Skript Teil 2 - Neue Kantonsschule Aarau

Quantenphysik – Unterlagen zum Schwerpunktfach Physik – S. Guggenbühl 

3. Von der klassischen Physik zur Quantenphysik 

Mit der Erklärung von Licht und Wärmestrahlung als elektromagnetische Welle konnten gegen 1900 

praktisch alle beobachteten Phänomene auf die Elektrodynamik, die Thermodynamik (Wärmelehre) 

und die Mechanik zurückgeführt werden. Damit schienen in der Physik keine grossen Entdeckungen 

mehr möglich zu sein und so wurde beispielsweise dem jungen Heisenberg abgeraten Physik zu 

studieren, da auf diesem Gebiet schon alles Wesentliche bekannt sei (ein Glück, dass er nicht auf 

diesen Ratschlag hörte). Natürlich gab es noch einige ungelöste Probleme, doch es schien nur eine 

Frage der Zeit zu sein, bis auch diese im Rahmen der bis zum damaligen Zeitpunkt bestehenden 

Physik gelöst würden. Wie schockierend musste es für jene, die so dachten gewesen sein, als sie in 

den kommenden Jahren mit ansehen mussten, wie einige dieser ungelösten Problemen zu wahrhaften 

Rissen im Fundament der klassischen Theorien wurden, die das Gebäude schliesslich regelrecht zum 

Einsturz brachten. Eine neue Generation von Physikern übernahm das Zepter. Ihre Namen waren 

Einstein, Heisenberg, Pauli, Bohr oder Dirac. 

3.1 Das Gesetz von Stefan-Boltzmann 

Jeder Körper sendet ständig elektromagnetische Strahlung aus. Sie wird als Temperaturstrahlung 

bezeichnet, da sie durch die unregelmässigen beschleunigten Bewegungen der Ladungen in seinem 

Inneren entsteht, die als Folge der thermischen Energie auftreten. Erwärmt man einen Körper auf 

Temperaturen um 500 °C, so wird die Temperaturstrahlung als Wärme empfunden. Bei höheren 

Temperaturen sendet der Körper auch sichtbares Licht aus. Die Strahlung der Sonne, aber auch die 

Strahlung der Glühlampe, sind Beispiele dafür. 

Die Strahlungsleistung P der Temperaturstrahlung ist die pro Sekunde emittierte (abgegebene) 

Energie. Sie ist proportional zur Oberfläche A des strahlenden Körpers. Die Intensität J der 

abgegebenen Strahlung wird durch das Verhältnis 

P 

J = 

A 

definiert und hängt von der Temperatur und von der Oberflächenbeschaffenheit ab. Dunkle Flächen 

emittieren bei gleicher Temperatur mehr Strahlung als helle Flächen. 

Wenn ein Körper Temperaturstrahlung aussendet, so könnte man vermuten, dass er dadurch im Laufe 

der Zeit immer mehr Energie abgibt und auskühlt. Der Körper empfängt jedoch auch 

Temperaturstrahlung, die von den Körpern in seiner Umgebung ausgeht. Wir müssen sie bei der 

Energiebilanz berücksichtigen. Ein Teil der auftreffenden Strahlung wird dabei vom Körper 

absorbiert, der Rest wird reflektiert oder geht bei durchsichtigen Körpern hindurch. Dies führt zu 

folgendem Schema (für undurchsichtige Körper): 

einfallende Strahlung 

reflektierte Strahlung 

emittierte Strahlung 

absorbierte Strahlung 

- 30 - 

Einfallende Strahlung 

= 

absorbierte + reflektierte Strahlung


Die absorbierte Leistung heller und glänzender Körper ist gering. Sie reflektieren den grössten Teil 

der auftreffenden Strahlung. Auch das Absorptionsvermögen durchsichtiger Körper ist gering, sie 

lassen den grössten Teil der Strahlung hindurchtreten. Dagegen absorbieren dunkle Körper fast die 

gesamte auftreffende Strahlung. 

Weist ein Körper die gleiche Temperatur auf wie seine Umgebung, so wird er weder wärmer noch 

kälter. Die von ihm absorbierte Strahlungsleistung muss in diesem Fall gleich der emittierten 

Strahlungsleistung sein. Ein dunkler Körper absorbiert besonders viel Strahlung. Er muss daher auch 

besonders viel emittieren, damit er im Temperaturgleichgewicht bleibt. Ein heller oder ein 

durchsichtiger Körper absorbiert die auftreffende Wärmestrahlung fast nicht. Damit er im 

Temperaturgleichgewicht bleibt, muss auch sein Emissionsvermögen gering sein. Je grösser also das 

Absorptionsvermögen eines Körpers ist, desto größer ist auch sein Emissionsvermögen bei einer 

bestimmten Temperatur. 

Ist ein Körper heißer als seine Umgebung, so sendet er mehr Temperaturstrahlung aus, als er 

empfängt. Dadurch kühlt er allmählich ab, falls ihm nicht ständig, wie etwa bei einer Glühlampe, 

Energie zugeführt wird. 

Einen Körper, der jede auftreffende Strahlung vollkommen absorbiert (d.h. es wird nichts reflektiert), 

nennt man nach Definition einen Schwarzen Körper. Wir dürfen die Schwarze Strahlung nicht mit der 

Farbe schwarz der Alltagssprache in Verbindung bringen. Ein kühler Schwarzer Körper sieht 

tatsächlich schwarz aus, da er die gesamte auftreffende Strahlung absorbiert und nur wenig emittiert. 

Ein Schwarzer Körper mit einer Temperatur von einigen tausend Grad ist in Weißglut. Die von ihm 

ausgehende Schwarze Strahlung ist blendend helles Licht. 

Dennoch ist der Körper ein Schwarzer Körper, da er jede 

auftreffende Strahlung absorbiert. Eine berusste Oberfläche ist 

annähernd ein Schwarzer Körper. Eine noch weit bessere 

Näherung an einen Schwarzen Körper ist jedoch ein innen 

geschwärzter Hohlraum mit einem kleinen Loch. Fällt Strahlung 

durch das Loch ein, so wird sie im Hohlraum mehrmals 

reflektiert und dabei so geschwächt, dass die Strahlung praktisch 

völlig absorbiert wird. Der Hohlraum ist also ein fast idealer 

Schwarzer Körper. Anstatt von der Strahlung eines Schwarzen 

Körpers wird deshalb auch oft von Hohlraumstrahlung 

gesprochen. 

Die Eigenschaften der Schwarzkörperstrahlung wurden von dem österreichischen Physiker Ludwig 

Boltzmann theoretisch vorhergesagt und von Josef Stefan durch eine Reihe sorgfältiger Experimente 

bestätigt. Sie fanden: 

STEFAN-BOLTZMANN-GESETZ 

Die emittierte Strahlungsintensität eines Schwarzen Körpers nimmt mit der vierten Potenz der 

absoluten Temperatur (in Kelvin) zu: 

J ⋅T 

4 

−8 

= σ mit σ 

= 5. 

67 ⋅10 

2 4 

- 31 - 

W 

m K


Beispiel: 

Ein Metallwürfel mit der Kantenlänge a = 7cm hat die Temperatur T = 1300K. Wir 

wollen die emittierte sowie die aus der Umgebung mit Temperatur T’ = 300K absorbierte 

Leistung und die daraus resultierende abgestrahlte Nettoleistung berechnen. Dabei soll 

vereinfachend angenommen werden, dass der Würfel als Schwarzer Körper beschrieben 

werden kann. 

Lösung: 

Die Oberfläche des Würfels beträgt A = 6a 2 = 0.0294 m 2 . Damit kann die emittierte 

Strahlungsleistung berechnet werden: 

−8 

W 

4 

2 

PE = J ⋅ A = 5. 

67 ⋅10 

⋅ ( 1300K 

) ⋅ 0. 

0294m 

= 4761W 

2 4 

m K 

Die vom Würfel absorbierte Leistung ist offensichtlich gleich der von der Umgebung an 

den Würfel emittierten. Bertachten wir nämlich auch die Umgebung als Schwarzen 

Körper (sie ist sogar ein idealer Schwarzer Körper, da sie die Strahlung des Würfels 

vollständig absorbiert), dann kann die vom Würfel absorbierte Leistung berechnet werden: 

−8 

W 

4 

2 

PA = J ⋅ A = 5. 

67 ⋅10 

⋅ ( 300K 

) ⋅ 0. 

0294m 

= 13. 

5W 

2 4 

m K 

Sie ist klein gegenüber der emittierten. Pro Sekunde emittiert der Körper also die Energie 

von 4761J an seine Umgebung und absorbiert 13.5W aus seiner Umgebung. Die an die 

Umwelt abgegebene Nettoleistung beträgt = P − P = 4761 W −13. 

5W 

= 4747. 

5W 

Aufgabe 3.1 – (GA) 

- 32 - 

P E A 

Von der Sonne strahlt auf der Erdoberfläche dauernd ein Energiestrom der Intensität 

2 

J S = 1400W / m ein (Solarkonstante). 

a) Berechne daraus die Strahlungsleistung P der Sonne sowie die emittierte Intensität 

JE an der Sonnenoberfläche. Multipliziere dazu die Solarkonstante JS mit der 

2 

11 

Fläche einer Kugel A = 4πr die den Radius rE = 1. 5 ⋅10 

m der Erdbahn aufweist. 

Wieso? Dividiere, um JE zu erhalten, die Strahlungsleistung durch die Oberfläche 

8 

der Sonne. Der Radius der Sonne beträgt rS = 7. 0 ⋅10 

m . 

b) Berechne aus JE die Oberflächentemperatur der Sonne. Nimm dazu an, sie sei ein 

schwarzer Körper. 

3.2 Das Strahlungsgesetz von Planck 

Erwärmt man einen Körper, nimmt also gemäss dem Stefan-Boltzmann-Gesetz die abgestrahlte 

Leistung mit der 4. Potenz der absoluten Temperatur zu. Aber auch seine Farbe verändert sich, sobald 

der Körper zu glühen beginnt. Glüht er anfänglich dunkelrot, ändert sich seine Farbe mit zunehmender 

Temperatur zu orange, gelb und schliesslich gleissendem weiss. Wie hängt also die Temperatur des 

heissen Körpers mit der Farbe des abgestrahlten Lichts (und damit mit dessen Wellenlänge oder 

Frequenz) zusammen? Wie gross sind die Anteile an sichtbarem Licht, an Infrarotstrahlung 

(Wärmestrahlung) oder an UV-Strahlung an der gesamten abgegebenen Leistung? Welches Spektrum 

hat eine Glühlame und welches hat die Sonne? 

Mit diesen Fragen beschäftigen sich um 1890 die berliner Physiker Rubens und Kurlbaum, indem sie 

das Spektrum der Hohlraumstrahlung für verschiedene Temperaturen untersuchten. Denn im 

Gegensatz zu realen Körpern, erwartete man für alle Schwarzen Körper dieselbe Verteilung. Dabei


wurde die so genannte spektrale Strahlungsintensität j (λ ) T in einem erhitzen Hohlraum gemessen. 

Wir sind heutzutage in der Schule ebenfalls in der Lage dies zu tun. Allerdings verwenden wir dazu 

eine Glühlampe, deren Spektrum der Hohlraumstrahlung ziemlich nahe kommt. 

Experiment 3.2 

Führe das Experiment 3.2 gemäss separater Versuchsanleitung durch. 

Es zeigt sich, dass das Spektrum von Schwarzen Körpern kontinuierlich ist, das heisst 

elektromagnetische Strahlung aller Wellenlängen enthält. Die Spektren weisen aber ein stark 

temperaturabhängiges Maximum auf. Dieses Maximum dominiert das Spektrum und gibt die Farbe an, 

mit der der glühende Körper leuchtet. Wie wir dem Experiment entnehmen können, liegt das 

Maximum bei einer Glühlampe mit Temperatur zwischen 1000K und 3000K zwischen 3000nm und 

1000nm, also im Infrarot-Bereich (Wärmestrahlung). 

Die im Experiment aufgenommene spektrale Strahlungsintensität 

j (λ ) T benötigt noch einige Erläuterungen. Die Funktion j (λ ) T 

ist in der nebenstehenden Graphik für verschiedene 

Temperaturen von 2400K bis 3400K aufgetragen. Jede Kurve 

entspricht also der Funktion 

Temperatur. 

j (λ ) T für eine bestimmte 

Betrachtet man nun die bei einer festen Temperatur abgegebene 

Strahlung im Wellenlängenbereich zwischen λ0 und λ1, ist deren 

Intensität durch die Fläche unter der Kurve j (λ ) T zwischen λ0 

und λ1 gegeben. Da die Fläche unter einer Kurve durch das 

Integral beschrieben wird, gilt: 

λ , λ ) = j( 

λ) 

dλ 

λ 

1 

∫ 

J ( 0 1 T 

T 

Wenn das Intervall Δ λ = λ1 

− λ0 

klein ist und j (λ ) T darin nicht sehr stark variiert, gilt 

näherungsweise auch J ( λ, λ Δλ) 

≈ j( 

λ) 

⋅ Δλ 

. 

+ T T 

Von der theoretischen Seite beschäftigte sich Max Planck mit der spektralen Strahlungsintensität. Die 

aus der damals zur Verfügung stehenden Thermodynamik und Elektrodynamik hergeleiteten Gesetze 

von Rayleigh-Jeans und Wien vermochten die Daten nur teilweise zu erklären. Auch Planck hatte 

zunächst keinen Erfolg, bis er, einer Eingebung folgend, eine Interpolation (Mittelung) der beiden 

Gesetze probierte und eine zunächst rein empirische Formel fand, die dem Spektrum der 

Hohlraumstrahlung exakt entsprach. Diese Formel ist heute als das Planck’sche Strahlungsgesetz 

bekannt: 

STRAHLUNGSGESETZ VON PLANCK 

Die spektrale Strahlungsintensität beträgt für einen Schwarzen Körper der Temperatur T: 

j ( λ) 

T 

λ 

0 

2hc 

π 

= ⋅ 

5 

λ 

e 

- 33 - 

2 

−23 

Dabei ist k = 1. 

38 ⋅10 

J / K ⋅ mol die aus der Wärmelehre bekannte Botzmann-Konstante, 

8 

−34 

c = 2. 

997 ⋅10 

m / s die Lichtgeschwindigkeit und h = 6. 

626 ⋅10 

Js eine neue, aus den 

1 

hc 

kTλ 

−1


Messdaten bestimmte Naturkonstante, die heute als Planck-Kontante oder Planck’sches 

Wirkungsquantum bezeichnet wird 

Beispiel: 

Ein Halogenlampe brennt bei einer Temperatur der Glühwendel von T = 3000K 

. Wir 

wollen die im Bereich der Farbe grün (Wellenlänge zwischen 500 nm und 530 nm) 

abgegeben Strahlungsintensität berechnen. Dazu nehmen wir an, dass die Lampe 

näherungsweise das Spektrum eines Schwarzen Körpers besitzt (auch wenn dies 

tatsächlich nur bedingt zutrifft). Unter Verwendung des Planck’schen Strahlungsgesetzes 

erhält man für die Werte λ = 500nm 

und T = 3000K 

die spektrale Intensität 

11 

j( λ ) T = 8. 

177 ⋅10 

W /( m ⋅ m) 

. 

Das Wellenlängenintervall beträgt Δλ = 530 nm − 500nm 

= 30nm 

. Damit ergibt sich für 

die abgestrahlte Intensität J ( λ, λ Δλ) 

≈ j( 

λ) 

⋅ Δλ 

in diesem Wellenlängenbereich 

der Wert 


2 

24'531W / m . 

2 

+ T T 

Bemerkung: Um diese und die nachfolgenden 

Berechnungen möglichst rationell zu machen, gibst du an 

dieser Stelle am besten die Planck’sche Strahlungsformel 

als Funktion j(x,t) in den TR ein. Für einen TI-89 sieht dies 

wie folgt aus (oberste Graphik): 

Die Variable x bezeichnet die Wellenlänge und t die 

Temperatur. Dabei können die im TI-89 vordefinierten 

Naturkonstanten _h, _c und _k benützt werden. Beachte, 

dass der TR die Einheiten überprüft und die Variablen x und 

t daher in der Formel mit den Einheiten _m und _°K 

versehen werden müssen. Ist das einmal geschafft, kann die 

oben gestellte Aufgabe auch exakt durch eine Integration 

gelöst werden (mittlere Graphik): 

Ausserdem muss die Integration über alle Wellenlängen von 

λ = 0 bis λ = ∞ das gleiche Resultat wie mit dem Gesetz 

von Stefan-Boltzmann ergeben. Tatsächlich kann man aus 

dem Integral über alle Wellenlängen (unterste Graphik) die 

Stefan-Boltzmann-Konstante σ berechnen: 

σ 

= 

6 

J 4. 

59311⋅10 

W / m 

− 

= 

= 5. 

6705 ⋅10 

4 

4 

T ( 3000K 

) 

2 

Eine 50W-Halogenlampe hat eine Glühwendel mit der Fläche 1.247⋅10 -5 m 2 . 

a) Berechne die Glühtemperatur der Wendel. 

b) Berechne die im sichtbaren Bereich zwischen 400nm und 800nm abgestrahlte 

Lichtleistung und den Wirkungsgrad, das heisst den prozentualen Anteil der im 

sichtbaren Bereich abgegebenen Strahlungsleistung 

Aus dem Strahlungsgesetz von Planck lässt sich eine weitere wichtige Gesetzmässigkeit ableiten. 

Willhelm Wien fragte sich, bei welcher Wellenlänge aus dem kontinuierlichen Spektrum eines 

Schwarzen Körpers die Abstrahlung am intensivsten ist. Diese Wellenlänge maximaler 

- 34 - 

8 

m 

W 

2 

K 

4


Strahlungsintensität λmax bei einer Temperatur T befindet sich also dort, wo die spektrale 

Strahlungsintensität j (λ ) T ihr Maximum aufweist. Man erkennt durch den Vergleich der Kurven bei 

verschiedenen Temperaturen, dass sich dieses Maximum mit zunehmender Temperatur gegen den 

UV-Bereich, also zu kürzeren Wellenlängen hin verschiebt. Genauer: 

VERSCHIEBUNGSGESETZ VON WIEN 

Zwischen der Wellenlänge maximaler Strahlungsintensität λmax und der Temperatur T besteht 

beim Schwarzen Körper der Zusammenhang 

Beispiel: 


−3 

λ ⋅T 

= b mit b = 2 . 9 ⋅10 

m ⋅ K 

max 

Obwohl das Sonnenspektrum nur näherungsweise demjenigen eines Schwarzen Körpers 

entspricht, lässt sich daraus die ungefähre Oberflächentemperatur der Sonne abschätzen. 

Die Wellenlänge der maximalen Intensität befindet sich beim Sonnenspektrum bei 

λ 500nm 

.Daraus folgt für die Temperatur: 

max = 

−3 

b 2. 

9 ⋅10 

T = = K = 5800K 

−9 

λ 

500 ⋅10 

max 

Im Jahre 1965 entdeckten Arno Penzias und Robert Wilson bei Routinearbeiten an einem 

Radioteleskop eine völlig homogene, aus dem Weltall stammende Mikrowellenstrahlung 

mit einer Wellenlänge um λ = 1. 

07mm 

. Diese so genannte kosmische 

Hintergrundstrahlung wurde schon 1948 vom Kosmologen George Gamov vorausgesagt 

und kann als Restwärme des Urknalls interpretiert werden. Die Temperatur des leeren 

Universums liegt also auch in den kältesten Regionen über dem absoluten Nullpunkt! 

Berechne die Temperatur der Hintergrundstrahlung und damit des Universums. 

Der Theoretiker Planck konnte sich nicht mit einer mehr oder weniger zufällig gefundenen und nur 

empirisch gerechtfertigten Formel zufrieden geben. Er wollte die Formel verstehen, das heisst 

theoretisch herleiten. Die Hohlraumstrahlung entsteht, wenn die Elektronen in den Wänden oszillieren 

(schwingen) und elektromagnetische Strahlung der entsprechenden Frequenz emittieren. Umgekehrt 

absorbieren die Wände auch Strahlung, so dass das Strahlungsfeld des Hohlraums mit den 

oszillierenden Ladungen in den Wänden in einem dynamischen Gleichgewicht ist. Planck gelang es 

schliesslich, eine Herleitung für seine Formel zu finden, indem er durch einen „Akt der Verzweiflung“, 

wie er es nannte, eine ungewöhnlich Annahme über die Energie der Oszillatoren machte. Er wollte 

„unter allen Umständen, koste es, was es wolle, ein positives Resultat herbeiführen“. 

Wie ungewöhnlich diese Annahme war, verstehen wir, wenn wir uns in Erinnerung rufen, dass die 

Energie einer Schwingung nach der klassischen Physik vom Quadrat der Amplitude abhängig und von 

der Frequenz unabhängig ist. Klassische Oszillatoren können also grundsätzlich jeden beliebigen 

Energiewert annehmen. 

Plancks folgenschwere Annahme bestand hingegen darin, dass die Oszillatoren, also die 

schwingenden Ladungen der Wände, nur Energiewerte annehmen können, die ganzzahlige Vielfache 

einer frequenzabhängigen Grundenergie ε = h ⋅ f sind. Als Folge kann Strahlung auch nur in Form 

von Paketen der Energie ε = h ⋅ f – so genannten Energiequanten – emittiert oder absorbiert werden. 

Planck bemühte sich in den folgenden Jahren seine Annahme irgendwie in die bis anhin bekannten 

Theorien zu integrieren: „Alle meine Versuche, das theoretische Fundament der Physik diesen 

Erkenntnissen anzupassen scheiterten. Es war, wie wenn einem der Boden unter den Füssen 

- 35 -


weggezogen worden wäre, ohne dass sich irgendwo fester Grund zeigte, auf dem man hätte bauen 

können“. 

Während die Planck’sche Formel sich vor allem wegen ihres praktischen Nutzens rasch durchsetzte, 

wurde die damit verbundene Energiequantenhypothese in den folgenden Jahren als Kuriosum 

angesehen und wenig beachtet. Dies änderte sich im Jahre 1905, als fünf Arbeiten eines bis anhin 

völlig unbekannten Beamten des Schweizerischen Patentamts in Bern erschienen, die die Physik 

nachhaltig beeinflussten. Eine der Arbeiten nahm die Planck’sche Idee wieder auf – ihr Autor war 

Albert Einstein. 

3.3 Die Lichtquantenhypothese von Einstein 

Um 1900 schien die Wellennatur des Lichtes durch zahlreiche Experimente bewiesen. 

Interferenzerscheinungen an Gittern und andere Beobachtungen erlaubten es, die Wellenlänge des 

Lichtes zu messen. Es gab nur eine kleine Reihe von Phänomenen, die sich einer Erklärung durch die 

Wellennatur des Lichts entzogen. Eines dieser Phänomene war der so genannte Photoeffekt. 

Experiment 3.5 - Photoeffekt qualitativ 

Aus einer Metalloberfläche treten Elektronen aus, wenn man sie mit ultraviolettem Licht 

bestrahlt. Um das zu beobachten, wird eine Zinkplatte auf ein Elektroskop montiert. 

• Lade die Zinkplatte zunächst negativ auf (Kunststoffstab mit „Katzenfell“ kräftig 

reiben und Ladung vom Stab an der Zinkplatte „abstreichen“). Das Elektroskop 

muss ausschlagen. 

• Bestrahle die Platte anschliessend mit der Quecksilberdampflampe (Vorsicht 

heiss!), die sichtbares und ultraviolettes Licht abgibt. Die Entladung des 

Elektroskops zeigt, dass die Platte ihren Elektronenüberschuss rasch verliert. 

• Lade die Zinkplatte nochmals auf und filtere den ultravioletten Anteil des Lichtes 

nun mit einer Plexiglasplatte heraus. Die Entladung hört sofort auf und setzt auch 

bei einer Vergrößerung der Beleuchtungsstärke (näher heranfahren mit der Lampe) 

nicht wieder ein. Nur ultraviolettes Licht löst Elektronen aus der Metallplatte. 

• Lade die Platte nun positiv (Seidentuch und Glasstab verwenden). Bei einer positiv 

geladenen Zinkplatte zeigt die Bestrahlung mit der Quecksilberdampflampe keinen 

Effekt. Zwar löst das Licht auch hier Elektronen aus der Platte, doch werden sie 

durch die Anziehung der positiven Platte wieder zurückgeholt. 

Der Photoeffekt konnte zunächst nicht erklärt werden. Die Wellentheorie des Lichtes sagt nämlich 

voraus, dass die Elektronen durch das elektromagnetische Feld des Lichtes in Schwingungen versetzt 

werden. Die Amplitude dieser Schwingungen schaukelt sich auf und nimmt so lange zu, bis die 

Elektronen genügend Energie haben, um das Metall zu verlassen. Wir können die Zeit, die dazu nötig 

ist an einem Beispiel abschätzen. 

- 36 -


Beispiel: 

• Nehmen wir an, eine Hg-Dampflampe habe eine Leistung von P = 1200W 

. 

Davon liegt aber nur etwa 5% der Strahlung in dem für das Freisetzen der 

Elektronen verantwortlichen UV-Bereich. Von der Platte wird ausserdem nur 

etwa 20% der Strahlung absorbiert – der Rest wird reflektiert. Befindet sich die 

bestrahlte Zink-Platte im Abstand R = 1m 

von der Lampe, kann die Intensität der 

absorbierten Strahlung berechnet werden: 

J abs 

P ⋅ 0. 

05 ⋅ 0. 

2 

= 

= 0. 

955W 

/ m 

2 

4π 

⋅ R 

• Der Radius eines Zn-Atoms beträgt r = 1. 33 ⋅10 

m , der absorbierende 

Querschnitt 

A 

⊥ 

2 

Schon diese einfache Rechnung zeigt, dass das herauslösen von Elektronen aus dem Metall durch eine 

räumlich gleichmässig einfallende Welle nicht erklärt werden kann. Wir können das an einem 

makroskopischen Beispiel veranschaulichen: Die Welle eines Kursschiffs vermag am Seeufer zwar 

herumliegende Holzstücke wegzuschwemmen, keinesfalls aber tonnenschwere Felsbrocken 

wegzukatapultieren. Genau das müsste sie aber tun, um den Photoeffekt zu veranschaulichen. 

Es gibt noch weitere Punkte, weshalb der Photoeffekt mit einer Wellentheorie kaum plausibel gemacht 

werden kann. Zunächst sollten die Elektronen durch die Lichtwelle bei jeder Frequenz – und nicht erst 

oberhalb einer minimalen Frequenz – mehr oder weniger gut zum Schwingen und daher auch zum 

Austreten aus dem Metall angeregt werden. Ausserdem könnte vermutet werden, dass bei starkem 

Licht die Elektronen durch das elektrische Feld der Lichtwelle auf hohe Geschwindigkeiten 

beschleunigt werden. Die Energie der austretenden Elektronen müsste daher mit der Intensität des 

Lichtes zunehmen. Die nun folgende Untersuchung des Photoeffekts zeigt uns aber, dass diese 

Vermutungen falsch sind. 

- 37 - 

−20 

2 

= π ⋅ r = 5. 56 ⋅10 

m . Daher beträgt die durch ein Atom 

absorbierte Leistung Pabs = J abs A⊥ 

= 5. 

31⋅10 

W . 

Andererseits ist bekannt, dass zum herauslösen eines Elektrons aus einem Zn- 

−19 

Atom eine Energie E = 4. 

34eV 

= 6. 

95 ⋅10 

J nötig ist. Dieser Vorgang dauert 

also mindestens 

E 

t = 

P 

= 13. 

1s 

abs 

Diese relativ lange Zeitdauer steht aber nun im krassen Gegensatz zum 

Experiment, denn genaue Untersuchungen zeigen, dass für die Freisetzung von 

−8 

Elektronen bereits eine Bestrahlungszeit von t' 

= 10 s genügt! 

• Gehen wir umgekehrt von einer Bestrahlungszeit von t' 

= 10 s aus und 

berechnen die absorbierende Fläche, auf der genügend Energie einfällt, um das 

Elektron herauszulösen: 

A 

= 

P 

J 

−20 

abs − 11 

abs 

= 

J 

E 

= 7. 

28 ⋅10 

⋅ t' 

abs 

Die nötige Fläche entspricht dem Querschnitt von 1. 31⋅ 

10 Atomen! 

2 

m 

10 

2 

9 

−8


Experiment 3.6 - Photoeffekt quantitativ – (SE) 

Führe das Experiment 3.6 gemäss separater Versuchsanleitung durch. Es lässt sich als 

reales Experiment oder als Kurzversion mit dem Applet „Photoeffekt“ durchführen. 

Der Photoeffekt nimmt eine zentrale Stellung für die Deutung der quantenhaften Natur des Lichtes 

ein. Er zeigt, dass die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen nicht von der Intensität des 

eingestrahlten Lichtes abhängig ist, sondern nur von dessen Frequenz. Ausserdem tritt der Photoeffekt 

nur bei Lichtfrequenzen auf, die grösser als ein kritischer, für jedes Metall individueller Wert sind. 

Der Photoeffekt steht also im Widerspruch zum klassischen Wellenmodell des Lichts, mit dem man 

lange Zeit versucht hat Lichterscheinungen zu deuten. Für die Versuchsergebnisse standen deshalb 

zunächst keine befriedigenden Erklärungsmöglichkeiten zur Verfügung. Die Deutung der 

experimentellen Ergebnisse des Photoeffekts erfolgte schliesslich im Jahre 1905 durch Albert Einstein. 

Sein Artikel "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen 

Gesichtspunkt" nahm die Planck’sche Idee der Energiequanten wieder auf und ging von folgender 

Annahme aus: 

Licht besteht aus Photonen (Lichtquanten) der Energie E = h ⋅ f 

Was wäre, wenn die Energie der Lichtwelle nicht räumlich gleichmässig verteilt, sondern punktförmig 

an einzelnen Stellen konzentriert auf der Platte eintreffen würde? Mit dieser Idee war Einstein in der 

Lage, den Photoeffekt zu deuten. Er schreibt: "Nach der Auffassung, dass das einfallende Licht aus 

Photonen von der Energie h ⋅ f bestehe, lässt sich die Erzeugung von Elektronen durch Licht 

folgendermaßen auffassen: In die oberflächliche Schicht des Körpers dringen Photonen ein, und deren 

Energie verwandelt sich wenigstens zum Teil in kinetische Energie von Elektronen. Die einfachste 

Vorstellung ist die, dass ein Photon seine ganze Energie an ein einziges Elektron abgibt. Außerdem 

muss jedes Elektron beim Verlassen des Körpers eine für den Körper charakteristische Arbeit WA 

verrichten. Die kinetische Energie der austretenden Elektronen beträgt daher 

mv 

2 

2 

= h ⋅ f − W 

WA gibt demnach die Arbeit an, die zur Entfernung eines Elektrons aus dem Metall erforderlich ist. 

Die Energie der herausgelösten Elektronen ist dadurch etwas geringer als diejenige der einfallenden 

Lichtquanten.“ 

Halten wir das nochmals fest: 

LICHTQUANTENHYPOTHESE (A. EINSTEIN): 

Licht besteht aus Photonen (Lichtquanten), deren Energie E = h ⋅ f nur von der Frequenz des 

−34 

Lichtes abhängt. Dabei bezeichnet h = 6. 

6262 ⋅10 

Js das Plancksche Wirkungsquantum. 

Aufgabe 3.7 - Photoeffekt Auswertung – (GA) 

Wir wollen die von Einstein gemachte Behauptung anhand der in Experiment 3.6 

gemessenen Daten überprüfen. Von blossem Auge erkennt man, dass die Messpunkte 

im Energie-Frequenz-Diagramm von Experiment 3.6 auf einer Gerade liegen. 

Tatsächlich stellt die von Einstein vorgeschlagene Gleichung für die von den 

Photonen stammende Energie der Elektronen Ekin = h ⋅ f − WA 

eine Gerade dar. 

- 38 - 

A


a) Lege von Hand eine möglichst gut zu den Daten passende Gerade ins Energie- 

Frequenz-Diagramm von Experiment 3.6. 

b) Ermittle die Steigung der Geraden aus dem Diagramm. Wenn die Einsteinsche 

Behauptung stimmt, müsste die Steigung der Geraden (mit den gewählten 

−34 

Einheiten des Diagramms) der Planckschen Konstante h = 6. 

6262 ⋅10 

Js 

entsprechen. Trifft dies ungefähr zu? 

c) Ermittle die Austrittsarbeit WA aus dem Diagramm. Gib sie in den 

Energieeinheiten J und in eV an. 

Die Lichtenergie tritt gemäss der Einsteinschen Hypothese also nicht in beliebigen Energiebeträgen 

auf, sondern als Summe kleinster Energiemengen. Die kleinste Energiemenge, eine Art 

"Elementarenergie", ist das Energiequant mit dem Betrag h ⋅ f . Jede Lichtenergie ist also gequantelt. 

Der Wert der Konstanten h ist allerdings so ausserordentlich klein, dass die Quantelung der 

Lichtenergie für unsere alltäglichen Beobachtungen vernachlässigbare Auswirkungen hat. Erst für die 

Mikroobjekte bestimmt das Plancksche Wirkungsquantum das Ausmass der Quanteneffekte und trennt 

damit unsere Alltagswelt von der Welt der Quanten. 

Mit den Photonen wurde die Newtonsche Vorstellung vom Licht als Strom von Teilchen – wenn auch 

in etwas anderer Form – wieder belebt. Tatsächlich kann man die von einer Lichtquelle ausgehende 

Anzahl Photonen, zumindest im monochromatischen Fall leicht berechnen 

Beispiel: 

Ein Laser hat eine Leistung von 10mW und arbeitet bei einer Wellenlänge von 430nm. 

Wir wollen berechnen, wie viele Photonen pro Sekunde aus dem Laser strömen. 

Dazu wählen wir eine Zeit t = 1s, während dieser der Laser die Energie E = P ⋅ t = 0. 

01J 

abgibt. Ein Photon hat die Energie E Photon = h ⋅ f = hc / λ , wobei für die Frequenz 

f = c / λ eingesetzt wurde. Bezeichnet n die Anzahl pro Sekunde aus dem Laser tretender 

Photonen, gilt E = n ⋅ E Photon . Daraus kann n berechnet werden: 

E E ⋅λ 

16 

n = = = 2. 16⋅10 

E hc 

Allgemein ist also die Strahlungsleistung einer monochromatischen Lichtquelle proportional zur 

Frequenz sowie zur Anzahl der Photonen. Bei fester Frequenz bestimmt die Anzahl ausgesandter 

Photonen die Leistung und somit die Intensität der Lichtquelle. 


Photon 

Um ein Experiment mit einzelnen Photonen, etwa den im nächsten Abschnitt 

beschriebenen Doppelspaltversuch durchzuführen, soll sich in einer 30cm langen 

Versuchsanordnung im Mittel nur immer ein Photon befinden. Als Lichtquelle dient 

ein Laserpointer mit Leistung 1mW und einer Wellenlänge von 632nm. Um die 

Photonenzahl soweit zu vermindern, wie es das Experiment erfordert, werden 

Graufilter in den Strahlengang gestellt. Um welchen Faktor müssen die Filter die 

Photonenzahl reduzieren und wie viele Filter muss man verwenden, wenn jeder 95% 

des Lichts absorbiert und 5% passieren lässt? Hinweis: Die Photonen bewegen sich 

mit Lichtgeschwindigkeit. 

Bis vor einiger Zeit waren als technische Anwendung des Photoeffekts so genannte Photozellen in 

Gebrauch, wie wir sie auch in Experiment 3.6 benutzt haben. Sie dienten vor allem zur Messung von 

Lichtintensitäten, etwa in Form von Belichtungsmessern bei Photoapparaten. Auch wenn diese 

- 39 -


Aufgaben heute meist durch Halbleiterelemente (Phototransistoren) übernommen werden, gestattet die 

Einsteinsche Formel zum Photoeffekt einige interessante Berechnungen zur Photoemission von 

Elektronen aus Metalloberflächen. 

Beispiel: 

Die Katode einer Photozelle besteht aus Caesium (WA = 1.96 eV). Im Folgenden fällt 

nacheinander monochromatisches Licht mit der Wellenlänge λ1 = 410 nm (blaues Licht) 

und λ2 = 656 nm (rotes Licht) auf die Katode. Wir wollen untersuchen, ob durch 

Einwirkung des Lichtes dieser Wellenlängen Elektronen emittiert werden: 

Es gilt Ekin = h ⋅ f − WA 

. Zuerst Berechnen wir die Frequenz des Lichtes aus der 

Wellenlänge f = c / λ = 7. 

31⋅10 

Hz und f = c / λ = 4. 

57 ⋅10 

Hz . Dann braucht man 

Blaues Licht hat also eine kürzere Wellenlänge und somit eine höhere Energie als rotes. Deutlich wird 

das auch an der UV-Strahlung, Röntgenstrahlung und γ-Strahlung. Weil ultraviolettes Licht zum 

Beispiel eine kurze Wellenlänge und somit eine hohe Energie hat, kann es beim Menschen die 

Hautzellen beschädigen. 

Das Beispiel zeigt ausserdem, dass es für ein Metall eine von der Austrittsarbeit WA abhängige 

kritische Wellenlänge λkrit gibt. Nur Licht mit einer kleineren Wellenlänge λ ≤ λkrit 

ist in der Lage 

Metallelektronen freizusetzen. 


1 

Die Austrittarbeit WA für Zink beträgt 4.34eV. Wie gross ist die kritische 

Wellenlänge, bei der das Licht in Experiment 3.5 gerade noch Elektronen 

freizusetzen vermag? In welchem Bereich des elektromagnetischen Spektrums liegt 

sie? 

Aufgabe 3.10 

1 

14 

Eine Silberplatte wird mit monochromatischem Licht bestrahlt. Es zeigt sich, dass für 

Wellenlängen λ < 280nm Elektronen aus der Platte geschlagen werden. 

a) Wie gross ist die Austrittsarbeit WA von 

Silber? 

b) Die Silberelektrode einer Photozelle wird von 

Licht mit Wellenlänge λ=200nm bestrahlt. Die 

Strahlungsintensität beträgt 10mW. Welcher 

Strom fliesst durch das Amperemeter, wenn 

jedes Photon ein Elektron herausschlägt? 

I 

c) Nun wird das Amperemeter durch eine 

Batterie ersetzt. Welche Gegenspannung muss angelegt werden, damit der 

Stromfluss zum Erliegen kommt und wie muss die Batterie an den Elektroden 

der Photozelle gepolt sein? 

- 40 - 

2 

1 

−19 

noch die Energie WA umzurechnen: = 1. 

602 ⋅10 

C ⋅1. 

96V 

= 3. 

14 ⋅10 

J . Somit 

W A 

erhält man die kinetische Energie der Elektronen = h ⋅ f −W 

= 1. 

70 ⋅10 

J und 

−19 

14 

E1 1 A 

E2 = h ⋅ f2 

−WA 

= −1. 

12 ⋅10 

J . Die durch Photonen mit blauem Licht bestrahlten 

Elektronen haben eine positive kinetische Energie E 1 und können somit aus der Platte 

austreten. Die mit rotem Licht bestrahlten Elektronen haben jedoch zuwenig Energie um 

austreten zu können. Das erkennt man am negativen Wert von E 2 . 

−19 

−19


Im Jahre 1921 erhielt Albert Einstein für die Photonenhypothese den Nobelpreis. Seine Ideen 

erschienen vielen Physikern so kühn, dass sie zunächst nicht akzeptiert wurden. Sogar Max Planck 

schrieb noch 1913 in dem Antrag, Albert Einstein in die Preußische Akademie der Wissenschaften 

aufzunehmen: „Dass Einstein in seinen Spekulationen gelegentlich auch einmal über das Ziel 

hinausgeschossen haben mag, wie z. B. in seiner Photonenhypothese, wird man ihm nicht allzu sehr 

anrechnen dürfen. Denn ohne einmal ein Risiko zu wagen, lässt sich auch in der exakten Wissenschaft 

keine wirkliche Neuerung einführen.“ Im Laufe der Zeit hat die Photonenhypothese aber viele weitere 

Bestätigungen erfahren. 

Albert Einstein hatte übrigens die Arbeit zu den Lichtquanten kurz vor der Veröffentlichung 1905 als 

Doktorarbeit an der Uni Zürich eingereicht. Der damalige Institutsvorsteher erkannte den Wert der 

Arbeit, zögerte aber, eine so spekulative Schrift als Dissertation zuzulassen, worauf Einstein 

kurzerhand eine neue Arbeit einreichte (ebenfalls eine der fünf Arbeiten aus dem Wunderjahr 1905). 

Natürlich kann man den Leiter des Zürcher Physikinstituts verstehen, besonders in Anbetracht der 

unmittelbar folgenden Kritik an der Lichtquantenhypothese, beispielsweise von Persönlichkeiten wie 

Planck. Trotzdem ist es schade, dass diese bahnbrechende Arbeit Einsteins zum Wesen des Lichts 

keinen Eingang in den Dissertationskatalog der Uni Zürich gefunden hat. Als 1907 an der Uni Zürich 

eine Professur für Theoretische Physik geschaffen wurde, war den Verantwortlichen dennoch sofort 

klar, dass nur ein Kandidat dafür in Frage kam und so erhielt Einstein seine erste Anstellung als 

Professor am Physikinstitut der Uni Zürich. 

Zum Schluss dieses Abschnitts wollen wir noch zwei weitere Beispiele für die Anwendung des 

Photoeffekts kennen lernen. Der Photoeffekt kann in gewissem Sinne auch umgekehrt werden. Dies 

geschieht zum Beispiel in einer Leuchtdiode (LED) oder bei der Erzeugung von Röntgenstrahlung in 

einer Röntgenröhre. 

Eine Röntgenröhre besteht im Wesentlichen aus 

einer evakuierten Glasröhre mit einer Kathode und 

eine schräg montierten Anode. Mit einem Heizdraht 

werden Elektronen freigesetzt und durch die 

zwischen Anode und Kathode anliegende 

Hochspannung im Bereich von 400V bis 200kV 

beschleunigt. Auf der Anode werden die Elektronen 

sehr plötzlich abgebremst und geben dabei ihre 

Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung 

im Röntgenbereich ab. 

Beispiel: 

Die energieärmste Röntgenstrahlung hat eine Wellenlänge von 3nm. Welche Spannung 

muss zwischen Anode und Katode der Röhre anliegen, um sie zu erzeugen? 

Zuerst berechnen wir die Energie eines Photons im Röntgenbereich. Diese wird dann mit 

der kinetischen Energie eines durch die Spannung U beschleunigten Elektrons 

h ⋅ c 

gleichgesetzt: EPhoton = h ⋅ f = hc / λ und Ekin = e ⋅U 

ergibt U = = 413V 

λ 

⋅ e 

Aufgabe 3.11 

Berechne die Wellenlänge der bei einer Beschleunigungsspannung von 50kV 

entstehenden Röntgenstrahlung. 

- 41 -


Leuchtdioden, kurz LED genannt, sind Halbleiterelemente, die den Strom nur in eine Richtung 

fliessen lassen. Aber auch in Durchlassrichtung sperrt die Diode zunächst noch, das heisst sie weist 

bei kleinen Spannungen einen sehr hohen Widerstand auf. Wird die äussere Spannung jedoch auf 

einen bestimmten Wert U erhöht, gelingt es den Elektronen die Sperrschicht der Diode, die als 

Potentialbarriere dient, zu überwinden. Hinter der Sperrschicht geben die Elektronen ihre 

Energie E = e ⋅U 

in Form von Lichtquanten wieder ab. Man spricht hierbei vom Inneren Photoeffekt. 

Die Frequenz des entstehenden Lichts hängt dabei von der Spannungsdifferenz an der 

Potentialbarriere ab. Diese kann näherungsweise mit der Spannung gleichgesetzt werden, bei der die 

LED zu leuchten beginnt. Dabei gilt: 

E = h ⋅ f , 

E = e ⋅U 

- 42 - 

⇒ 

e ⋅U 

f = 

h 

Misst man umgekehrt die Leuchtspannungen und Frequenzen bei verschiedenfarbigen LED’s, kann 

daraus sogar die Plancksche Konstante bestimmt werden. Das machen wir im folgenden Experiment. 

Experiment 3.12 - Innerer Photoeffekt – (SE) 

Führe Experiment 3.12 gemäss separater Versuchsanleitung durch. 

3.4 Welle-Teilchen-Dualismus 

Einsteins Lichtquantenhypothese konnte zwar den Photoeffekt erklären, führte aber unweigerlich auf 

ein neues Dilemma. Einstein warf die alte Frage wieder auf, ob Licht mit einem Wellen- oder mit 

einem Teilchenmodell erklärt werden muss. Während sich bei den Physikern vor 1905 die über einen 

langen Zeitraum entstandene Theorie des Lichts als elektromagnetische Welle durchgesetzt hatte, 

brachte die Lichtquantenhypothese eine in jeder Hinsicht andersartige Korpuskeltheorie ins Spiel. Die 

teilweise heftigen und ablehnenden Reaktionen auf die Theorie der Lichtquanten sind von diesem 

Standpunkt verständlich, insbesondere weil die beiden Theorien kaum vereinbar scheinen. 

Das Paradoxon wurde durch ein 1909 von Geoffrey Taylor durchgeführtes Experiment sogar noch 

verschärft. Er stellte sich die Frage, was man beobachten würde, wenn man nur einzelne Photonen 

durch einen Doppelspalt schickt. Würde man keine Interferenzmuster mehr sehen und daraus 

schliessen können, dass diese durch gegenseitige Beeinflussung der Photonen entstehen? Oder würde 

jedes Photon ein – ausserordentlich schwaches – über den ganzen Schirm ausgebreitetes 

Interferenzmuster erzeugen? Zur Klärung dieser Frage untersuchte Taylor die Beugung von Licht an 

einer Nadelspitze. Als Schirm diente eine Fotoplatte. Taylor verringerte die Intensität des Lichtes so 

stark, dass sich im Mittel nur ein Photon zwischen Lichtquelle und Schirm befand. So konnte er 

prüfen, ob das Interferenzmuster durch Wechselwirkung einander folgender Photonen entsteht. Für 

eine messbare Schwärzung der Fotoplatte musste er mehrere Monate lang belichten. Das Ergebnis war 

verblüffend: Es zeigte sich das gleiche Interferenzbild, wie bei der Belichtung mit hoher 

Lichtintensität. Jedes Photon musste also beim Durchgang durch den Doppelspalt mit sich selber 

interferiert haben. Wir können das Experiment als Computersimulation wiederholen. 

Experiment 3.13 - Das Experiment von Taylor (Computersimulation) – (SE) 

• Starte das Programm „Doppelspaltversuch“. Wähle z.B. folgende Einstellungen: 

Quelle: „Photonen“, Wellenlänge λ = 620nm 

Blende: Spaltbreite 100 μm 

, Spaltabstand 300 μm 

Schirm: Zoom 100x


• Schalte die Lampe für einige Sekunden ein und wieder aus. Das vielleicht 

überraschende Ergebnis zeigt, dass jedes einzelne Photon zunächst kein über den 

Schirm ausgebreitetes Interferenzmuster, sondern einen scharf lokalisierten 

Leuchtpunkt erzeugt. Die Anordnung der Punkte erscheint zufällig. 

• Schalte die Lampe jetzt nochmals ein und drücke einige male auf „Speed“. 

Langsam zeichnet sich ein Muster auf dem Schirm ab: Es bilden sich Streifen, mit 

einer hohen Anzahl Photoneneinschlägen und solche mit einer geringen Zahl, die 

dem aus der Wellenoptik bekannten Interferenzmuster entsprechen. Da nur 

einzelne Photonen den Doppelspalt passiert haben, kann die Interferenz nicht 

durch gegenseitige Beeinflussung der Photonen entstehen. Jedes einzelne Photon 

muss also auch hier mit sich selbst interferieren und demzufolge beim Durchgang 

durch einen Doppelspalt Welleneigenschaften aufweisen. 

Tatsächlich ergibt sich bei jedem Interferenzversuch mit Licht ein ähnliches Bild, wie das Beispiel 

eines durch einen Doppelspalt bestrahlten Films zeigt. Von blossem Auge erkennt man auf dem Film 

ein scheinbar kontinuierliches Interferenzmuster aus dunkeln und hellen Streifen (die dunkeln Streifen 

sind auf dem Film belichtet). 

Betrachtet man den Film unter dem Mikroskop zeigt sich ein anderes Bild. Anstatt einer 

kontinuierlichen Schwärzung erkennt man ein Muster von zufällig verteilten dunklen Punkten. Diese 

entstehen immer dort wo das körnige Filmmaterial ein Photon absorbiert. In den Regionen grosser 

Lichtintensität, also in den dunkleren Steifen des Interferenzmusters, erkennt man eine hohe Dichte an 

geschwärzten Punkten, in Regionen mit geringer Lichtintensität eine geringe Dichte. Dies entspricht 

dem von Einstein postulierten Teilchenbild: Eine hohe Lichtintensität kommt nicht durch besonders 

energiereiche Photonen zustande (denn die Energie eines Photons hängt ja nur von seiner Frequenz 

ab), sondern durch eine grosse Anzahl von Photonen. 

Daraus kann man die folgenden Schlüsse ziehen: Ein einzelnes Photon erzeugt bei seiner Absorption 

auf dem Film einen genau lokalisierten Schwärzungspunkt. Das Photon verhält sich dabei 

teilchenartig. Das Interferenzmuster entsteht erst durch das Auftreffen vieler zufällig verteilter 

Photonen. Dies bedeutet, dass die mit dem Wellenmodell berechnete Intensitätsverteilung proportional 

zur Auftreffwahrscheinlichkeit des Photons am jeweiligen Ort auf dem Schirm ist (die Intensität selbst 

ist proportional zum Amplitudenquadrat der Elektrischen Feldstärke 

- 43 - 

2 

Ê ). Dennoch lässt sich die 

Entstehung eins Interferenzmusters, auch in dieser statistischen Ausprägung, nur mit dem 

Vorhandensein einer irgendwie gearteten Welle deuten. Dies ist der wellenartige Aspekt des Photons. 

Dies führt zu einer paradoxen Situation: Zur vollständigen Beschreibung eines Photons wird sowohl 

das so genannte Wellenbild als auch das so genannte Teilchenbild benötigt. Die beiden Aspekte 

scheinen irgendwie unvereinbar, widersprechen sich aber nicht wirklich, da sie auf unterschiedliche


Situationen angewandt werden. Wollen wir die Entstehung des von jedem einzelnen Photon 

mitgetragenen Interferenzmusters (respektive die damit verknüpfte Wahrscheinlichkeitsverteilung) 

beim Durchgang durch den Doppelspalt beschreiben, müssen wir dem Photon Welleneigenschaften 

zuschreiben. Wollen wir hingegen das Auftreten von diskreten und zufällig verteilten 

Schwärzungspunkten auf dem Schirm erklären, benötigen wir die den Photonen zugeschriebenen 

Teilcheneigenschaften. 

Andererseits lässt sich schwer verstehen, wie ein Photon sich einerseits als Welle über den ganzen 

Raum ausbreiten kann, andererseits auf einer Photoplatte einen scharf lokalisierten Schwärzungspunkt 

erzeugt. Und trotzdem ist es so! Die Tatsache, dass die Natur sich hier nicht so verhält, wie ein 

rationaler Geist zunächst erwartet, führte bei einer Reihe von Physikern zwischen 1920 und 1930 zur 

Erkenntnis, dass sich die Welt der Quantenobjekte nicht mehr in den Kategorien der klassischen 

Physik beschreiben lässt. Neue Begriffe mussten geschaffen werden. 

QUANTENEIGENSCHAFTEN DER PHOTONEN 

• Photonen verhalten sich nicht wie Objekte der klassischen Physik. Um sie vollständig zu 

beschreiben sind sowohl Wellen- wie auch Teilchenaspekte nötig. 

• Die Absorption eines Photons findet immer an einem scharf lokalisierten, aber zufällig 

verteilten Ort statt. Das Photon wird immer als Ganzes absorbiert oder emittiert. 

• Die Auftreffwahrscheinlichkeit des Photons an einer Stelle ist proportional zum Quadrat 

der Amplitude der damit verknüpften Welle. 

Die Tatsache, dass Photonen sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften besitzen, wird heute als 

Welle-Teilchen-Dualismus bezeichnet. Allerdings wir das Wellen- und das Teilchenbild nie 

gleichzeitig, sondern nur für einander ausschliessende Teilaspekte in Anspruch genommen. Zur 

Erfassung von einander ausschliessenden, aber dennoch für die vollständige Beschreibung eines 

Mikroobjekts benötigten Teilaspekten, hat Niels Bohr den Begriff der Komplementarität geprägt. 

3.5 Polarisation von Photonen 

Wir haben die Polarisation im Zusammenhang mit elektromagnetischen Wellen bereits kennen gelernt, 

wollen das wichtigste hier aber nochmals kurz repetieren. Die Polarisationsrichtung einer 

elektromagnetischen Welle ist die Richtung des elektrischen Feldvektors E( x, 

t) 

r r 

, der immer senkrecht 

zur Ausbreitungsrichtung der Welle steht. Die elektromagnetische Welle ist also immer eine 

Transversalwelle. Das Licht der meisten natürlichen 

Lichtquellen, zum Beispiel von Glühlampen, ist unpolarisiert. 

Das heisst, es kommen Wellen aller Polarisationsrichtungen 

senkrecht zur Ausbreitungsrichtung vor. Möchte man Licht mit 

nur einer Polarisationsrichtung erhalten, kann dazu 

beispielsweise ein Polarisationsfilter verwendet werden. Dabei 

kann der Filter nur von Strahlung einer bestimmten 

Polarisationsrichtung passiert werden. 

Ganz anders verhält es sich beim Licht eines Lasers. Das Laserlicht ist aufgrund der speziellen Bauart 

des Lasers bereits polarisiert. Daher eignet sich der Laser besonders gut für Untersuchungen zur 

Polarisation: Nehmen wir an, der elektrische Feldstärkevektor des Laserlichtes sei 0 Er . Trifft der in 

E0 r -Richtung polarisierte Lichtstrahl auf einen Filter, der um einen Winkel α gegenüber 0 Er verdreht 

ist, findet eine Vektorzerlegung von 0 Er in eine zur Durchlassrichtung parallele und eine dazu 

senkrechte Komponente statt. Hinter dem Filter weist der Lichtstrahl nur noch die parallele 

transmittierte Komponente 1 Er auf, die senkrechte Komponente wird von der Filterfolie absorbiert, 

- 44 -


das heisst geschluckt. Der Laserstrahl wird durch den Filter also abgeschwächt und um den Winkel α 

gedreht. 

absorbierte Komponente 

Die Abbildung des Vektors 0 Er auf 1 Er ist in der Geometrie unter dem Begriff orthogonale Projektion 

bekannt. Aus der Figur erkennt man leicht, dass E = E ⋅ cos( α) 

ist. Andererseits wissen wir, dass 

die Intensität J0 der Welle proportional zum Quadrat der Amplitude Ê 0 . Daher gilt für die 

Abschwächung des Strahls: 

ABSCHWÄCHUNG EINES LICHTSTRAHLS 

1 

- 45 - 

0 

Die Intensität J 0 eines polarisierten Lichtstrahls wird an einem um α gedrehten 

Polarisationsfilter auf J 1 reduziert, wobei gilt: 

J 

1 

= J 

0 

α 

E r 

1 

Durchlassrichtung 

neue Polarisationsrichtung 

2 J1 

2 

⋅ cos ( α ) ⇔ = cos ( α) 

J 

Dies ist die Sichtweise, wenn Licht als klassische elektromagnetische Welle betrachtet wird. Wir 

wissen jedoch, dass ein Lichtstrahl nach der quantentheoretischen Vorstellung als Strom von Photonen 

(Lichtquanten) betrachtet werden kann. Jedes Lichtquant stellt ein Wellenpaket dar, das ebenfalls eine 

Polarisationsrichtung besitzt: Photonen weisen eine Polarisationsrichtung auf. Natürlich muss die 

quantenmechanische Vorstellung mit der klassischen konsistent sein. Trotzdem bringt die Umdeutung 

der klassischen Sichtweise auf Photonen auch eine neue Erkenntnis mit sich. Diese Umdeutung soll 

jetzt erfolgen. 

Aus der Polarisationseigenschaft von Laserlicht folgt, dass die durch einen Laser erzeugten Photonen 

nicht nur monochromatisch sind (d.h. alle die gleiche Frequenz besitzen), sondern auch alle die 

gleiche Polarisationsrichtung aufweisen. 

Wir haben bei der klassischen Welle von einer Zerlegung in eine durchgelassene und eine absorbierte 

Komponente gesprochen. Bei einem Photon ist eine solche Zerlegung nicht möglich, da die Energie 

eines Photons E = h ⋅ f nur von seiner Frequenz abhängt und diese beim Durchgang durch den Filter 

nicht verändert wird (das Quantum ist unteilbar!). Das heisst, das Photon kann nur als Ganzes 

durchgelassen oder als Ganzes absorbiert werden. Wird das Photon durchgelassen, richtet sich seine 

Polarisationsrichtung jedoch parallel zur Durchlassrichtung des Filters aus. 

Wie ist nun aber die Abschwächung des Lichtstrahls der klassischen Sichtweise mit der 

Photonenhypothese vereinbar? Die Antwort ist relativ einfach. Die klassische Intensität ist 

proportional zur Anzahl Photonen. Somit gibt das Verhältnis der Intensitäten des Lichtstrahls vor und 

nach dem Durchgang durch den Filter die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Photon den Filter passieren 

kann. Die so genannte Transmissionswahrscheinlichkeit ist also gegeben durch 

J1 

2 

P( α ) trans = = cos ( α) 

(1) 

J 

0 

Für die absorbierte Komponente gilt nach der obigen Zerlegung klassisch E 2 = E0 

⋅ sin( α) 

. Für die 

Absorptionswahrscheinlichkeit gilt entsprechend 

E r 

0 

0 

anfängliche Polarisationsrichtung


J 2 2 

Pabs ( α ) = = sin ( α) 

(2) 

J 

Diese Wahrscheinlichkeitsdeutung der Vorgänge am Polarisationsfilter wird auch durch eine 

geometrische Eigenschaft der Sinus- und Cosinusfunktion gestützt. Es gilt nämlich für jeden Winkel 

2 

2 

sin ( α ) + cos ( α) 

= 1 . Dies entspricht der Forderung, dass die Transmissions- und die 

Absorptionswahrscheinlichkeit zusammen 1 ergeben müssen (d.h. 100%): 

0 

Pabs + Ptrans = 1 

Hier erkennt man wiederum, dass nicht etwa die Feldstärke E 1 = E0 

⋅ cos( α) 

in die 

Wahrscheinlichkeitsdeutung einfliesst, sondern das zur Intensität J1 proportionale Quadrat der 

Feldstärke cos ( ) 

2 2 2 

E = E ⋅ α . 

1 

0 

Wendet man die so erhaltenen Formel auf den Fall an, wo die Polarisationsrichtung des Laserstrahls 

bereits parallel zur Filterrichtung ist, das heisst wenn α = 0° 

ist, findet keine Absorption statt und alle 

Photonen werden unverändert durchgelassen. Tatsächlich liefern die beiden Formeln P trans = 1 und 

P abs = 0 . Dies gilt allerdings nur für einen idealen Filter. Die in der Praxis verwendeten Filterfolien 

absorbieren immer einen Teil der Photonen, auch dann wenn die Filterrichtung parallel zur 

Polarisationsrichtung des Laserstrahls ist. Die Transmissionswahrscheinlichkeit für den Winkel 

α = 0° 

ist also


Um das zu entscheiden, wird beispielsweise das folgende Experiment durchgefüht: In jeden der beiden 

Lichtwege eines Strahlteilerwürfels stellen wir einen Detektor, der in der Lage ist einzelne Photonen 

nachzuweisen 5 . Schliesslich brauchen wir noch einen so genannten Koinzidenzzähler. Dieser zählt nur 

gleichzeitige Impulse von beiden Detektoren - also nur das gleichzeitige Auftreten von Photonen im 

Detektor A und B. Führt man nun die Messung mit einzelnen Photonen durch, findet man abgesehen 

von Messfehlern keine Koinzidenzen 6 . Das heisst, Photonen teilen sich tatsächlich nicht, sondern 

folgen als Ganzes in zufälliger Weise entweder dem einen oder anderen Weg. Das überrascht 

eigentlich wenig, sondern bestätig das Teilchenbild des Lichts. Demnach besteht ein Lichtstrahl aus 

einem Strom von Photonen, wobei am Strahlteiler rund die Hälfte der Photonen zufällig den einen und 

rund die Hälfte den anderen Weg wählt. Das Wellenbild der Photonen scheint dabei nicht zur 

Anwendung zu kommen. Wir werden allerdings weiter unten sehen, dass eine so einfache Sichtweise 

trügerisch ist. Die Natur ist komplexer als dieser einfache Versuch annehmen lässt. 

B) Photonen im Mach-Zehnder-Interferometer 

Als nächstes modifizieren wir die Anordnung zu einem so genannten Mach-Zehnder-Interferometer. 

Dabei wird ein Laserstrahl an einem Strahlteiler geteilt. Die Teilstrahlen werden je an einem Spiegel 

umgelenkt und in einem zweiten Strahlteiler wieder vereinigt. 

Experiment 3.15 – (SE) 

Bei diesem Experiment sollst du dich mit der Funktionsweise des Mach-Zehnder- 

Interferometers vertraut machen. Es kann als reales Experiment oder mit Hilfe der 

Computersimulation „INTERFER“ durchgeführt werden. 

Achtung! Als Lichtquelle dient eine Laserdiode. Ihr Licht kann die Augen schädigen, 

also nie direkt in den Strahl schauen. 

Laser 

Lichtweg A 

• Vergleiche – bevor du den Laser einschaltest – das reale Mach-Zehnder- 

Interferometer mit dem abgebildeten Schema. Versuche die Komponenten zu 

erkennen. 

• Schalte nun den Laser ein (die Spannung darf maximal 3.5 V betragen). Auf dem 

Schirm entsteht ein deutliches Interferenzmuster mit hellen und dunklen Streifen. 

Sie entstehen aufgrund eines fast unvermeidbaren kleinen Längenunterschiedes 

der beiden Wege. Dies führt zu einer Phasenverschiebung und zur Interferenz der 

Teilstrahlen bei deren Vereinigung im zweiten Strahlteilerwürfel. 

• Unterbrich nun den einen Lichtweg, indem du ein Hindernis (oder die Hand) 

hineinstellst. Das Streifenmuster verschwindet. Der Grund ist ebenfalls klar, denn 

nun gelangt nur noch ein Teilstrahl zum Schirm und es ist keine Interferenz mehr 

möglich. 

5 Das ist mit einigem Aufwand mit Hilfe von hochspezifischen Halbleitementen (so genannten „Avalanche 

Photodioden“) sogar an der NKSA möglich. 

6 Es ist bemerkenswert, dass das Experiment erstmals 1981 tatsächlich durchgeführt wurde (P. Grangier). 

- 47 - 

Lichtweg B 

Detektor / 

Schirm


Soweit die Funktionsweise des Mach-Zehnder-Interferometers. Nun kommen wir zu einem eigentlich 

interessanten Experiment mit verblüffendem Ergebnis. Dazu platzieren wir vor dem Schirm an einer 

Stelle mit destruktiver Interferenz (also dort wo der Schirm beim Interferenzmuster dunkel bleibt) 

einen Photonen-Detektor. Dann wird die Lichtintensität so weit zurück genommen, bis nur noch 

einzelne Photonen durch das Interferometer gehen. 

Als erstes verschliessen wir nun den Weg A und zählen die am Detektor über den Weg B einfallenden 

Photonen – nehmen wir an es seinen zum Beispiel etwa 500 Photonen pro Sekunde. Dann öffnen wir 

den Weg A und verschliessen B. Wiederum werden wir etwa 500 Photonen pro Sekunde registrieren. 

Zum Schluss öffnen wir beide Wege A und B. Aufgrund der durch das Teilchenbild vermittelten 

Vorstellung vom Licht als Strom von Photonen (und der damit verbundenen Addition der 

Häufigkeiten) erwarten wir am Detektor bei zwei Wegen etwa 1000 Photonen pro Sekunde. Das 

Verblüffende ist, das man tatsächlich praktische keine Photonen registriert! Die klassische 

Wahrscheinlichkeitsrechnung, wonach bei mehreren möglichen (voneinander unabhängigen) Wegen 

die Wahrscheinlichkeiten einfach addiert werden müssen, ist hier nicht mehr anwendbar. 

Die Erklärung erfolgt sofort, wenn man bedenkt, dass wir den Detektor ja an einem Ort aufgestellt 

haben, an dem destruktive Interferenz vorherrscht, was natürlich auch bei einzelnen Photonen der Fall 

ist. Wir können dieses Experiment also nur erklären, wenn wir das Wellenbild der Photonen mit 

einbeziehen. Das Teilchenbild vermochte zwar das oben besprochne Experiment für den Durchgang 

eines Photons durch einen Strahlteiler zu erklären, stellt sich für die Erklärung des Durchgangs eines 

Photons durch das Mach-Zehnder-Interferometer aber als unvollständig heraus. 

Um uns das seltsame Verhalten der Photonen nochmals vor Augen zu führen, betrachten wir das 

Mach-Zehnder-Experiment nochmals aus einem etwas anderen Blickwinkel. Verfolgen wir dazu ein 

Photon, welches (zufällig) den Weg B wählt. Es wird am Spiegel umgelenkt und tritt durch den 

zweiten Strahlteiler, worauf es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auf den Detektor trifft. Nehmen 

wir nun an, wir können dabei den Weg A wahlweise mit einem Hindernis verschliessen oder offen 

lassen. So betrachtet hängt die Wahrscheinlichkeit, dass das Photon auf den Detektor trifft 

massgeblich davon ab, ob im Weg A – also in dem Weg den das Photon gar nicht nimmt – ein 

Hindernis steht. Ist der Weg A nämlich offen, ist die Wahrscheinlichkeit wie oben diskutiert praktisch 

null (am Ort des Detektors herrscht ja destruktive Interferenz), ist der Weg A geschlossen, ist die 

Wahrscheinlichkeit verschieden von null. Das wirft zwei äussert seltsame Fragen auf und es 

verwundert nicht, dass sogar Albert Einstein in diesem Zusammenhang von Geisterwellen gesprochen 

hat: 

1. Wie kann das Verhalten des Photons auf seinem Weg durch das Interferometer davon 

beeinflusst werden, ob im Weg, den das Photon nicht nimmt, ein Hindernis steht? 

2. Und wie kann das Photon auf seinem Weg überhaupt von der Existenz eines zwei Dezimeter 

entfernten Gegenstands beeinflusst werden – zumal man diese Entfernung im Prinzip auf 

einige Meter oder sogar hunderte von Kilometer ausdehnen kann. 

Lies die beiden Fragen noch einmal durch und denke kurz darüber nach… Willkommen, du bist auf 

unserer Reise von der klassischen Wellentheorie des Lichts in der Welt der Quantenphysik 

angekommen. Denn mit genau solch seltsamen Phänomenen befasst sich die Quantenphysik – 

zumindest was ihre philosophischen Aspekte betrifft. Um es vorneweg zu nehmen, bis jetzt konnte 

niemand diese beiden Fragen schlüssig beantworten. Das ist aber auch gar nicht nötig – und nach der 

Meinung der meisten Quantenphysiker – gar nicht möglich. Vielmehr geht es zunächst darum, zu 

anerkennen, dass die Natur sich in den Experimenten so verhält, wie wir es oben dargestellt haben. In 

einem zweiten Schritt müssen geeignete Begriffe geschaffen werden, um diese Experimente adäquat 

zu beschreiben und logische Konflikte zu vermeiden. Einer dieser Begriffe ist die erwähnte 

Komplementarität von Teilchen- und Wellenbild. Die in Zusammenhang mit den beiden gestellten 

Fragen auftretenden Paradoxien treten nämlich nur auf, wenn man versucht das Teilchenbild („Photon 

nimmt entweder Weg A oder Weg B“) auf eine Interferenzerscheinung anzuwenden (bei destruktiver 

Interferenz keine Photonen am Detektor). 

Doch in welchen Situationen muss das Teilchen- und wann das Wellenbild angewendet werden? Und 

wann treten überhaupt Interferenzerscheinungen auf? Das wirft die grundsätzliche Frage nach der 

Natur der mit dem Photon verknüpften Welle auf. Der tiefsinnige Däne Nies Bohr und sein brillianter 

Schüler Werner Heisenberg arbeiteten über mehrere Jahrzehnte ein Konzept aus, das heute als 

- 48 -


„Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik“ bezeichnet wird, indem sie von der 

Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Welle ausgingen, die wir kennen gelernt haben. Wir wollen an 

dieser Stelle nur soweit darauf eintreten, wie es für das Verständnis des Mach-Zehnder-Experiments 

nötig ist. Gegen Ende des Skripts werden wir noch einmal genauer darauf zurückkommen. 

Gemäss der Kopenhagener Deutung besitzt die dem Photon zugeordnete Welle keine materielle 

Realität. Sie ist lediglich Ausdruck aller möglichen Entwicklungen eines physikalischen Systems. Jede 

Möglichkeit entspricht dabei einer Teilwelle. Das aussergewöhnliche daran ist, dass sich diese den 

Möglichkeiten zugeschriebenen Wellen wie reale Wellen verhalten, das heisst dem Huygenschen 

Prinzip gehorchen und Interferenz zeigen. 

Konkret heisst dies, dass sich aus quantenmechanischer Sicht die Welle eines Photons beim Mach- 

Zehnder-Interferometer am ersten Strahlteiler aufteilt, die getrennten Wege A und B durchläuft und 

beim zweiten Strahlteiler wieder vereinigt – dabei tritt Interferenz auf. Falls nun ein Hindernis in 

einem der Wege steht, ist dieser nicht mehr passierbar, das heisst diese Möglichkeit fällt weg. Daher 

liegt nur noch eine Teilwelle vor und es tritt keine Interferenz mehr auf. Allgemeiner kann man sagen, 

dass die Interferenz verschwindet, wenn die Information über den Weg des Photons vorliegt. Damit die 

Information nämlich überhaupt vorliegen kann, muss dieser Weg durch irgendwelche physikalischen 

Umstände aus allen möglichen ausgewählt – d.h. präpariert – werden (z.B. durch Verschliessen 

sämtlicher anderer Wege). Halten wir daran fest, dass Wellen- und Teilchenbild nie gleichzeitig 

anwendbar sind, treten auch die beiden oben gestellten paradox anmutenden Fragen 1. und 2. gar nicht 

auf. Denn wenn man, wie oben angenommen, davon ausgeht, dass das Photon den Weg B nimmt, ist 

tatsächlich gar keine Interferenz möglich – ob im Weg A ein Hindernis steht oder nicht, beeinflusst 

das Messresultat am Detektor dann überhaupt nicht. Es gibt kein Paradoxon! Um Missverständnissen 

vorzubeugen, muss noch erwähnt werden, dass diese Information dem experimentierenden Physiker 

gar nicht wirklich vorliegen muss. Es genügt, wenn diese Information irgendwo in der Natur 

vorhanden ist und daher im Prinzip ausgelesen werden könnte. 

Falls aber umgekehrt am Schirm des Interferometers Interferenz auftritt, können wir daraus schliessen, 

dass nirgendwo Information über den Weg des Photons vorliegen kann. In dieser Situation lässt sich 

dem Photon also keiner der beiden Wege eindeutig 

zuordnen (denn sonst würde Information 

vorliegen), das Photon durchläuft also sozusagen 

„beide Wege gleichzeitig“. Diese verwirrende 

Situation wird sehr gut durch die nebenstehende 

Karikatur festgehalten 7 . 

Damit haben wir auch einen bedeutsamen 

Unterschied zur klassischen Physik (und zum 

klassischen Weltbild) gefunden: Besitzt ein 

klassisches Objekt mehre Möglichkeiten, um einen 

bestimmten Prozess zu durchlaufen, wird davon 

nur einer realisiert – und zwar unbeeinflusst von 

allen nicht realisierten. Stehen hingegen einem Quantenobjekt (z.B. einem Photon) mehrere 

Möglichkeiten zur Realisierung Verfügung, entsteht daraus etwas objektiv neues, nämlich Interferenz. 

C) Der Quantenradierer 

Man kann sogar noch weiter gehen. Liegt die Weginformation wie erwähnt einmal vor, kann auf dem 

Schirm kein Interferenzmuster entstehen. Es sei denn, man löscht diese Information durch ein 

geeignetes Verfahren wieder, bevor das Photon auf dem Schirm auftritt. Dass das wirklich 

funktioniert, können wir sogar mit einem eindrücklichen Experiment beweisen, dem Quantenradierer 

oder Quantum Eraser. Er stellt den Höhepunkt unserer bisherigen Reise in die Quantenwelt dar. Das 

Experiment basiert wesentlich auf der Polarisationseigenschaft von Photonen. 

7 Niels Bohr und Werner Heisenberg waren begeisterte Skifahrer – eine Ähnlichkeit ist nicht auszuschliessen. 

- 49 -


Experiment 3.16 (Quantenradierer) – (SE) 

Dieser Versuch kann als reales Experiment oder mit Hilfe der Computersimulation 

„INTERFER“ durchgeführt werden. 

Um ein Quantenradiererexperiment zu realisieren, muss unser Mach-Zehnder- 

Interferometer mit drei drehbaren Polarisationsfiltern ausgerüstet werden, die wie im 

folgenden Schema im Strahlengang platziert werden. 

Laser 

Lichtweg A 

Filter 1 

Führe nun den Versuch wie folgt durch: 

• A) Interferenz: Der Filter 3 hinter dem zweiten Strahlteiler wird zunächst 

nicht eingesetzt. Richte die Filter 1 und 2 zunächst parallel aus. Die Pfeile auf 

den Polarisationsscheiben sollen dabei senkrecht nach unten zeigen. Auf dem 

Schirm ist ein deutliches Interferenzmuster zu sehen. 

• Interpretation: Das Erscheinen der Interferenzmusters lässt sich in der 

Sichtweise der Kopenhagener Deutung damit begründen, dass beim 

Experiment der Lichtweg eines Photons vollkommen unbestimmt bleibt. Es 

gibt bei einem Photon, das hinter dem zweiten Strahlteiler nachgewiesen wird, 

in diesem Fall keine Eigenschaft, die auf den Weg schliessen lässt, den es 

genommen hat. Tatsächlich darf nicht einmal behaupten werden, das Photon 

hätte einen (uns nicht bekannten) Weg genommen. Um das Interferenzmuster 

zu erklären müssen nämlich beide möglichen Lichtwege gleichberechtigt 

miteinbezogen werden. Die Interferenz entsteht durch die Wechselwirkung 

der beiden Möglichkeiten. 

• B) Weginformation: Nun wollen wir unser Experiment so verändern, dass 

die zur Interferenz komplementäre Grösse – die Weginformation – vorliegt. 

Dies geschieht einfach dadurch, dass wir die Polarisationsrichtungen der 

beiden Lichtwege um 90° zueinander verdrehen. Dies könnte zum Beispiel 

durch drehen des Filters 1 um 45° und des Filters 2 um -45° geschehen. 

Dabei tritt allerdings das unschöne Problem auf, dass die 

Polarisationsrichtung des am Strahlteiler rechtwinklig abgelenkten Teilstrahls 

dabei ungefähr gespiegelt wird. Dies geschieht aber bei Lichtweg A vor und 

bei Lichtweg B nach dem passieren des jeweiligen Filters 1 respektive 2. 

Daher muss, wenn der Filter 1 um 45° gedreht wurde, der Filter 2 ebenfalls in 

der gleichen Richtung um 45° gedreht werden. Dieses Problem ist allerdings 

für den Versuch nicht weiter von Bedeutung. Wichtig ist, dass die beiden 

Teilstrahlen hinter dem Strahlteiler 2 tatsächlich eine um 90° unterschiedlich 

Polarisationsrichtung aufweisen. Drehe also nun den Filter 1 um 45° und den 

Filter 2 ebenfalls sorgfältig ungefähr um 45°, bis das Interferenzmuster 

(weitgehend) verschwindet. 

• Interpretation: Im Gegensatz zu Fall A) besitzen Photonen hinter dem 

zweiten Strahlteiler eine Eigenschaft, mit der auf den Weg geschlossen 

werden kann, den sie genommen haben – ihre Polarisationsrichtung. Während 

die Filter 1 und 2 als Polarisatoren dienen, kann Filter 3 als Analysator hinter 

dem zweiten Strahlteiler eingesetzt werden. Richtet man Filter 3 parallel zur 

Polarisationsrichtung von Lichtweg A aus, können nur Photonen durchtreten, 

- 50 - 

Filter 2 

Filter 3 

Lichtweg B 

Detektor / 

Schirm


die diesen Weg genommen haben. Wird am Detektor ein Photon registriert, 

weiss man mit Sicherheit, dass es Weg A genommen hat. Genau so kann man 

Photonen nachweisen, die den Weg B genommen haben – dazu muss der 

Filter 3 entsprechen ausgerichtet werden. Da in diesem Fall der Weg des 

Photons durch die Polarisationsrichtung eindeutig bestimmt ist, kann kein 

Interferenzmuster entstehen. Dazu müsste eine Überlagerung der beiden 

Teilwellen stattfinden. Erstaunlich daran ist, dass der Filter 3 gar nicht 

eingesetzt werden muss. Um das Interferenzmuster zum Verschwinden zu 

bringen, genügt es, dass die Photonen die Weginformation (in Form der 

Polarisationsrichtung) tragen. 

• C) Löschen der Information: Im letzten Teil des Experiments wollen wir 

nachweisen, dass sich die in Teil B) vorliegende Weginformation auch wieder 

löschen lässt. Dazu führen wir den Filter 3 in den Strahlengang ein und stellen 

ihn auf Mittelstellung. Wenn die Polarisationsrichtung von Lichtweg A um 

45° und von B um -45° gedreht ist, soll der Filter 3 also die 0°-Stellung 

aufweisen. Führe dies aus! Du stellst fest, dass das Interferenzmuster auf dem 

Schirm wieder deutlich hervortritt. 

• Interpretation: Durch den Analysator in Mittelstellung wurde die 

Weginformation wieder gelöscht. Dies wird durch die Berechnung der 

Transmissionswahrscheinlichkeiten eines Photons am Analysator klar, das 

Weg A, respektive Weg B genommen hat. 

P 

P 

A = Ptrans 

B = Ptrans 

- 51 - 

2 

( 45° 

) = cos ( 45° 

) = ( ) = 

2 

1 

2 

( −45° 

) = cos ( −45° 

) = ( ) = 

Möchte jemand ein Photon zum Detektor schicken, kann er durch geeignete 

Wahl der anfänglichen Polarisation in 45° respektive -45°-Richtung den Weg 

bestimmen. Eine Person, die in Unkenntnis dieses Weges hinter dem 

Analysator ein Photon registriert, hat (da P A = PB 

ist) nur eine 50% Chance 

den Weg richtig zu erraten. Das kann durch die so genannte Vorhersagbarkeit 

(Predictability) P A B P = P − ausgedrückt werden. Wir erhalten hier P = 0 . 

Nach der Kopenhagener Deutung ist das gleichbedeutend damit, dass der Weg 

vollkommen unbestimmt ist. Somit muss auch in diesem Fall Interferenz 

auftreten – und tatsächlich beobachten wir diese auch. 

Nun wollen wir noch überlegen, welches Ergebnis der Mach-Zehnder-Versuch (ohne Filter 3) ergibt, 

wenn die Polarisationsrichtungen der beiden Teilwege nicht rechtwinklig zueinander stehen. 

Tatsächlich lässt sich dann - wie wir in der folgenden Aufgabe sehen werden - die Weginformation 

aufgrund der Polarisationsrichtung hinter dem zweiten Strahlteiler nicht mehr mit Sicherheit 

bestimmen. Auch das ist typisch für die Quantenphysik: Information kann nicht nur – wie in der 

klassische Welt – vorliegen oder nicht, sondern sie kann teilweise vorliegen. Mit welcher Sicherheit 

die Information vorliegt, gibt die entsprechende Wahrscheinlichkeit an. Als Folge ist auch das 

komplementäre Gegenstück zur Weginformation, das Interferenzmuster, nur teilweise vorhanden. Bei 

einem von 90° verschiedenen Polarisationswinkel zwischen den Teilwegen, ergibt sich ein nur mehr 

oder weniger deutliches Interferenzbild. Auch dies lässt sich am Quantenradiererexperiment 

überprüfen. Entferne Filter 3 aus dem Interferometer und stelle dann die Polarisationsrichtungen der 

Teilstrahlen zunächst senkrecht – es liegt kein Interferenzmuster vor. Drehe dann einen Filter langsam, 

bis die Polarisationsrichtungen parallel sind. Dabei tritt das immer deutlicher werdende 

Interferenzmuster hervor. 

1 

2 

2 

2 

1 

2 

1 

2


Aufgabe 3.17 – (ZA) 

Vorbemerkung: Für die folgende Aufgabe wollen wir von idealen Polarisationsfiltern 

ausgehen, das heisst, die Transmission bei paralleler Ausrichtung der Photonen zum 

Filter beträgt 100%, bei senkrechter Ausrichtung 0%. Für einen allgemeinen 

Zwischenwinkel α soll sie cos ( ) 

2 α betragen. 

Wir nehmen an, der Winkel zwischen den Polarisationsrichtungen von Weg A und B 

beträgt β. Der als Analysator dienende Filter 3 hinter dem zweiten Strahlteiler wird 

parallel zu Polarisationsrichtung von Weg A ausgerichtet. 

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein durch Weg B laufendes Photon durch 

den Filter 3 hindurch tritt. Wie gross die die Wahrscheinlichkeit, dass ein durch 

Weg A laufendes Photon durch den Filter 3 tritt? 

b) Berechne die Vorhersagbarkeit P A B P = P − in Abhängigkeit des Winkels β . 

Interpretiere diese Grösse. 

D) Das Delayed-Choice-Experiment 

Beim Quantenradierer-Experiment geschieht die Wahl, ob am Schirm bei senkrechter 

Polarisationsrichtung der Lichtwege ein Interferenzmuster oder die Weginformation vorliegen soll, 

durch hinzufügen oder entfernen des Filters 3 hinter dem zweitem Strahlteiler. Erstaunlich daran ist 

die Tatsache, dass diese Wahl getroffen werden kann, nachdem das Photon den ersten Strahlteiler 

bereits passiert hat. Man spricht von einem Experiment mit verzögerter Wahl, oder Delayed-Choice- 

Experiment – einem Begriff den der amerikanische Physiker John Archibald Wheeler geprägt hat, der 

in den 30er Jahren bei Niels Bohr studiert hatte. Nach Wheeler wird das Mach-Zehnder-Interferometer 

(als Gedankenexperiment) auf kosmische Dimensionen ausgedehnt. Nehmen wir an, dass zwischen 

den Strahlteilern und den Spiegeln je eine Distanz von 10 Lichtjahren vorliegt. Aus einer Quelle Q 

werden Photonen emittiert, die unmittelbar durch den ersten Strahlteiler gelangen und dann ihren Weg 

durchs Interferometer nehmen. Nach 20 Jahren treffen sie beim Physiker im Kreuzungspunkt S ein. 

a) Experiment mit zwei Detektoren b) Experiment mit Strahlteiler 

Q 

S 

Dieser kann nun zwei mögliche Experimente durchführen – Skizze a) und b) oben. Entweder stellt er 

kurz vor dem Punkt S in jeden Lichtweg einen Detektor und kann damit messen, welchen Weg das 

Photon genommen hat (tatsächlich „klickt“ dann für jedes Photon nur ein Detektor!) oder er stellt in 

den Punkt S einen Strahlteiler und vereinigt die beiden Teilwellen. In diesem Fall zeigen die Photonen 

alle zur Interferenz gehörenden Merkmale. Das Verblüffende ist nun, dass der Physiker die 

Entscheidung, welches Experiment er durchführen möchte, kurz vor dem Eintreffen des Photons fällen 

kann - praktisch 20 Jahre, nachdem das Photon durch den ersten Strahlteiler gegangen ist. Es sieht also 

fast so aus, als ob man im Nachhinein entscheiden könnte, ob das Photo nur einen (im Detektor 

registrierten) Weg als Teilchen oder gleichzeitig beide Wege als Welle genommen hat (Interferenz). 

Tatsächlich kann die Vergangenheit dabei nicht beeinflusst werden. Niels Bohr hat betont, dass der 

scheinbare Widerspruch durch einen den Experimenten nicht angepassten Sprachgebrauch entsteht. 

Ein einfacher Strahlteiler mit zwei Detektoren in den Lichtwegen ist eben ein ganz anderes 

- 52 - 

Q 

S


Experiment als ein Mach-Zehnder-Interferometer. Daher darf man auch nicht in gleicher Weise 

darüber sprechen. Wenn man sich darauf beschränkt, den experimentellen Aufbau und den Ausgang 

des Versuchs zu beschreiben, entstehen keine Paradoxien. Diese treten erst auf, wenn man fragt, was 

das Photon tut, während man es nicht beobachtet. Und diese Frage – so Niels Bohr – darf man einfach 

nicht stellen! Wir wollen diesen Abschnitt mit einem Zitat von Bohr abschliessen, das genau dies 

ausdrückt: „Kein Phänomen ist ein Phänomen, ausser es ist ein beobachtetes Phänomen“. 

3.7 Vertiefung: Eine Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes 

Das folgende Kapitel stellt eine vertiefende Betrachtung zum Planckschen Strahlungsgesetz dar und 

richtet sich an besonders schnelle und interessierte Leserinnen und Leser. Dabei soll vor allem 

aufgezeigt werden, an welcher Stelle bei der Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes die 

berühmten Lichtquanten ins Spiel kommen 8 und wie diese Annahne auf die gewünschte Formel führt. 

Dabei werden wir einige elegante mathematische Methoden benützen. 

Ein Schwarzer Körper wird am besten durch einen Hohlraum realisiert, dessen Wände eine unter 

Umständen hohe Temperatur haben. Die Atome der Wände senden dabei elektromagnetische 

Strahlung aus. Genauer sind es die Ladungen, die darin schwingen und ähnlich wie bei einer Antenne 

(Herzscher Dipol) Energie in Form von elektromagnetischen Wellen aussenden. Die schwingenden 

Ladungen werden Oszillatoren genannt. Natürlich kann aber die Energiedichte im Hohlraum nicht 

beliebig anwachsen und so müssen die von den Wänden abgegebenen Wellen auch wieder absorbiert 

werden. Es entsteht ein Gleichgewicht zwischen dem im Hohlraum befindlichen elektromagnetischen 

Strahlungsfeld und den Oszillatoren der Wände. Nun kann man allgemein die spektrale Intensität 

j (λ ) T der von den Wänden abgegebenen Strahlung aus den Maxwellschen Gleichungen und der 

Thermodynamik herleiten. Wir geben nur das Resultat an: 

2π 

j( λ ) T = ⋅ 

4 

λ 

Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit, λ die Wellenlänge und E die mittlere Energie eines 

Oszillators in den Wänden. Wir müssen also nun die mittlere Energie E eines Oszillators in der 

Hohlraumwand berechnen – ohne allerdings genau zu wissen, welche Schwingungsvorgänge sich in 

der Wand tatsächlich abspielen. Zum Glück kann aber in solchen Situationen die Thermodynamik zu 

Hilfe genommen werden. Deshalb werden wir einen kleinen Umweg über die Statistik von 

Gasteilchen machen 9 . 

Ludwig Bolzmann konnte die mittlere Energie eines Teilchens im Idealen Gas berechnen, ohne dass er 

die genaue Bewegung der einzelnen Teilchen kennen musste. Anstatt die Energie eines jeden 

Teilchens zu berücksichtigen, berechnete er die Wahrscheinlichkeitsverteilung p (E) 

der 

Teilchenenergien im Gas. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen die Energie E aufweist ist nach 

Boltzmann 

p E = ⋅ e 

Z 

1 

( ) 

Die Variable T ist die Temperatur in Kelvin und k die Boltzmannkonstante. Z ist eine noch zu 

bestimmender Normierungskonstante, deren Bedeutung gleich erklärt wird. Es ist zudem üblich, die 

1 

Bezeichnung β = einzuführen. Wenn p (E) 

wirklich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung 

kT 

8 Für eine detaillierte historische Betrachtung sei z.B. verwiesen auf: D. Giulini, „Es lebe die Unverfrorenheit!“ 

Albert Einstein und die Begründung der Quantentheorie, in: H. Hunziker (Herausgeber), Der jugendliche 

Einstein und Aarau, Birkäuser, Basel 2005 

9 Unsere Herleitung weicht hier von derjenigen Max Plancks ab. Er (und später Einstein) haben die 

Berechnungen unter Benützung der so genannten Entropie durchgeführt und nicht mit der Botzmann-Verteilung. 

- 53 - 

− 

E 

E 

kT


darstellen soll, muss je nachdem, ob es sich um eine diskrete oder ein kontinuierliche Verteilung 

handelt, die Summe respektive das Integral der Wahrscheinlichkeiten über alle im Gas vorkommenden 

Teilchenenergien eins ergeben: 

∑ ∞ 

j= 

0 

( ) = 1 E p respektive 1 ) ( p E dE = 

j 

Wenn die Gasteilchen alle möglichen Energien zwischen 0 und ∞ annehmen können, kann aus dieser 

Bedingung die Normierungskonstante Z berechnet werden. 

∞ ∞ 

−β 

⋅E 

∞ 

1 −β 

⋅E 

1 e 1 

∫ p( 

E) 

⋅ dE = 1 ⇒ ∫ e dE = ⋅ = = 1 ⇒ Z 

Z Z − β Zβ 

0 0 

0 

Sobald die (normierte) Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenenergien im Gas vorliegt, kann der 

Mittelwert jeder von der Energie abhängigen Grösse f (E) 

im Gas berechnet werden. Mathematisch 

wird dazu der so genannte Erwartungswert f benützt. Dieser ist definiert durch: 

∑ ∞ 

j= 

0 

f = f ( E j ) ⋅ p( 

E j ) respektive f = ∫ f ( E) 

⋅ p( 

E) 

dE 

Damit sind wir nun in der Lage die mittlere Energie E der Teilchen im Gas auszurechnen. Wir 

verwenden dazu natürlich einfach die Funktion f ( E) 

= E . 

Aufgabe 3.18 

- 54 - 

∞ 

∫ 

0 

∞ 

0 

1 

= 

β 

Führe die Berechnung von E mit dem TI-89 durch. Hinweis: Das Integral existiert 

Aufgrund des Faktors − β ⋅ E im Exponenten nur für β > 0 . Diese Bedingung muss dem 

TR mitgeteilt werden. 

Das Ergebnis, dass die mittlere Energie eines Teilchens direkt proportional zur Temperatur des 

betrachteten Systems ist, hat für die statistische Wärmelehre eine grosse Bedeutung erlangt. Es hat 

sich nämlich gezeigt, dass dieses Resultat nicht nur für das Ideale Gas gilt, sondern in sehr vielen 

Situationen angewendet werden kann. Man kann es beispielsweise auch auf die mittlere 

Schwingungsenergie anwenden, die Atome im Gitter eines Festkörpers haben. 

Es lag daher nahe, auch für die Oszillatoren in den Wänden eines Schwarzen Körpers die 

Boltzmannsche Wahrscheinlichkeitsverteilung vorauszusetzen. Daraus folgt natürlich für die mittlere 

Energie eines Oszillators ebenfalls E = kT . So konnte der englische Physiker Lord Rayleigh das 

nach ihm benannte Gesetz zur Strahlungsleistung eines Schwarzen Körpers ableiten: 

2π 

⋅ c 

j( λ ) T = ⋅ kT 

4 

λ 

Dieses Gesetz wurde für grosse Wellenlängen (IR-Bereich) experimentell gut bestätigt. Es hat aber 

einen erheblichen Mangel: Für kleine Wellenlängen weicht es sehr stark von den Messdaten ab. Für 

λ → 0 gilt sogar j (λ ) T → ∞ . Im kurzwelligen Bereich des Spektrums eines Schwarzen Körpers 

müsste also eine unendlich hohe Strahlungsleistung abgegeben werden. Man nennt das die 

Ultraviolettkatastrophe und es ist klar, dass sie in der Realität nicht eintritt.


Max Planck hat in einem ersten Schritt durch eine Mittelung zwischen dem Rayleighschen und einem 

weiteren – dem Wienschen Strahlungsgesetz – eine Formel gefunden, die den Messdaten sehr genau 

entspricht. Um diese Formel in einem zweiten Schritt auch theoretisch begründen zu können, musste 

er jedoch eine seltsame Annahme über die Energie der Oszillatoren in den Wänden machen. In seiner 

Annahme ging er davon aus, dass die Oszillatoren keine kontinuierlich verteilten Energien aufweisen 

können, sondern nur solche, die einem ganzzahligen Vielfachen einer frequenzabhängigen 

Grundenergie ε = h ⋅ f entsprechen, also hf , 2 ⋅ hf , 3 ⋅ hf ,... Die Konstante h ist nachträglich aus den 

Messdaten zu bestimmen. 

Auf was führt uns das? Wir nehmen an, die Boltzmannsche Wahrscheinlichkeitsverteilung p (E) 

sei 

weiterhin gültig. Allerdings ist sie nicht mehr kontinuierlich, sondern nun diskret mit den 

Energiewerten = n ⋅ hf . Wir wollen den Erwartungswert E berechnen, müssen die Verteilung 

E n 

aber zuerst neu normieren. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten soll auch hier eins ergeben: 

∞ 

∞ 

∑ p( 

n ⋅ hf ) = ∑ 

n= 0 n= 

0 

1 

⋅ e 

Z 

−n⋅hf 

⋅β 

- 55 - 

= 1 

⇒ 

∞ 

∑ 

n= 

0 

e 

−n⋅hf 

⋅β 

Die Bildung dieser Summe sieht zunächst kompliziert aus. Wenn man allerdings berücksichtigt, dass 

nach den Potenzgesetzen ( ) n 

n⋅hf 

⋅β 

hf ⋅β 

e e 

= ist, erkennt man die Struktur einer unendlichen 

geometrischen Reihe. Für diese gilt, wenn −1 < q < 1 ist: 

Auf unsere Summe angewendet folgt: 

s 

∞ 

= 

∑ ∞ 

n= 

0 

a ⋅ q 

n 

1 

Z = 

1 − e 

a 

= 

1 − q 

−hf 

⋅β 

Nun können wir die mittlere Energie, das heisst den Erwartungswert von E berechnen: 

E 

= 

∞ 

∞ 

∑ p( 

nhf ) ⋅ nhf = ∑ 

n= 0 n= 

0 

1 

⋅ e 

Z 

−nhf 

⋅β 

Zur Berechnung dieser Summe brauchen wir allerdings noch einen weiteren mathematischen Trick. Es 

−nhf 

⋅β 

d −nhf 

⋅β 

gilt nämlich nach der Kettenregel der Differentialrechnung nhf ⋅ e = − e . Das bedeutet, 

dβ 

dass die zu berechnende Summe als Ableitung nach den Parameter β geschrieben werden kann: 

E 

= − 

∞ 

⋅ nhf 

= Z 

1 d −nhf 

⋅β 

−hf 

⋅β 

d ⎛ 1 ⎞ 

⋅ ∑ e = −( 

1 − e ) ⋅ ⎜ ⎟ −hf 

⋅β 

Z dβ 

dβ 

⎝1 

− e ⎠ 

n= 

0 

Dabei haben wir Z von oben eingesetzt. Die Summe über 

muss die Ableitung nach β nur noch ausgeführt werden. 

Aufgabe 3.19 

nhf 

e − 

ist gleich wie oben und ergibt Z. Nun 

−hf 

⋅β 

d ⎛ 1 ⎞ 

Berechne E = −( 

1 − e ) ⋅ ⎜ ⎟ mit dem TI-89 und setze in 

−hf 

⋅β 

dβ 

⎝1 

− e ⎠


2π 

⋅ c 

j( λ ) T = ⋅ E ein. Ersetze β = 1/ 

kT und f = c / λ . 

4 

λ 

Damit haben wir die Plancksche Strahlungsformel vorliegen. Aus den Messdaten lässt sich nun noch h 

bestimmen. Es sollte nochmals betont werden, dass Planck nicht in der Lage war und auch nicht 

versucht hat anzugeben, weshalb die Energie der Oszillatoren gequantelt sein sollte. Tatsächlich war 

er nicht davon überzeugt, dass die Quantelung in der Natur wirklich vorkommt, sondern betrachtete 

sie vor allem als rechnerisches Hilfsmittel. Erst nachdem Planck lange Zeit vergeblich versucht hat die 

Quantelung wieder aus den Rechnungen zu eliminieren, hat er sie als physikalische Realität akzeptiert. 

Tatsächlich wurde die Annahme, dass die Oszillatoren der Wände nur Vielfache der Energie ε = hf 

annehmen können, erst durch deren quantenmechanische Behandlung nach 1925 plausibel (siehe 

Abschnitt 4.11). Albert Einstein beschritt bei seiner Lichtquantenhypothese den umgekehrten Weg. In 

der Planckschen Sichtweise ist die Quantelung der Strahlung eine Folge der diskreten Energien, die 

die Oszillatoren annehmen können. Einsteins grosse Leistung war dagegen die Erkenntnis, dass die 

Quantelung des Lichts eine primäre Eigenschaft der Strahlung und unabhängig von der Quantelung 

der Energie der Oszillatoren ist. 

Fassen wir zusammen: Die Annahme von kontinuierlich verteilten Energien bei den Oszillatoren der 

Holraumwände führt auf das Strahlungsgesetz von Jeans. Dieses führt im langwelligen Bereich zu 

einer korrekten Beschreibung der Messdaten, im kurzwelligen Bereich aber zu einer unphysikalischen 

Ultraviolettkatastrophe. Erst durch die Annahme einer diskreten Energieverteilung der Oszillatoren 

lässt sich die Planck-Formel ableiten, die alle Messdaten korrekt beschreibt. Die Oszillatoren können 

dabei nur Energien annehmen, die einem ganzzahligen Vielfachen einer zur Frequenz proportionalen 

Grundenergie entsprechen. 

3.8 Lösungen zu den Aufgaben 

Lösung 3.1 

2 

26 

a) Die Strahlungsleistung der Sonne ergibt sich aus = J ⋅ 4π ⋅ r = 3. 

958 ⋅10 

W . 

- 56 - 

P S 

E 

2 

Die Strahlungsintensität an der Sonnenoberfläche erhält man aus J = P /( 4π 

⋅ r ) 

7 2 

und erhält J = 6. 429 ⋅10 

W / m . 

b) Die Oberflächentemperatur der Sonne folgt nun aus dem Gesetz von Stefan- 

4 

4 

Boltzmann: J = σ ⋅T 

⇒ T = J / σ = 5800K 

Lösung 3.3 

a) Es gilt J = P / A . Die Temperatur kann damit aus dem Gesetz von Stefan- 

Boltzmann berechnet werden: 

J P 

T = 4 = 4 = 2900K 

σ σ ⋅ A 

b) Die im sichtbaren Bereich abgegebene Strahlungsintensität ist 

800nm 

J ( 400nm, 

800nm) 

= ∫ j( 

λ ) dλ 

= 491'100W 

/ m 

400nm 

2900 K 

Die in diesem Wellenlängenbereich abgestrahlte Leistung beträgt P = J ⋅ A 

2 

−5 

2 

= 491'100W 

/ m 

der Lampe: 

⋅1. 

247 ⋅10 

m = 6. 

124W 

. Daraus folgt für den Wirkungsgrad 

2 

S


Lösung 3.4 

6. 

124W 

η = = 12. 

3% 

50W 

Die Wellenlänge maximaler Intensität befindet sich bei λ = 1. 

07mm 

. Nach dem 

Verschiebungsgesetz von Wien folgt daraus T = b / λ max = 2. 

7K 

Lösung 3.7 - Photoeffekt Auswertung 

Wir erhalten für die Messung in Experiment 3.6. etwa die folgenden Daten: 

λ [nm] f [Hz] U [V] Ekin [J] 

405 7.40247E+14 1.07 1.71414E-19 

436 6.87615E+14 0.9 1.4418E-19 

546 5.49084E+14 0.51 8.1702E-20 

578 5.18685E+14 0.44 7.0488E-20 

a) Daraus ergibt sich das Diagramm 

E [J] 

2.5E-19 

1.5E-19 

5E-20 

-1.5E-19 

-2.5E-19 

- 57 - 

Photoeffekt 

-2E+14 

-5E-20 

0 2E+14 4E+14 6E+14 8E+14 1E+15 

f [Hz] 

b) Die Steigung ergibt den Wert h = 4.55⋅10 -34 Js. Dies ist recht nahe am 

Literaturwert für die Planck’sche Konstante und bestätigt also die von Einstein 

gemachten Annahmen. 

c) Die Austrittsarbeit beträgt etwa WA = 1.67⋅10 -19 J = 1.04 eV. 

Lösung 3.8 

Wählen wir eine Zeit von t = 1s, wird vom Laserpointer die Energie 

E = P ⋅ t = 0. 

001J 

abgegeben. Ein Photon hat die Energie E Photon = h ⋅ f = hc / λ . 

Bezeichnet nLaser die Anzahl pro Sekunde aus dem Laser tretenden Photonen, gilt


E = n ⋅ . Daraus kann nLaser berechnet werden: 

Laser EPhoton 

n Laser 

E ⋅ λ 

= = 2. 678 ⋅10 

hc 

Andererseits kann die Anzahl für das Experiment pro Sekunde zulässiger Photonen 

nExperiment aus der Strecke berechnet werden, die die Photonen im Experiment 

zurücklegen: 

8 

s 

1 c 3⋅10 

m / s 9 

t = ⇒ nExperiment 

= = = = 10 

c 

t s 0. 

3m 

Der Faktor, um den die Photonenzahl daher reduziert werden muss, beträgt: 

n 

r = 

n 

Experiment 

Laser 

- 58 - 

= 

3. 

734 ⋅10 

Durch einen Filter gehen 5% der einfallenden Photonen. Die Anzahl benötigter Filter 

wird somit durch die Gleichung 

N 

r = 0. 

05 beschrieben, deren Lösung 

−7 

N = log ( 3. 

734 ⋅10 

) = 4. 

94 ergibt. Man benötigt also 5 Filter! 

0 . 05 

Lösung 3.9 

−19 

−19 

Die Austrittsarbeit beträgt = 4. 

34 ⋅1. 

602 ⋅10 

J = 6. 

95 ⋅10 

J . Für die kritische 

W A 

Frequenz gilt Ekin 15 

= h ⋅ f − WA 

= 0 ⇒ f = WA 

/ h = 1. 

049 ⋅10 

Hz . Daraus folgt mit 

der Lichtgeschwindigkeit die kritische Wellenlänge λ = c / f 

im UV-Bereich des Spektrums (siehe Abschnitt 2.9.). 

= 285. 

7nm 

. Dies ist 

Lösung 3.10 

15 

a) Die kritische Frequenz beträgt f = c / λ = 1. 

071⋅10 

Hz . Damit ist 

Ekin −19 

= h ⋅ f − WA 

= 0 ⇒ WA 

= h ⋅ f = 7. 

094 ⋅10 

J = 4. 

43eV 

. 

b) Die Gesamtenergie des in der Zeit t einstrahlenden Lichts beträgt E = P ⋅ t , 

diejenige eines Photons ist EPhoton = h ⋅ f = hc / λ . Damit strömen 

n = E / E Photonen ein. Wenn jedes Photon eine Elektronenladung e 

Photon 

n ⋅ e P ⋅ λ ⋅ e 

freisetzt, ergibt dies einen Strom I = = = 1. 

61mA 

. 

t h ⋅ c 

c) Die Gegenspannung muss der Bedingung e ⋅ U = Ekin 

genügen, wobei 

Ekin = hf − WA 

die kinetische Energie der heraus gelösten Elektronen ist. Dies 

hf − WA 

hc WA 

ergibt U = = − = 1. 

77V 

. Dabei muss der Minuspol an der 

e eλ 

e 

Ringanode und der Pluspol an der Photokathode sein. 

Lösung 3.11 

Die Energie eines Photons ist gleich der kinetischen Energie eines durch die Spannung 

U beschleunigten Elektrons: = h ⋅ f = hc / λ und = e ⋅U 

ergibt 

E Photon 

15 

−7 

E kin


λ = 

h ⋅ c 

= 0. 

0248nm 

U ⋅ e 

Lösung 3.17 

a) Filter 3 ist parallel zur Polarisationsrichtung von Weg A ausgerichtet. Die 

Polarisationsrichtung von Weg B ist dazu um einen Winkel β verdreht. Die 

Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon, welches Weg B folgt den Filter passiert 

ist demzufolge cos ( ) 

2 P B = β . Ein Photon, dass dem Weg A folgt tritt mit 

Sicherheit durch den Filter PA = 1. 

b) Die Vorhersagbarkeit beträgt in diesem Fall P P − P 

2 

= 1 − cos ( β ) 

Lösung 3.18 

E 

- 59 - 

= A B 

sin ( ) 

2 = β . Für β = 90° 

(rechwinklige Filterstellung) wird P = 1 , für β = 0° 

erhalten wir P = 0 . Das bedeutet folgendes: Gelangt ein Photon auf dem Weg 

A oder auf dem Weg B durch den Analysator zum Detektor, kann ein 

Beobachter für P = 1 auch in Unkenntnis dieses Weges mit Sicherheit darauf 

schliessen. Ist P = 0 , kann der Beobachter den Weg nur in zufällig in der 

Hälfte aller richtig erraten. 

∞ ∞ 

= ∫ p( 

E) 

⋅ E ⋅ dE = 1 ⇒ ∫ β ⋅ e 

Lösung 3.19 

0 0 

Die Rechnung lautet: 

E 

= −( 

1 − e 

−hf 

⋅β 

Einsetzten ergibt 

d ⎛ 1 

) ⋅ ⎜ 

dβ 

⎝1 

− e 

j( 

λ) 

T 

−hf 

⋅β 

2 

−β 

⋅E 

⎞ hf 

⎟ = 

⎠ 1 − e 

2hc 

π 1 

= ⋅ 

5 

λ 

1 − e 

1 

⋅ E ⋅dE 

= = kT 

β 

hc 

kTλ 

hf ⋅β 

hc 1 

= ⋅ 

λ 

1 − e 

hf 

kTλ


3.9 Lernkontrolle - Kapitel 3 

Löse nun die folgenden Aufgaben. Sie geben dir einen Anhaltspunkt, ob du den Stoff verstanden hast. 

Falls Du sie nicht lösen kannst, schau nochmals an den entsprechenden Stellen in Skript nach. 

Aufgabe 1: Wärmehaushalt der Erde. Die mittlere Temperatur der Erde ist ungefähr stabil. Daher gibt 

es – wenn man interne Wärmequellen vernachlässigt – ein Gleichgewicht zwischen der von der Sonne 

empfangenen und der durch die Erdoberfläche abgegebenen Wärmestrahlung. Berechne die 

2 

Temperatur der Erde aufgrund der Solarkonstanten J S = 1400W / m . Beachte dabei, dass die Erde 

Wärmestrahlung nur mit ihrem Querschnitt 

A 4πR 2 

= emittiert (weshalb?) 

A = πR 

2 

⊥ absorbiert, aber mit ihrer ganzen Oberfläche 

Aufgabe 2: Bikini. Judith begibt sich, nachdem sie lange am Stand gelegen hat, in die schattige 

Strandbar. Wie hoch muss die Umgebungstemperatur am Schatten mindestens sein, damit Judith nicht 

friert (das heisst, damit ihre Hauttemperatur nicht absinkt)? Wir nehmen an, ihre Hauttemperatur 

betrage 34°C, ihre Körperoberfläche sei 1.8m 2 und die Heizleistung des Körpers betrage 100W. 

Aufgabe 3: Photozelle. Die Abbildung zeigt eine Photozelle, die zur Lichtmessung dient 

(Belichtungsmesser). Licht fällt auf eine Photokatode und löst Elektronen aus. Die am Pluspol der 

Batterie liegende Anode sammelt diese Elektronen. 

a) Die Photokatode besteht aus CS3Sb. Sie spricht auf Licht mit λ < 

670 nm an. Wie groß ist die Austrittsarbeit WA der Elektronen bei 

diesem Katodenmaterial? 

b) Gelbes Licht (λ = 500 nm) fällt auf die Photokatode. Wie groß ist 

der Anodenstrom, wenn gelbes Licht mit 1 Watt Leistung auf die 

Katode fällt und jedes Photon ein Elektron auslöst? 

Aufgabe 4: Zahnärztin. Eine Zahnärztin macht ein Röntgenbild eines Gebisses. Der verwendete 

handelsübliche Apparat hat eine Beschleunigungsspannung von 65kV. Welche Wellenlänge hat die 

dadurch erzeugte Röntgenstrahlung? 

Aufgabe 5: Leuchtdiode: Eine rote Leuchtdiode hat eine Wellenlänge von 630nm. Bei welcher 

Durchlassspannung beginnt die Diode zu Leuchten? 

Aufgabe 6: Backofen: Ein Backofen hat die Innenmasse 0.3m × 0.4m × 0.4m und wird auf eine 

Temperatur von 250°C aufgeheizt. 

a) Welche Strahlungsleistung emittieren die Wände des Ofens, wenn der Innenraum als 

Schwarzer Körper angesehen wird? Entspricht sie etwa der elektrischen Leistungsaufnahme 

eines Haushaltbackofens von rund 3000W? 

b) Röntgenstrahlung im Backofen? Schwarzkörperstrahlung ist kontinuierlich, das heisst sie 

enthält alle Wellenlängen, insbesondere gefährliche UV-, Röntgen- sowie die noch 

energiereichere γ-Strahlung mit Wellenlängen λ < 300nm. Berechne die von den Wänden 

abgegebene Strahlungsintensität in diesem Wellenlängenbereich und beurteile, ob davon eine 

Gefahr ausgeht. 

- 60 -


Aufgabe 7: Abschwächung von Laserlicht. Die Intensität eines Lichtstrahls nimmt beim Durchgang 

durch einen Filter mit zunehmender Filterdicke d exponentiell ab. Es gilt also J ( d) 

J 

−k 

⋅d 

⋅e 

. Dabei 

= 0 

ist J0 die Anfangsintensität und k eine materialabhängige Konstante. Ein Laser hat eine Leistung von 

50mW bei einer Wellenlänge von 530nm. Hinter einem 5cm dicken Filter registriert man noch 2·10 7 

Photonen pro Sekunde. 

a) Berechen k für das bei diesem Filter verwendete Material. 

b) Wie dick muss der Filter gewählt werden, damit pro Millisekunde im Durchschnitt nur 1 

Photon registriert wird? 

Aufgabe 8 – (ZA): Astrophysik. Auf einer Astronomiehomepage wird über die folgende Entdeckung 

berichtet: 

17. Dezember 2004. Der Coronagraphic Imager with 

Adaptive Optics (CIAO) am Subaru Teleskop hat 

dieses Bild eines Sterns am Ende seines Lebens 

aufgenommen. BD +303639 ist ein planetarischer 

Nebel, ähnlich dem Ringnebel in der Konstellation 

Leier. Er befindet sich etwa 5000 Lichtjahre entfernt, 

in Richtung der Konstellation Schwan. 

Die Oberfläche des Sterns, der sich im Zentrum des 

Nebels befindet, hat eine Temperatur von 42.000 

Grad Kelvin und strahlt 50.000 Mal heller als unsere 

Sonne. 

Am Ende ihres Lebens stoßen relativ leichte Sterne, 

wie etwa unsere Sonne, Staub und Gas aus, dass sich 

um den Stern herum ansammelt. BD +303639 hat 

seine äußeren Schichten vor etwa 900 Jahren schnell 

abgestoßen. Dieses Material, dass etwa so viel wiegt wie ein Viertel der Sonne, hat sich nun zu einer Hülle 

ausgedehnt, die 100 Mal größer ist als unser Sonnensystem. Der zentrale Stern erleuchtet das Material, dass aus 

unserer Sicht aussieht wie ein Bewacher. 

Im sichtbaren Bereich sehen wir nur das Licht des zentralen Sterns, dass vom Staub gestreut wird. Im infraroten 

Bereich sehen wir zusätzlich Licht, dass vom Staub selber emittiert wird. 

a) Der den Stern umgebende Ringnebel strahlt bei einer Wellenlänge maximaler Intensität von 

ca. 2μm. Berechne die Temperatur des Nebels. 

b) Berechne die Wellenlänge maximaler Intensität, die einer Oberflächentemperatur des Sterns 

von 42'000K entspricht. In welchem Spektralbereich liegt sie? 

c) Berechne den Radius des photographierten Sterns im Verhältnis zum Radius unserer Sonne 

sowie absolut in m. Verwende dabei, dass die Strahlungsleistung des Sterns 50'000 man höher 

ist als diejenige unserer Sonne. Die Oberflächentemperatur unserer Sonne beträgt 5800K und 

ihr Radius ist 6.96⋅10 8 m. 

d) Berechne die im sichtbaren Spektralbereich zwischen 400nm und 800nm abgegebene Leistung 

mit dem Planck’schen Strahlungsgesetz. 

e) Welche Leistung fällt von diesem Stern im Abstand 5000 Lichtjahre auf den Spiegel des 

Weltraumteleskops Hubble (Spiegelfläche 4.5m 2 )? 

Aufgabe 9 - (ZA): Spektrale Photonendichte: Leite aus der Planck’schen spektralen 

Strahlungsintensität j (λ ) T die spektrale Photonendichte n (λ ) T eines Schwarzen Körper her. Diese 

gibt die Anzahl pro Flächeneinheit vom Schwarzen Körper abgegebener Photonen der Wellenlänge λ 

an. Da die Energie eines solchen Photons durch h ⋅ f gegeben ist, gilt 

h ⋅ 

c 

⋅ n( 

λ) 

T = j( 

λ) 

λ 

- 61 - 

T


a) Leite aus der oberen Gleichung n (λ ) T her. 

b) Berechne die Anzahl Photonen im UV-Bereich zwischen 400nm und 100nm, die von einer 

Halogenlampe der Temperatur 3000K bei 25W Leistung ausgehen. 

c) Berechne im Bezug auf Aufgabe 9 d) und e), wie viele Photonen des sichtbaren 

Spektralbereichs vom Stern in der Mitte des Nebels BD +303639 pro Sekunde auf den Spiegel 

des Weltraumteleskops Hubble treffen. 

Aufgabe 10: Die folgende Anordnung lässt sich leicht selber herstellen (Maturitätsarbeit): Bei einem 

Doppelspalt wird vor jedem Spalt eine drehbare Polarisationsfolie angebracht. Je nach Wahl kann 

ausserdem eine weitere Polarisationsfolie zwischen Doppelspalt und Schirm angebracht werden. 

Beschreibe in einigen Sätzen wie mit dieser Anordnung ein Quantenradier-Experiment durchgeführt 

werden kann und wie dieses Phänomen mit Hilfe der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik 

zu verstehen ist. 

Lösungen: 

* * * 

Lösung Aufgabe 1: Die von der Querschnittsfläche (die Sonne strahlt nur von einer Seite ein!) 

absorbierte Leistung beträgt = J ⋅ A⊥ 

= J 

2 

⋅πR 

. Die emittierte Leistung beträgt 

P e 

Pa S 

S 

4 2 4 

J S 

= Aσ 

⋅T 

= 4πR ⋅σ 

⋅T 

. Daraus folgt der recht realistische Wert T = 4 = 280. 

3K 

= 7. 

3° 

C 

4σ 

Lösung Aufgabe 2: Für die netto abgestrahlte Leistung des Körpers gilt ( 

) T T A P − 

= Δ σ . 

- 62 - 

4 

Körper 

ΔP 

Diese darf nicht mehr als 100W betragen. Daraus folgt TUmg = 4 

4 

TKörper 

− = 298. 

16K 

= 25. 

16° 

C . 

Aσ 

Lösung Aufgabe 3: 

14 

a) Die kritische Frequenz beträgt f = c / λ = 4. 

475 ⋅10 

Hz . Damit ist die Austrittsarbeit 

−19 

gegeben durch = 0 ⇒ W = h ⋅ f = 2. 

965 ⋅10 

J = 1. 

85eV 

. 

Ekin A 

P ⋅ λ ⋅ e 

b) Wie in Aufgabe 3.10. hergeleitet wurde, gilt für den Strom I = = 403mA 

. 

h ⋅ c 

Lösung Aufgabe 4: Die Energie eines Photons ist gleich der kinetischen Energie eines durch die 

Spannung U beschleunigten Elektrons: = h ⋅ f = hc / λ und = e ⋅U 

ergibt die Wellenlänge 

h ⋅ c 

λ = = 0. 

019nm 

. 

U ⋅ e 

E Photon 

Lösung Aufgabe 5: Für die Spannung, die die LED zum leuchten bringt gilt 

E = h ⋅ f , E = e ⋅U 

⇒ 

h ⋅ f 

U = 

e 

h ⋅ c 

= = 1. 

97V 

e ⋅ λ 

E kin 

4 

Umg



a) Die Fläche der Wände beträgt A = 0.8m 2 . Die emittierte Strahlungsleistung ist durch das 

4 

Stefan-Boltzmann-Gesetz gegeben P = J ⋅ A = A ⋅σ 

⋅T 

= 3393. 

9W 

. 

b) Die im besagten Wellenlängenbereich emittierte Strahlungsintensität beträgt 

3nm 

−22 

J ( 0, 

3nm) 

= ∫ j( 

λ ) 523 K dλ 

= 3. 

006 ⋅10 

W / m 

0 

Die an UV-, Röntgen- und γ-Strahlung abgegeben Leistung P=J·A=2.40·10 -22 W/m 2 ist 

praktisch Null. Dies zeigt insbesondere der Verglich mit der Energie E=6.62·10 -19 J eines 

einzelnen Photons der Wellenlänge 300nm. Von einem Backofen geht also keine gefährliche 

Strahlung aus. 


a) Von jedem Photon wird die gleiche Energie transportiert. Nimmt die Lichtintensität mit der 

Filterdichte exponentiell ab, gilt dies auch für die Anzahl durch den Filter gelassenerPhotonen. 

Zuerst muss deshalb die Anzahl der pro Sekunde vom Laser ausgesandter Photonen berechnet 

werden. Dazu berechen wir die Energie eines Photons und dividieren die Leistung des Lasers 

durch die Photonenenergie: 

hc 

−19 

P 

17 

EPhoton 

= = 3. 748 ⋅10 

J ⇒ n = = 1. 

334 ⋅10 

λ 

E 

Durch den Filter wird die Anzahl Photonen auf n'= 2 ⋅10 

werden: 

reduziert. Daraus kann k berechnet 

n' −k⋅d 

= e 

n 

⇒ 

1 

−1 

k = − ⋅ ln( n' 

/ n) 

= 4. 

5242cm 

d 

17 

3 

b) Umstellen der Gleichung und einsetzen von n = 1. 334 ⋅10 

und n'= 10 ergibt 

1 

d = − ⋅ ln( n' 

/ n) 

= 7. 

189cm 

k 


a) Die Wellenlänge maximaler Intensität befindet sich bei λ = 2μm 

. Nach dem 

- 63 - 

Photon 

Verschiebungsgesetz von Wien folgt daraus T = b / λ max = 1450K 

. 

b) Aus dem Verschiebungsgesetz von Wien folgt λ max = b / T = 69. 

0nm 

, eine Wellenlänge im 

UV-Bereich. 

c) Bezeichnet r den Radius und T die Temperatur des Sterns sowie rS den Radius und TS die 

2 4 

2 4 

Temperatur der Sonne, lässt sich aus der Gleichung 4π ⋅ r σ ⋅T 

= 50'000 

⋅ 4π 

⋅ rS 

σ ⋅T 

S der 

4 

TS 

9 

Radius des Sterns r = rS 

⋅ 50'000 ⋅ = 4. 

264 ⋅ rS 

= 2. 

968 ⋅10 

m berechnen. 

4 

T 

d) Die im sichtbaren Bereich abgegebene Strahlungsintensität ist 

800nm 

J ( 400nm, 

800nm) 

= ∫ j( 

λ ) dλ 

= 4'808'597. 

4W 

/ m 

400nm 

42000 K 

Die in diesem Wellenlängenbereich abgestrahlte Leistung beträgt P = J ⋅ A 

2 

= 4'808'597. 4W 

/ m ⋅ 4π 

⋅ ( 2. 

968 ⋅10 

m) 

= 5. 

323 ⋅10 

W . 

9 

2 

26 

7 

2 

2


e) Kugelfläche mit 5000 Lichtjahren Radius: 

und Strahlungsleistung P ergibt die Intensität nahe der Erde 

Die Fläche des Teleskopspiegels beträgt 

−14 

Leistung ist damit P' 

= J ⋅ A' 

= 8. 

518 ⋅10 

W . 


a) Aus der Planck’schen Formel folgt direkt 

- 64 - 

A = π 

⋅ 

15 2 2 

40 2 

4 ⋅ ( 5000 ⋅ 9. 

461⋅10 

) m = 2. 

812 10 m 

2 

−14 

J = P / A = 1. 

893 ⋅10 

W / m . 

A '= 4. 

5m 

und die auf das Teleskop einstrahlende 

n ( λ) 

T 

2cπ 

= ⋅ 

4 

λ 

e 

b) Zunächst muss die Fläche der Glühwendel aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz berechnet 

4 

−6 

2 

werden: P = A ⋅σ 

⋅T 

⇒ A = 5. 443 ⋅10 

m . Die im UV-Bereich pro Sekunde abgegebene 

Anzahl Photonen ist: 

n = A ⋅ 

400nm 

∫ 

100nm 

3000K 

dλ 

−6 

2 

1 

hc 

kTλ 

22 

−1 

n( 

λ ) = 5. 

443 ⋅10 

m ⋅1. 

799 ⋅10 

m = 9. 

794 ⋅10 

c) Die Fläche A des Sterns wurde in Aufgabe 9 berechnet. Die Anzahl im sichtbaren 

Wellenlängenbereich emittierter Photonen ist demnach 

n = A ⋅ 

800nm 

∫ 

400nm 

42000K 

9 

n( 

λ ) dλ 

= 4π 

⋅ ( 2. 

968 ⋅10 

m) 

⋅ 9. 

084 ⋅10 

m = 1. 

006 ⋅10 

Auf die Spiegelfläche des Hubble-Teleskops fallen davon (siehe Aufgabe 9): 

2 

2 

−2 

27 

−2 

A' 

4. 

5m 

48 

n 

'= ⋅ n = 

⋅1. 

006 ⋅10 

= 1. 

609 ⋅10 

40 2 

A 2. 

812 ⋅10 

m 

8 

16 

48 

2


3.10 Versuchsanleitungen 

Experiment 3.2: Spektrum eines Schwarzen Körpers 

1. Zielsetzung und Versuchsaufbau des Experiments 

• Das Ziel des Experiments ist die Aufnahme des Spektrums eines Schwarzen Körpers bei 

verschiedenen Temperaturen. Da das Spektrum einer Glühlampe demjenigen eines Schwarzen 

Körpers recht nahe kommt, verwenden wir für unser Experiment als Strahlungsquelle eine 

10V-Glühlampe. 

• Das Licht der Lampe wird wie in den untenstehenden Graphiken angedeutet in einem 

Spektrometer aufgefächert und das Spektrum mit Hilfe eines Lichtsensors aufgenommen. Im 

Spektrometer wird das Licht durch eine Linse zunächst gebündelt und dann in einem Prisma 

in Abhängigkeit der Wellenlänge zerlegt. Der genaue Zusammenhang zwischen 

Ablenkungswinkel und Wellenlänge ist relativ kompliziert, die entsprechende Funktion wurde 

aber im Data Studio File „Spektrum“ bereits programmiert. 

Das Spektrum kann nun hinter dem Prisma mit einem drehbaren Arm abgefahren werden, 

wobei zwischen Prisma und Lichtsensor nochmals eine Linse und eine Blende in den 

Strahlengang eingefügt werden muss. Der Winkel des Spektrometerarms – und damit über die 

entsprechende Funktion die Wellenlänge der Strahlung – wird mit Hilfe eines Drehsensors 

ebenfalls erfasst. 

• Die Glühwendel einer Halogenleuchte besteht aus einem zur Spirale aufgewickelten 

Wolframdraht. Für die abgegebene elektromagnetische Strahlung ist vor allem die 

Temperatur und die Oberfläche der Glühwendel wesentlich. Die Temperatur kann indirekt aus 

dem elektrischen Widerstand der Glühwendel geschlossen werden. Dabei gilt, dass der 

elektrische Widerstand bei Wolfram ziemlich genau linear mit der Temperatur T ansteigt. 

Beträgt bei Temperatur T0 der Widerstand eines Drahtes R0, dann ist der Widerstand R(T) für 

eine beliebige Temperatur gegeben durch: 

R( T ) = R0 

⋅[ 

1 + α ⋅ ( T − T0 

)] 

−3 

−1 

Der Temperaturkoeffizient von Wolfram beträgt α = 4. 

5 ⋅10 

K , der Kaltwiderstand der 

Lampe ist = 0. 

84Ω 

T wird die Zimmertemperatur verwendet. 

R 0 und für 0 

• Die Lampe wird wie skizziert ans Netzgerät angeschlossen. Strom- und Spannungswerte 

können an den zwei Universalmessgeräten abgelesen werden. Für unterschiedliche 

Spannungswerte an der Lampe hat man unterschiedliche Temperaturwerte der Glühwendel. 

- 65 -


2. Versuchsdurchführung 

• Starte das Data Studio File „Spektrum“ am PC. Schliesse den Rotations- und den Lichtsensor 

am vorgesehenen Ort des PASCO-Interfaces an. 

• Drehe den Spektrometerarm mit dem Lichtsensor im Gegenuhrzeigersinn bis zum Anschlag 

(der Drehwinkel am Anschlag beträgt …°). 

• Schalte die Lampe ein und regle die Spannung auf 6V ein. Notiere die Stromstärke. Beginne 

die Messung durch drücken des Startknopfs in Data Studio. Fahre das Spektrum nun langsam 

durch drehen des Spektrometerarms im Uhrzeigersinn ab. Auf dem Bildschirm (Graph 2 in 

Data Studio) erscheint das Spektrum der Lampe. 

• Wiederhole den Versuch mit den Spannungen 7V, 8V und 9V. 

• Berechne für jede Spannung an der Lampe den elektrischen Widerstand nach dem Ohmschen 

Gesetz. Aus dem Widerstand kannst du nun mit der oben angegebenen Formel die 

Glühtemperaturen berechnen. 

3. Diskussion der Ergebnisse 

Netzgerät 

0...12V = 

Die vier Kurven im Graph 2 stellen das Spektrum einer Glühlampe bei unterschiedlichen 

Temperaturen dar. Auf der waagrechten Achse ist die Wellenlänge in nm aufgetragen, auf der 

senkrechten Achse die (relative) Strahlungsintensität. Diese wird in % der maximalen Lichtintensität, 

die am Sensor registriert werden kann angegeben. 

Der Vergleich der vier Kurven zeigt, dass die gemessene spektrale Lichtintensität mit höherer 

Temperatur zunimmt: Die zu einer höheren Temperatur gehörende Kurve verläuft oberhalb derjenigen 

zu einer tieferen Temperatur. 

Zudem lässt die Messung vermuten, dass sich das Maximum der Kurven mit zunehmender Temperatur 

gegen links verschiebt. Tatsächlich wird dies durch das Wiensche Verschiebungsgesetz bestätigt, das 

du in Kürze kennen lernen wirst. 

Ein Vergleich der Spektren der Lampe mit den theoretisch berechneten Spektren eines Schwarzen 

Körpers (Graphik auf Seite 26 im Skript) legt nahe, dass beide zumindest qualitativ übereinstimmen. 

- 66 - 

V 

A


Experiment 3.6: Der Photoeffekt 

Theorie: 

Ziel des Versuches ist die Bestimmung der kinetischen Energie von durch Licht mit unterschiedlicher 

Wellenlänge aus einem Metall herausgeschlagenen Elektronen. Dazu verwenden wir eine 

Quecksilberdampflampe. Im Unterschied zu Temperaturstrahlern, etwa einer Glühbirne, erzeugen 

Gasentladungslampen wie die Quecksilberdampflampe kein kontinuierliches Spektrum, sondern eine 

Reihe von genau definierten monochromatischen Spektrallinien (mehr darüber in Kapitel 4). Genauer 

enthält das Spektrum der Hg-Dampflampe Licht mit den folgenden Wellenlängen: 

λ[nm] 405 436 546 578 

Durch Verwendung entsprechender Filter kann monochromatisches Licht mit nur einer dieser 

Wellenlängen erzeugt werden. 

Die Elektronen werden durch das Licht in einer Photozelle erzeugt. Eine 

Photozelle ist eine evakuierte Glasröhre auf deren hinteren Innenseite eine 

Metallelektrode, zum Beispiel aus Silber, aufgedampft ist (Photokathode). 

Als Gegenelektrode dient eine ringförmige Anode. Fällt Licht auf die 

Photokathode, kann dies Elektronen herauslösen, die zur Ringanode 

gelangen. Dadurch lädt sich die Anode negativ auf, während die 

Photokatode aufgrund des entstehenden Defizits an Elektronen positiv 

geladen wird. Verbindet man Kathode und Anode fliesst ein Photostrom, 

der mit einem empfindlichen Ampèremeter nachgewiesen werden kann. 

Wir verwenden für unser Experiment die Gegenfeldmethode: Dazu wird anstatt eines Ampèremeter 

zwischen den Elektroden ein Kondensator eingebaut. Infolge der herausgeschlagenen Elektronen, lädt 

such nun die an der Ringanode liegende Platte des Kondensators negativ, die an der Kathode liegende 

positiv. Durch die fortlaufende Ladungstrennung entsteht eine wachsende Spannungsdifferenz am 

Kondensator. Allerdings bildet sich durch die zunehmend negative Aufladung der Anode und die 

positive Aufladung der Kathode ein elektrisches Feld, dass der Flugrichtung der Elektronen 

entgegengerichtet ist (Gegenfeld). Dies hemmt die Bewegung der Elektronen zu Anode und bringt sie 

schliesslich ganz zum erliegen, sobald ihre kinetische Energie keiner ist, als die zur Überwindung des 

Gegenfeldes nötige Arbeit W = e ⋅U 

, wobei U die am Kondensator liegende Spannung und e die 

Elektronenladung bezeichnet. Der Kondensator kann sich also nur bis zu einer Spannung U laden, die 

der kinetischen Energie der Elektronen Ekin entspricht. 

Durch die Messung der Spannung am Kondensator wenn dieser durch den Strom der 

herausgeschlagenen Elektronen aufgeladen worden ist, kann umgekehrt die kinetische Energie der 

Elektronen durch Ekin = e ⋅U 

berechnet werden. Dies soll im folgenden für die vier verschiedenen 

Wellenlängen der Hg-Dampflampe geschehen. 

Versuchsaufbau: 

Das Experiment besteht aus einer auf einer optischen Schiene aufmontierten Hg-Dampflampe. Das 

Licht wird über eine Linse gebündelt und durch einen Filter mit Blende geschickt, der jeweils eine 

Spektrallinie hindurch lässt. Dann fällt das nun monochromatische Licht auf die Photozelle. An diese 

ist der Kondensator angeschlossen. Aufgrund des sehr geringen Photostroms kann die Spannung nicht 

direkt am Kondensator gemessen werden, sondern es muss ein Messverstärker dazwischen geschaltet 

werden. Besonders zu erwähnen ist die Potentialabgleichung des Messverstärkers mit dem Gehäuse 

der Photozelle (gelb-grünes Kabel), die eine korrekte Spannungsmessung ermöglicht. 

- 67 - 

I


Hg-Lampe Linse Filter Photozelle 

Versuchsdurchführung: 

1) Mache dir das Funktionsprinzip des Experiments nochmals am realen Experimentaufbau klar. 

Erkennst du die Bauelemente? Bemerkung: Die Photozelle steckt in dem schwarzen Zylinder. 

Er sollte nicht geöffnet werden, da das Experiment nachher neu justiert werden müsste. Du 

findest eine vergleichbare Photozelle als Ansichtsexemplar beim Experiment. 

2) Führe das Experiment wie folgt durch: Schalte die Lampe ein und wähle einen Filter, 

respektive eine Wellenlänge aus. Entlade den Kondensator durch Drücken auf den Taster. 

Danach steigt die Spannung wieder an. Notiere sie sobald sie ungefähr stabil ist in die Tabelle. 

Wähle einen anderen Filter und verfahre genau gleich, bis du für jede Wellenlänge einen 

Spannungswert hast. 

3) Berechne die zu den Wellenlängen gehörenden Frequenzen und die zu den Spannungen 

gehörenden kinetischen Energien. 

4) Zeichen die 4 Messpunkte in ein E-f-Diagramm auf Millimeterpapier. Wähle dabei folgende 

14 

14 

Einheiten: Waagrecht für die Frequenz 0 bis 8 ⋅ 10 Hz mit Schritten von 0. 5 ⋅ 10 Hz pro cm. 

−20 

−20 

−20 

und senkrecht − 20 ⋅10 

J bis 20 ⋅10 J mit Schritten von 2 ⋅10 J pro cm. Beschrifte die 

Achsen! 

5) Das Experiment wird später noch weiter ausgewertet. 

λ[nm] f [Hz] U [V] Ekin [J] 

405 

436 

546 

578 

Voltmeter 

Messverstärker 

- 68 - 

Kondensator


Experiment 3.12: Bestimmung der Planckschen Konstante mit LED 

Material 

• 3 Leuchtdioden: rot, blau, grün, 1 Netzgerät, 2 Multimeter, Krokoklemmen 

• 1 Widerstand 500kΩ, 1 Potentiometer 0...500kΩ 

• 1 Optische Schiene mit Schirm, Linse 100mm, Diahalter 

• 1 Gitterdia d = 1μm 

• 1 Masstab 

Ziel und Theorie 

• Das Ziel des Experiments ist die Bestimmung der Planckschen Konstante mit Hilfe von 

Leuchtdioden. 

• Leuchtdioden sind Halbleiterelemente, die den Strom in einer Richtung mit sehr geringem 

Widerstand fliessen lassen. Ändert man die Stromrichtung, sperrt die Diode, das heisst sie 

weist einen sehr hohen Widerstand auf. 

• Allerdings fliesst der Strom auch in Durchlassrichtung erst ab einer bestimmten 

Durchbruchspannung UB, denn auch hier müssen die Elektronen eine Sperrschicht 

durchqueren, die als Potentialbarriere dient. Hinter der Sperrschicht gibt ein Elektron seine 

Energie E = e⋅UB in Form eines Lichtquants mit der Energie E = h⋅f wieder ab. 

Aufgabe 1: 

Kennlinie einer Leuchtdiode: Die 

Kennlinie einer Diode ist ein Strom- 

Spannungsdiagramm, das heisst sie 

gibt an, bei welcher Spannung U 

welche Stromstärke I fliesst. Um die 

Kennlinie aufzunehmen soll die 

nachfolgende Schaltung verwendet 

werden. Die Widerstandsschaltung 

aus R1 und R2 bildet einen 

sogenannten Spannungsteiler und 

dient nur zur besseren 

Netzgerät 

ca. 5V = 

Feinregulierung der Spannung. Am Volt-, respektive Amperemeter können die an der LED 

vorliegenden Spannungs- und Stromwerte abgelesen werden. Achtung: Es dürfen nur Ströme bis 

30mA auf die LED gegeben werden, sonst brennt sie durch. 

Baue die skizzierte Schaltung mit der roten LED auf. Achte auf die Polung. 

Stelle das Potentiometer so ein, dass eine Spannung von ca. 0.1V an der LED anliegt. Lies den 

genauen Strom- und Spannungswert ab und notiere sie. Erhöhe die Spannung in Schritten von ca 0.1V 

bis ca. 3V anliegt. 

Pole dann die LED um und führe den Versuch erneut durch. Notiere ebenfalls, bei welcher Spannung 

die LED zu leuchten beginnt. 

- 69 - 

+ 

- 

R2 = 500kΩ 

R1 = 0... 470kΩ 

mV 

LED 

mA


Aufgabe 2: 

Bestimme die Wellenlängen des Lichts dreier farbiger Leuchtdioden mit dem folgenden Experiment. 

Verwende zudem die gleiche elektrische Schaltung wie oben. Achtung: es dürfen nur Ströme bis 

30mA auf die LED gegeben werden, sonst brennt sie durch. 

a) Baue das Experiment auf und bringe die LED zum Leuchten. Gitter, Linse und Schirm sollen 

so aufgebaut werden, dass auf dem Schirm 3 mehr oder weniger scharfe Leuchtpunkte 

(Beugungsmaxima) zu sehen sind. 

b) Bestimme mit Hilfe der Beugungsmaxima für jede der Leuchtdioden die Wellenlänge und 

Frequenz (mache eine Messprotokoll). Notiere ebenfalls für jede LED, bei welcher Spannung 

UB sie zu leuchten beginnt. 

Aufgabe 3: 

Schirm 

a) Stelle die Kennlinie der roten LED in einem Excel-Diagramm dar (Spannung U horizontal, 

Strom I vertikal). 

b) Berechne für jede der drei Farben die Energie eines Lichtquants aus der Spannung bei der die 

Diode zu leuchten beginnt. Erstelle mit den 3 Punkten in Excel ein Frequenz-Energie- 

Diagramm und Leite daraus die Plancksche Konstante ab. 

- 70 - 

Gitter 

Linse 

Plastilin mit 

LED 

zur Schaltung ...


Experiment 3.14: Polarisation von Photonen 

Material 

• 12V-Halogenleuchte 

• Optische Bank mit Blende und zwei Polarisationsfiltern 

• Lichtsensor von Pasco mit Interface 

1. Ziel und Theorie 

• Das Ziel des Experiments ist Bestimmung der Transmissionswahrscheinlichkeit von Photonen 

beim Durchgang durch einen Polarisationsfilter. 

• Wie vorher gezeigt wurde, ist die Transmissionswahrscheinlichkeit gegeben durch 

• 

I1 

2 

P( α ) trans = = cos ( α) 

(1) 

I 

Für die absorbierte Komponente gilt entsprechend 

0 

I 2 2 

Pabs ( α ) = = sin ( α) 

(2) 

I 

0 

Die Summe aus Transmissions- und die Absorptionswahrscheinlichkeit muss zusammen 1 

ergeben (d.h. 100%): 

Pabs + Ptrans = 1 

• Wendet man die so erhaltenen Formel auf den Fall an, wo die Polarisationsrichtung des 

Lichtes bereits parallel zur Filterrichtung ist, das heisst wenn α = 0° ist, findet keine 

Absorption statt und alle Photonen werden unverändert durchgelassen. Tatsächlich liefern die 

beiden Formeln Ptrans = 1 und Pabs = 0. Dies gilt allerdings nur für einen idealen Filter. Die in 

der Praxis verwendeten Filterfolien absorbieren immer einen Teil der Photonen, auch dann 

wenn die Filterrichtung parallel zur Polarisationsrichtung des Laserstrahls ist. Die 

Transmissionswahrscheinlichkeit für den Winkel α = 0 ist also


(vertikal) aus. Der 2. Polarisationsfilter soll ebenfalls auf 0° gestellt werden. Er dient als 

Analysator. Schalte die Lampe ein. 

b) Beginne die Messung durch anklicken des Startknopfes in Data Studio. Das Programm ist so 

eingerichtet, dass es im manuellen Modus läuft. Das heisst bei jedem weiteren Druck auf den 

Startknopf wird ein einzelner Datenwert für die Lichtinensität eingelesen. Danach erscheint 

ein Fenster, bei dem der aktuelle Winkel des Analysator-Filters eingegeben werden kann. 

Führe dies für dies einmal aus (die Eingabe des Winkels spielt hier noch keine Rolle, es kann 

z.B. 0° eingegeben werden). Nimm nun den Polarisationsfilter 2 (Analysator) heraus und 

klicke nun nochmals auf den Startknopf, um einen zweiten Datenwert einzulesen (als Winkel 

kann nochmals 0° eingegeben werden). 

c) Klicke die Tabelle 1 an. Es sollten zwei Datenwerte zu sehen sein, die die Lichtintensität mit 

und ohne Polarisationsfilter 2 darstellen. Das Verhältnis der beiden Zahlen ergibt P0, also die 

Transmissionswahrscheinlichkeit von parallel zur Filterrichtung polarisierten Photonen. 

Notiere diese. 

3. Messung der Transmissionswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit des Winkels 

Als nächstes soll die Transmissionswahrscheinlichkeit P( α) trans = P ⋅ cos ( α) 

in Abhängigkeit des 

Winkels α bestimmt werden. 

Aufgabe 2: 

Lichtsensor Polarisationsfilter 2 

a) Lösche die soeben aufgenommenen Daten, sie werden ich mehr benötigt. Klicke im Daten- 

Fenster das Taschenrechnersymbol zu Transmissionswahrscheinlichkeit an. Es dient zur 

2 

theoretischen Berechnung nach der Formel P( α) trans = P0 

⋅ cos ( α) 

. Den in der Formel 

auftretenden Wert P0 haben wir in Aufgabe 1 bestimmt und können ihn jetzt bei der variable 

P einsetzten. Das Programm berechnet dadurch für jeden Winkel der nachfolgenden Messung 

einen theoretischen Wert für die Transmissionswahrscheinlichkeit. Die theoretischen Werte 

werden im unteren Graphen dargestellt. 

b) Drehe den Polarisationsfilter 2 auf die 90°-Stellung und starte nun eine neue Messreihe. Lies 

schrittweise die Datenwerte für die Winkelstellung 90°, 85°, 80°,…10°, 5°, 0°, -5°, -10°, ...,- 

85°, -90° des Filters 2 ein. Die gemessen Datenwerte werden im oberen Graphen dargestellt. 

c) Vergleiche die beiden Graphen. Der obere mit gemessenen Daten sollt mit dem unteren 

theoretisch berechneten bis auf einen Skalierungsfaktor identisch sein. Bemerkung: Um 

einem Missverständnis vorzubeugen sei bemerkt, dass die gemessene Lichtintensität zwar 

auch in % angegeben wird, mit der Transmissionsintensität aber nicht identisch ist. Es handelt 

sich dabei um eine technische Angabe, die sich auf die maximale mit dem Sensor messbare 

Lichtintensität bezieht. 

- 72 - 

Polarisationsfilter 1 Halogen-Lampe 

mit Blende 

0 

2

Skript Teil 2 - Neue Kantonsschule Aarau

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