eines Unterrichtsgespräches diskutiert. In einem abschließenden Unterrichtsgespräch 

lasse ich von den Schülern die Gemeinsamkeiten der Vorgehensweisen 

erläutern, um die durchgeführte Schrittfolge als zielorientierte Vorgehensweise zur Ergebnisberechnung 

zu verdeutlichen. Zur weiteren Ergebnissicherung sollen die Schüler 

ein weiteres (neben dem von ihnen bearbeiteten) Gleichungssystem in ihre Unterlagen 

übernehmen. Im Anschluss teilt der Lehrer die Hausaufgabe – das Lösen der zwei Gleichungssysteme 

– mit. Die Frage, welche sich stellt, lautet: Führen alle sechs Gleichungssysteme 

auf die selbe Kostenfunktion? Als didaktische Reserve ist vorgesehen, 

die markanten Punkte der Gesamtkostenfunktion, welche in den Bedingungsgleichun- 


gen ermittelt wurden, in ein vorbereitetes Koordinatensystem einzuzeichnen und den 

möglichen Graphen zu skizzieren. 

2.2.2 Medien 

Die Tafel wird zum Sammeln und Ordnen der Gedanken benutzt. An ihr steht das 

Thema der Stunde. In der Präsentationsphase werden die Ergebnisse im Mittelteil der 

Tafel festgehalten. Die Tafel dient somit der Übersicht, zur Informationsvermittlung und 

zur Steuerung der Schüleraktivität (abschreiben), da die Aufmerksamkeit immer wieder 

hierher gelenkt werden kann. 

Ich setze den Overhead-Projektor in erster Linie zur Effektivierung ein. So lege 

ich beispielsweise den geplanten Stundenverlauf auf. Außerdem liegen die Arbeitsblätter 

als Folie vor, um die unterschiedlichen Texte bei der Ergebnispräsentation gegebenenfalls 

allen Schülern sichtbar zu machen. Bei der Erläuterung der Bedingungen am 

Graphen sollen nochmals die wirtschaftlichen Begriffe gefestigt werden. Für die didaktische 

Reserve wird ein Koordinatensystem auf Folie eingesetzt. Der Einsatz des OHP 

dient also auch der Informationsvermittlung und der Ergebnissicherung. 

Die eingesetzten Arbeitsblätter dienen der Steuerung des Lernprozesses. Da 

keine Aufgaben im Fachbuch zur Verfügung stehen, gebe ich eine geeignete Aufgabe 

heraus. Für die Präsentation wird verschiedenfarbiges Papier verwendet. Dieses Vorgehen 

hat den Vorteil, dass die Schüler i. d. R. auf dem Papier sauberer schreiben als an 

der Tafel und die Ergebnisse besser (d. h. lesbar und geordnet) an der Tafel sortiert 

werden können (vgl. Tafelbild im Anhang). 

2.2.3 Reflexion des Lernprozesses und der Lernergebnisse 

Während der Arbeitsphase geht der Lehrer zu den einzelnen Gruppen und klärt spezielle 

Fragen, welche von den Schülern mit Hilfe der Karten nicht zu beantworten sind. 

Da den Schülern das Schema zum Aufstellen der Bedingungen an die Koeffizienten 

bekannt ist, ist weitestgehend von einer Festigung dieses Schemas auszugehen. In 

diesem Fall dient die Arbeitsphase der Anwendung des bereits Gelernten. Gleichermaßen 

ist durch den Anwendungsbezug eine Übung gegeben, welche vertiefend einen 

Bogen zwischen der Betrachtung marktwirtschaftlicher Funktionen und der im Mathematikunterricht 

behandelten Themen schlägt. 

Die angestrebte Hausaufgabe dient der Übung im Umgang mit Gleichungssystemen. 

3 Literaturverzeichnis 

[01] Schilling, Klaus: Analysis – anschaulich und verständlich, Bildungsverlag EINS, 

2003 

[02] Schilling, Klaus: anwendungsbezogene Analysis, Bildungsverlag EINS, 2004 

[03] Schöwe, Rolf et al.: Analysis, Wirtschaft, Cornelsen, 1998 

[04] Haarmann, K. et al.: Analysis, Merkur, 2004 

[05] Minimalkatalog über Schwerpunktthemen der Klasse 11 im FGy Wirtschaft, 

entwickelt von der Friedrich-List-Schule-Hildesheim, Überarbeitet vom Lfb-Kurs 

04.36.02 

[06] Rahmenrichtlinien und einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung für 

das Fach Mathematik, Erlass des MK, Oktober 2004 

[07] Unterlagen zum Fachseminar Mathematik 

[08] Blum W.; Törner, G.: Didaktik der Analysis. Vandenhoek und Ruprecht, Göttingen, 

1983 


4 Verzeichnis der Anhänge 

4.1 Unterrichtsverlaufsplan 

Geplantes 

Lehrerverhalten 

1. Lernschritt: Einstiegsphasev 

• Der L. begrüßt die S. 

und schreibt das Thema 

der Stunde an die 

Tafel 

• Der L. berichtet als 

Manager eines Unternehmens 

von seinem 

„Missgeschick“ 

Erwartetes 

Schülerverhalten 

2. Lernschritt: Problematisierungsphase 

• Der L. ordnet je 2 S. 

einem Team zu. 

• Der L. verteilt die 

Arbeitsblätter 

3. Lernschritt: Erarbeitungsphase 

• Der L. verteilt 

Hinweiskarten 

4. Lernschritt: Auswertungsphase 

• Der L. wird als Manager 

über das Zwischenergebnis 

informiert. 

• Die S. setzen sich zu 

Teams zusammen. 

• Die S. klären Fragen zu 

den Aufgaben 

• Die S. übersetzen die 

Vokabeln in Gleichungen. 

• Die S. interpretieren die 

Sachinhalte mathematisch. 

• Die S. notieren die 

Bedingungen an die 

Koeffizienten. 

• Die S. übertragen die 

Bedingungsgleichungen 

auf farbiges Papier. 

• Die S. fassen ihr 

bisheriges Vorgehen 

zusammen. 

• Die S. erläutern die 

Zusammenhänge 

zwischen Textaussagen 

und Gleichungssystem. 

• Die S. präsentieren 

teamweise ihr Ergebnis. 

6. Lernschritt: Erfolgssicherung, Erfolgskontrolle 

• Der L. stellt ggf. 

Fragen. 

• Der L. lässt die Ergebnisse 

in die Unterlagen 

• Die S. (Kontrollgruppen) 

vergleichen ihre Ergebnisse 

mit den vorgestellten 

und diskutieren 

eventuelle Änderungen. 

• Die S. übernehmen die 

Lösung in ihre Unterla- 

1. Entwurf_PU_I.doc Michael Rost Anhang A 

LZ 

V1, V2, V3, 

V4, V5 

F1, F2, F3, 

F4 

M1, M3, M5 

M2, M4, 

M6, M8 

M3, M7 

Methodischdidaktische 

Hinweise 

TA 

LV 

Arbeitsblatt 45.1 

bis 45.6 

LSG, i. o. 

Hinweiskarten 

PgEA 

TA 

Folie 45.1 bis 

45.6 

LSG i. o. 

SV, SSG 

TA 

LSG, i. o.

übernehmen. gen. 

Didaktische Reserve - Hausaufgabe 

• Der L. legt ein 

• Die S. tragen die 

vorbereitetes KOS auf markanten Punkte der 

den OHP 

Kostenfunktion ein. 

• Der L. (als Manager) • Die Schüler beschreiben 

fragt nach weiterem 

Vorgehen. 

ihr Vorgehen beim Lösen 

des vorliegenden 

Gleichungssystems. 

F5 

• Der L. stellt die • Die S. lösen das von 

Hausaufgabe. 

ihnen ermittelte Gleichungssystem 

Legende: 

LV Lehrervortrag 

SV Schülervortrag 

LSG, i. o. Lehrer-Schüler-Gespräch (impulsorientiert) 

LSG, f. e. Lehrer-Schüler-Gespräch (fragend-entwickelnd) 

SSG Schüler-Schüler-Gespräch 

PgEA Partnergestützte Einzelarbeit 

TA Tafelanschrieb 

KOS Koordinatensystem 

1. Entwurf_PU_I.doc Michael Rost Anhang B

4.2 Makrostruktur (Auszug) 

Vorgesehene Gesamtstundenzahl: 

Stunden Inhalte Motivationsaspekt 

Thema: Lösungsschema bei der Konstruktion von Funktionen 

1./2. 

- Allgemeine Funktionsgleichung 

- Bedingungen an den Graphen 

- Bedingungen an die Funktion 

- Bedingungen an die Koeffizienten 

- Lösen des Gleichungssystems 

Thema: Lösen von Gleichungssystemen 

3./4. 

- Einsetzungsverfahren 

- Additionsverfahren 

- Gleichsetzungsverfahren 

- Matrizenschreibweise 

Thema: Lösen von Gleichungssystemen 

Gestaltung der Sache 

5. - Matrizenschreibweise Innermathematisch 

Thema: Marktwirtschaftliche Funktionen 

6./7. 

- Kostenfunktionen 

- Preisabsatzfunktion 

- Erlösfunktion 

- Gewinnfunktion 

Thema: Aufstellen einer Kostenfunktion aus betrieblichen Daten 

8. 

- Allgemeine Funktionsgleichung 

- Bedingungen an den Graphen 

- Bedingungen an die Funktion 

- Bedingungen an die Koeffizienten 

1. Entwurf_PU_I.doc Michael Rost Anhang C 

Unterrichtsverfahren 

Unterrichtsformen 

Frontal mit Übungsphasen 

(i. o.) 

PgEA 

Unterrichtsmittel 

(Medieneinsatz) 

Arbeitsblatt 42 


Innermathematisch PgEA Übungsblatt 05 

Außermathematisch, 

Lernen von Vokabeln 


Anwendungsbezug zur 

Wirtschaft 

Frontal mit Übungsphasen 

(f. e.) 

PgEA, 

Schülervortrag 

Frontal mit 

Übungsphasen (f. e.) 


Übungsblatt 06 

Arbeitsblatt 45


9./10. 


- GS am Computer: Derive 


11./12. 

- Vollständiges Lösungsschema 

- Anwendung 


- GS am Computer: Derive 

PgEA - Partnergestützte Einzelarbeit 

i. o. - impulsorientiert 

f. e. – fragend-entwickelnd 



Wirtschaft 



Wirtschaft 

1. Entwurf_PU_I.doc Michael Rost Anhang D 

PgEA, 

Arbeiten am PC 

Schülervortrag 

PgEA, 

Arbeiten am PC 

Übungsblatt 07 

Übungsblatt 08

5 Differenzialrechnung Seite 1 FGW 1-1 

Aufstellen von Bedingungsgleichungen 

Die durch einen Windstoß verloren gegangene wichtige 

Gesamtkostenfunktion eines Unternehmens kann nur 

durch die geschickte Nutzung von bekannten Aussagen 

zum Graphen der Funktion ermittelt werden. 

Es ist bekannt, dass die Gesamtkosten durch ihre s-förmige Gesamtkostenkurve dritten 

Grades erfasst werden. 

Hierzu folgende Aussage des Managers: 

„Von der Funktion weiß ich nur noch, dass die fixen Kosten pro Planperiode 

720,00 GE betragen. Die durchschnittlichen variablen Kosten bei einer 

Ausbringung von 100 Stück betragen 50,00 GE und an der 

Ausbringungsstelle x = 0 hat die Gesamtkostenkurve die Steigung 50 – das 

wollte ich auf der Sitzung berichten. Außerdem weiß ich noch, dass die 

Gesamtkosten bei einer Ausbringung von 20 Stück eine Höhe von 1400,00 GE 

erreichen.“ 

Ermitteln Sie das Gleichungssystem, dessen Lösung auf die Koeffizienten der 

gesuchten Gesamtkostenfunktion führt. Sie haben 15 Minuten Zeit. 

Hinweis: Nutzen Sie die Hinweiskarten nur, wenn Sie allein nicht mehr weiterkommen. 

Notizen: 

3 2 

Kv 

( x) 

2 

2 

K ( x) 

= ax + bx + cx + d kv 

( x) 

= = ax + bx + c K '( 

x) 

= 3ax 

+ 2bx 

+ c 

x 

K ( 0) 

= 720 ⇒ I . 720 = d 

k v ( 100) 

= 50 ⇒ II . 50 = 10000a 

+ 100b 

+ c 

K ( 20) 

= 1400 ⇒ III . 1400 = 8000a 

+ 400b 

+ 20c 

+ d 

K '( 

0) 

= 50 ⇒ IV . 50 = c 

3 2 

⇒ K ( x) 

= 0, 

01x 

− x + 50x 

+ 720 

2. Arbeitsblatt_45_lös.doc 

Team 1










„Von der Funktion ist mir kaum etwas im Gedächtnis geblieben. Aber ich weiß, 

dass die Punkte ( 0 / 720) 

, ( 20 / 1400) 

und ( 60 / 2280) 

auf dem Graphen der 

Kostenfunktion liegen. Genau! Und die Grenzkosten bei einer Ausbringung 

von 120 ME betragen 242 GE.“ 




Notizen: 

3 2 

2 

K ( x) 

= ax + bx + cx + d K '( 

x) 

= 3ax 

+ 2bx 

+ c 

K ( 0) 

= 720 ⇒ I . 720 = d 

K ( 20) 

= 1400 ⇒ II . 1400 = 8000a 

+ 400b 

+ 20c 

+ d 

K ( 60) 

= 2280 ⇒ III . 2280 = 216000a 

+ 3600b 

+ 60c 

+ d 

K '( 

120) 

= 242 ⇒ IV . 242 = 43200a 

+ 240b 

+ c 

3 2 

⇒ K ( x) 

= 0, 

01x 

− x + 50x 

+ 720 


Team 2










„Markante Punkte... das ist gar nicht so leicht. Aber vom Zeichnen des 

Graphen ist mir im Gedächtnis geblieben, dass die Gesamtkostenfunktion bei 

einer Ausbringung von 70 ME Kosten in Höhe von 2750 GE erreicht. Die 

Steigung der Gesamtkostenfunktion bei einer Ausbringung von 10 ME ist 

m = 33. 

Die variablen Kosten steigen auf 1560 GE, wenn die Menge 60 ME 

erreicht. Unsere festen Kosten belaufen sich übrigens auf genau 720,00 GE in 

jeder Planperiode.“ 




Notizen: 

3 2 

2 

K ( x) 

= ax + bx + cx + d K '( 

x) 

= 3ax 

+ 2bx 

+ c 

K ( 70) 

= 2750 ⇒ I . 2750 = 343000a 

+ 4900b 

+ 70c 

+ d 

K '( 

10) 

= 33 ⇒ II . 33 = 300a 

+ 20b 

+ c 

K v ( 60) 

= 1560 ⇒ III. 1560 = 216000a 

+ 3600b 

+ 60c 

K ( 0) 

= 720 ⇒ IV . 720 = d 

3 2 

⇒ K ( x) 

= 0, 

01x 

− x + 50x 

+ 720 


K v 

( x) 

= ax 

3 

+ bx 

2 

+ cx 

Team 3










„Von der Gesamtkostenfunktion weiß ich kaum etwas! Aber die Gesamtkosten- 

funktion hat mit der Geraden E ( x ) = 44x 

zwei Schnittpunkte mit wirtschaft- 

licher Bedeutung. Eine Schnittstelle, die Nutzenschwelle, liegt bei x = 40 und 

die andere, die Nutzengrenze, bei x = 82 . Das Grenzkostenminimum liegt bei 

( 30 / 17) 

. Ich hoffe, das reicht an Informationen!“ 




Notizen: 

3 2 

2 

K ( x) 

= ax + bx + cx + d K '( 

x) 

= 3ax 

+ 2bx 

+ c 


K" ( x) 

= 6ax 

+ 2b 

K ( 40 ) = E( 

40) 

= 1760 ⇒ I . 1760 = 64000a 

+ 1600b 

+ 40c 

+ d 

K ( 82 ) = E( 

82) 

= 3608 ⇒ II . 3608 = 551368a 

+ 6724b 

+ 82c 

+ d 

K " ( 30) 

= 0 ⇒ 

III. 0 = 180a 

+ 2b 

K '( 

30) 

= 17 ⇒ IV . 17 = 2700a 

+ 60b 

+ c 

3 2 

⇒ K ( x) 

= 0, 

01x 

− x + 50x 

+ 720 

Team 4










„Ich kann mich lediglich an den Graphen der Kostenfunktion erinnern. Diese 

hatte nämlich im Schnittpunkt mit der y-Achse die Steigung m = 50 . Im 

Punkt ( 100/ 5720) 

hatte die Gesamtkostenfunktion die Steigung m = 150 . 

Ohne die variablen Kosten rechnet das Unternehmen noch mit Ausgaben in 

Höhe von 720 GE.“ 




Notizen: 

3 2 

2 

K ( x) 

= ax + bx + cx + d K '( 

x) 

= 3ax 

+ 2bx 

+ c 

K '( 

0) 

= 50 ⇒ I . 50 = c 

K ( 100) 

= 5720 ⇒ II . 5720 = 1000000a 

+ 10000b 

+ 100c 

+ d 

K '( 

100) 

= 150 ⇒ III . 150 = 30000a 

+ 200b 

+ c 

K ( 0) 

= 720 ⇒ IV . 720 = d 

3 2 

⇒ K ( x) 

= 0, 

01x 

− x + 50x 

+ 720 


Team 5










„Nun, die Gesamtkostenfunktion hat ihren Schnittpunkt mit der y-Achse bei 

( 720) 

0/ . Die Grenzkostenfunktion schneidet die y-Achse bei ( 0/ 50) 

. Die 

Ableitung der Grenzkostenfunktion schneidet die y-Achse bei ( 0/ − 2) 

. Die 

Nutzenschwelle, d. h. der Schnittpunkt der Gesamtkostenfunktion mit der 

linearen Erlösfunktion E ( x) 

= 44x 

, liegt bei x = 40 ME.“ 




Notizen: 

3 2 

2 

K ( x) 

= ax + bx + cx + d K '( 

x) 

= 3ax 

+ 2bx 

+ c 


K" ( x) 

= 6ax 

+ 2b 

K ( 0) 

= 720 ⇒ 

I . 720 = d 

K '( 

0) 

= 50 ⇒ 

II . 50 = c 

K " ( 0) 

= −2 

⇒ 

III . − 2 = 2b 

⇒ b = −1 

K ( 40 ) = E( 

40) 

= 1760 ⇒ IV . 1760 = 64000a 

+ 1600b 

+ 40c 

+ d 

3 2 

⇒ K ( x) 

= 0, 

01x 

− x + 50x 

+ 720 

Team 6

Hinweiskarte 1 

• Die Gesamtkostenfunktion K (x) 

ist die Summe 

aus variablen Kosten Kv (x) 

und Fixkosten K f . 

• Die Grenzkosten werden durch die erste Ableitung 

der Gesamtkosten beschrieben. 

• Die gesamten Durchschnittskosten – oder auch 

Stückkosten – k (x ) lassen sich ermitteln durch 

K( 

x) 

k( 

x) 

= . 

x 

• Nutzenschwelle bzw. Nutzengrenze beschreiben 

die Schnittpunkte der Kostenfunktion K (x) 

mit 

der Erlösfunktion E (x ) . Anschaulich sind dies die 

Nullstellen der Gewinnfunktion. 


• Die Gesamtkostenfunktion lautet in der allgemei- 

3 2 

nen Form K ( x) 

= ax + bx + cx + d . 

• Die Grenzkostenfunktion lautet in der allgemei- 

2 

nen Form K '( 

x) 

= 3ax 

+ 2bx 

+ c . 

• Die Ableitung der Grenzkostenfunktion lautet in 

der allgemeinen Darstellung K" ( x) 

= 6ax 

+ 2b 

. 

• Die Funktion der variablen Kosten lautet in allge- 

meiner Form Kv ( x) 

= ax + bx + cx . 

• Die Funktion der durchschnittlichen variablen Kos- 

3 

v 

ten lautet in der allgemeinen Form kv 

= oder 

x 

auch = ax + bx + c . 

k v 

2 

2 

K ( x)


Die allgemeine Funktionsgleichung einer Gesamtkostenkurve 

3. Grades mit s-förmigem Graphen lautet 


Die benötigten Bedingungen an den Graphen sind 

die im Text beschriebenen Punkte / Eigenschaften. 

Zum Beispiel: 

3 

f ( 

x) 

= a ⋅ x + b ⋅ x + c ⋅ x + d 

„Die durchschnittlichen variablen Kosten betragen 

bei einer Ausbringungsmenge von 50 ME 25 GE.“ 

Die zugehörige Bedingung an die Funktion lautet: 

k ( 50) 

= 25 

v 

2


Wenden Sie die Funktionsbedingungen auf die im 

ersten Schritt ermittelten Funktionsgleichungen an. 

Zum Beispiel: 

Funktionsgleichung: f ( x) 

= m ⋅ x + b 

Funktionsbedingung: f ( 2) 

= 4 

Bedingung an die Koeffizienten: 4 

= 2⋅ 

m + b

I 

Marktwirtschaftliche Aufgaben 04.07.’05 

II 

III 

IV 

„Bedingungen an die Koeffizienten“


5. Folie_Verlauf.doc 

Geplanter Stundenverlauf 

• Bericht des Resort-Leiters „Buchhaltung & Finanzen“ 

Das Missgeschick und der Verlust der Gesamtkostenfunktion 

• Arbeit der „Task-Force“ (Troubleshooter) 

Übersetzen der Bedingungen in ein Gleichungssystem 

• Vorstellung der Zwischenergebnisse 

Bericht an den geschäftsführenden Gesellschafter


„Von der Funktion weiß ich nur noch, dass die fixen Kosten pro 

Planperiode 720,00 GE betragen. Die durchschnittlichen variablen 

Kosten bei einer Ausbringung von 100 Stück betragen 50,00 GE und 

an der Ausbringungsstelle x = 0 hat die Gesamtkostenkurve die 

Steigung 50 – das wollte ich auf der Sitzung berichten. Außerdem 

weiß ich noch, dass die Gesamtkosten bei einer Ausbringung von 20 

Stück eine Höhe von 1400,00 GE erreichen.“ 

„Von der Funktion ist mir kaum etwas im Gedächtnis geblieben. Aber 

ich weiß, dass die Punkte ( 0 / 720) 

, ( 20 / 1400) 

und ( 60 / 2280) 

auf 

dem Graphen der Kostenfunktion liegen. Genau! Und die 

Grenzkosten bei einer Ausbringung von 120 ME betragen 242 GE.“ 

„Markante Punkte... das ist gar nicht so leicht. Aber vom Zeichnen 

des Graphen ist mir im Gedächtnis geblieben, dass die 

Gesamtkostenfunktion bei einer Ausbringung von 70 ME Kosten in 

Höhe von 2750 GE erreicht. Die Steigung der Gesamtkostenfunktion 

bei einer Ausbringung von 10 ME ist m = 33. 

Die variablen Kosten 

steigen auf 1560 GE, wenn die Menge 60 ME erreicht. Unsere festen 

Kosten belaufen sich übrigens auf genau 720,00 GE in jeder 

Planperiode.“ 

6. Folie_AB_45.doc 

Team 1 

Team 2 

Team 3


„Von der Gesamtkostenfunktion weiß ich kaum etwas! Aber die 

Gesamtkostenfunktion hat mit der Geraden E ( x ) = 44x 

zwei 

Schnittpunkte mit wirtschaftlicher Bedeutung. Eine Schnittstelle, 

die Nutzenschwelle, liegt bei x = 40 und die andere, die Nutzengren- 

ze, bei x = 82 . Das Grenzkostenminimum liegt bei ( 30 / 17) 

. Ich 

hoffe, das reicht an Informationen!“ 

„Ich kann mich lediglich an den Graphen der Kostenfunktion 

erinnern. Diese hatte nämlich im Schnittpunkt mit der y-Achse die 

Steigung = 50 

6. Folie_AB_45.doc 

m . Im Punkt ( 5720) 

100 / hatte die Gesamtkosten- 

funktion die Steigung m = 150. 

Ohne die variablen Kosten rechnet 

das Unternehmen noch mit Ausgaben in Höhe von 720 GE.“ 

„Nun, die Gesamtkostenfunktion hat ihren Schnittpunkt mit der y- 

Achse bei ( 0 / 720) 

. Die Grenzkostenfunktion schneidet die y-Achse 

bei ( 0 / 50) 

. Die Ableitung der Grenzkostenfunktion schneidet die y- 

Achse bei ( 0 / − 2) 

. Die Nutzenschwelle, d. h. der Schnittpunkt der 

Gesamtkostenfunktion mit der linearen Erlösfunktion E ( x ) = 44x 

, 

liegt bei x = 40 ME.“ 

Team 4 

Team 5 

Team 6


7. Folie_Graph_lös.doc 30. Juni 2005

Material

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?