Numerische Differentiation
Numerische Differentiation Numerische Differentiation
Lösung: (a) f ′ (2) = 4 , fR = 4,01 , δR = 0,0025 fL = 3,99 , δL = −0,0025 (b) f ′ π 3 (c) f ′ π 3 (d) f ′ π 3 fZ = 4,00 , δZ = 0 = 0,5 , fR = 0,4559 , δR = −0,0882 fL = 0,5424 , δL = 0,0849 fZ = 0,499167 , δZ = −0,00166 = 0,5 , fR = 0,4995669 , δR = −0,000866 fL = 0,5004329 , δL = 0,000866 fZ = 0,49999992 , δZ = −1,67·10 −7 = 0,5 , fR = 0,499995669 , δR = −8,66·10 −6 fL = 0,50000433 , δL = 8,66·10 −6 fZ = 0,499999999992 , δZ = −1,67·10 −11 (e) f ′ (1) = 1,386294361 , fR = 1,386342407 , δR = 3,47·10 −5 fL = 1,386246317 , δL = −3,47·10 −5 fZ = 1,386294362 , δZ = 8,00·10 −10 (f) f ′ (2) = −0,4068996821 , fR = −0,4070124656 , δR = 2,77·10 −4 fL = −0,4067869006 , δL = −2,77·10 −4 fZ = −0,4068996831 , δZ = 2,43·10 −9 (g) Wegen der beschränkten Genauigkeit des Rechners und der Differenz benachbarter Werte im Zähler! 3. Berechnen Sie f ′ π für f(x) = cos3x einmal exakt und einmal numerisch mit 18 dem zentralen Differenzenqotienten (h = 0,01). Wie groß ist der relative Fehler des Näherungswertes? Lösung: exakt: f ′ π = −3·sin 18 π 6 = −1,5 Näherung: f ′ π ≈ 18 cos3· π 18 +0,01 −cos 3· π 2·0,01 δrel = −0,00015 = −0,015% 18 −0,01 = −1,499775 4. Berechnen Sie f ′ π für f(x) = cos5x einmal exakt und einmal numerisch mit 30 dem zentralen Differenzenqotienten (h = 0,01). Wie groß ist der relative Fehler des Näherungswertes? Lösung: exakt: f ′ π = −5·sin 30 π 6 = −2,5 Näherung: f ′ π ≈ 30 cos5· π 30 +0,01 −cos 5· π 2·0,01 δrel = −0,00042 = −0,042% 30 −0,01 = −2,498958 5. Berechnen Sienumerisch sogenauwiemöglichdieAbleitungderFunktionf(x) = 2 x an der Stelle x = 1. Lösung: f ′ (1) ≈ f(1,001)−f(0,999) 0,002 = 1,386 2
6. Berechnen Sie numerisch so genau wie möglich die Ableitung der Funktion an der Stelle x = π 6 . Lösung: f ′π ≈ 6 f π 6 +0,001 −f π 6 −0,001 0,002 f(x) = 1 sinx = −3,4641 7. Die Ableitungsfunktion der Funktion f mit f(x) = 2 −x sinx können wir noch nicht berechnen. Bestimme trotzdem so genau wie möglich den Wert von f ′ (0,6). Lösung: f ′ (0,6) ≈ f(0,6+h)−f(0,6−h) = 2h 2−0,6−hsin(0,6+h)−2 −0,6+hsin(0,6−h) 2h Für h wählt man am besten halbe Taschenrechnergenauigkeit“, bei einem zehnstelligen ” Rechner also h = 10−5 : h 10−3 10−5 exakter Wert f ′ (x) ≈ 0,2863038586 0,2863037101 0,2863037101 3
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Lösung:<br />
(a) f ′ (2) = 4 , fR = 4,01 , δR = 0,0025<br />
fL = 3,99 , δL = −0,0025<br />
(b) f ′ π<br />
3<br />
(c) f ′ π<br />
3<br />
(d) f ′ π<br />
3<br />
fZ = 4,00 , δZ = 0<br />
= 0,5 , fR = 0,4559 , δR = −0,0882<br />
fL = 0,5424 , δL = 0,0849<br />
fZ = 0,499167 , δZ = −0,00166<br />
= 0,5 , fR = 0,4995669 , δR = −0,000866<br />
fL = 0,5004329 , δL = 0,000866<br />
fZ = 0,49999992 , δZ = −1,67·10 −7<br />
<br />
= 0,5 , fR = 0,499995669 , δR = −8,66·10 −6<br />
fL = 0,50000433 , δL = 8,66·10 −6<br />
fZ = 0,499999999992 , δZ = −1,67·10 −11<br />
(e) f ′ (1) = 1,386294361 , fR = 1,386342407 , δR = 3,47·10 −5<br />
fL = 1,386246317 , δL = −3,47·10 −5<br />
fZ = 1,386294362 , δZ = 8,00·10 −10<br />
(f) f ′ (2) = −0,4068996821 , fR = −0,4070124656 , δR = 2,77·10 −4<br />
fL = −0,4067869006 , δL = −2,77·10 −4<br />
fZ = −0,4068996831 , δZ = 2,43·10 −9<br />
(g) Wegen der beschränkten Genauigkeit des Rechners und der Differenz benachbarter<br />
Werte im Zähler!<br />
3. Berechnen Sie f ′ <br />
π für f(x) = cos3x einmal exakt und einmal numerisch mit<br />
18<br />
dem zentralen Differenzenqotienten (h = 0,01).<br />
Wie groß ist der relative Fehler des Näherungswertes?<br />
Lösung: exakt: f ′ π<br />
<br />
= −3·sin<br />
18<br />
π<br />
6<br />
= −1,5<br />
Näherung: f ′ π<br />
<br />
≈<br />
18<br />
cos3· π<br />
18 +0,01 −cos 3· π<br />
2·0,01<br />
δrel = −0,00015 = −0,015%<br />
18 −0,01<br />
= −1,499775<br />
4. Berechnen Sie f ′ <br />
π für f(x) = cos5x einmal exakt und einmal numerisch mit<br />
30<br />
dem zentralen Differenzenqotienten (h = 0,01).<br />
Wie groß ist der relative Fehler des Näherungswertes?<br />
Lösung: exakt: f ′ π<br />
<br />
= −5·sin<br />
30<br />
π<br />
6<br />
= −2,5<br />
Näherung: f ′ π<br />
<br />
≈<br />
30<br />
cos5· π<br />
30 +0,01 −cos 5· π<br />
2·0,01<br />
δrel = −0,00042 = −0,042%<br />
30 −0,01<br />
= −2,498958<br />
5. Berechnen Sienumerisch sogenauwiemöglichdieAbleitungderFunktionf(x) = 2 x<br />
an der Stelle x = 1.<br />
Lösung: f ′ (1) ≈ f(1,001)−f(0,999)<br />
0,002<br />
= 1,386<br />
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