Numerische Differentiation

Numerische Differentiation
1. Numerische Berechnung der Ableitung:
Wenn man die Ableitungsfunktion f ′ einer Funktion f nicht kennt, kann man f ′ (x)
durch einen der folgenden Differenzenquotienten (DQ) annähern:
fR(x) = f(x+h)−f(x)
h
rechtsseitiger DQ
fL(x) = f(x)−f(x−h)
h
linksseitiger DQ
fZ(x) = f(x+h)−f(x−h)
2h
zentraler DQ
(a) Beweisen Sie, dass der zentrale Differenzenquotient der Mittelwert aus dem
rechtsseitigen und dem linksseitigen Differenzenquotienten ist!
(b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f mit
f(x) = −x2 +10x−5
4
im Intervall [0; 6] und veranschaulichen Sie die Bedeutung der drei Differenzenquotienten
für x = 3 und h = 2. Welcher Quotient liefert wohl die beste
Näherung für f ′ (x)?
(c) Berechnen Sie die drei Differenzenquotienten für die Funktion aus Teilaufgabe
(b) an der Stelle x = 3 mit h = 0,1 und h = 0,001. Wie groß ist der relative
Fehler der Näherungswerte?
(d) Beweisen Sie, dass der zentrale Differenzenquotient einer quadratischen Funktion
f(x) = ax 2 +bx+c gleich der Ableitung f ′ (x) ist!
Lösung: (c) f ′ (3) = 1, fL(3) = 1,025, fR(3) = 0,975, fZ(3) = 1
2. Berechnen Sie f ′ (a) numerisch mit dem rechten, dem linken und dem zentralen
Differenzenquotienten und geben Sie jeweils den relativen Fehler an:
(a) f(x) = x 2 ; a = 2 ; h = 0,01
(b) f(x) = sinx ; a = π
3 ; h = 0,1
(c) f(x) = sinx ; a = π
3 ; h = 0,001
(d) f(x) = sinx ; a = π
3 ; h = 0,00001
(e) f(x) = 2 x ; a = 1 ; h = 0,0001
(f) f(x) = x·cosx ; a = π
3 ; h = 0,0001
(g) Die numerische Berechnung der Ableitung mit dem Taschenrechner liefert für
h ≈ 0,0001 optimale Ergebnisse. Warum wird die Genauigkeit des Ergebnisses
für kleinere h wieder schlechter? 1

Lösung:
(a) f ′ (2) = 4 , fR = 4,01 , δR = 0,0025
fL = 3,99 , δL = −0,0025
(b) f ′ π
3
(c) f ′ π
3
(d) f ′ π
3
fZ = 4,00 , δZ = 0
= 0,5 , fR = 0,4559 , δR = −0,0882
fL = 0,5424 , δL = 0,0849
fZ = 0,499167 , δZ = −0,00166
= 0,5 , fR = 0,4995669 , δR = −0,000866
fL = 0,5004329 , δL = 0,000866
fZ = 0,49999992 , δZ = −1,67·10 −7
= 0,5 , fR = 0,499995669 , δR = −8,66·10 −6
fL = 0,50000433 , δL = 8,66·10 −6
fZ = 0,499999999992 , δZ = −1,67·10 −11
(e) f ′ (1) = 1,386294361 , fR = 1,386342407 , δR = 3,47·10 −5
fL = 1,386246317 , δL = −3,47·10 −5
fZ = 1,386294362 , δZ = 8,00·10 −10
(f) f ′ (2) = −0,4068996821 , fR = −0,4070124656 , δR = 2,77·10 −4
fL = −0,4067869006 , δL = −2,77·10 −4
fZ = −0,4068996831 , δZ = 2,43·10 −9
(g) Wegen der beschränkten Genauigkeit des Rechners und der Differenz benachbarter
Werte im Zähler!
3. Berechnen Sie f ′
π für f(x) = cos3x einmal exakt und einmal numerisch mit
18
dem zentralen Differenzenqotienten (h = 0,01).
Wie groß ist der relative Fehler des Näherungswertes?
Lösung: exakt: f ′ π
= −3·sin
18
π
6
= −1,5
Näherung: f ′ π
≈
18
cos3· π
18 +0,01 −cos 3· π
2·0,01
δrel = −0,00015 = −0,015%
18 −0,01
= −1,499775
4. Berechnen Sie f ′
π für f(x) = cos5x einmal exakt und einmal numerisch mit
30
dem zentralen Differenzenqotienten (h = 0,01).
Wie groß ist der relative Fehler des Näherungswertes?
Lösung: exakt: f ′ π
= −5·sin
30
π
6
= −2,5
Näherung: f ′ π
≈
30
cos5· π
30 +0,01 −cos 5· π
2·0,01
δrel = −0,00042 = −0,042%
30 −0,01
= −2,498958
5. Berechnen Sienumerisch sogenauwiemöglichdieAbleitungderFunktionf(x) = 2 x
an der Stelle x = 1.
Lösung: f ′ (1) ≈ f(1,001)−f(0,999)
0,002
= 1,386
2

6. Berechnen Sie numerisch so genau wie möglich die Ableitung der Funktion
an der Stelle x = π
6 .
Lösung: f ′π
≈
6
f π
6 +0,001 −f π
6 −0,001
0,002
f(x) = 1
sinx
= −3,4641
7. Die Ableitungsfunktion der Funktion f mit f(x) = 2 −x sinx können wir noch nicht
berechnen. Bestimme trotzdem so genau wie möglich den Wert von f ′ (0,6).
Lösung: f ′ (0,6) ≈ f(0,6+h)−f(0,6−h)
=
2h
2−0,6−hsin(0,6+h)−2 −0,6+hsin(0,6−h) 2h
Für h wählt man am besten halbe Taschenrechnergenauigkeit“, bei einem zehnstelligen
”
Rechner also h = 10−5 : h 10−3 10−5 exakter Wert
f ′ (x) ≈ 0,2863038586 0,2863037101 0,2863037101
3