2.4 Doppler-Effekt a) Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft b ...
2.4 Doppler-Effekt a) Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft b ...
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<strong>2.4</strong>. DOPPLER-EFFEKT 59<br />
<strong>2.4</strong> <strong>Doppler</strong>-<strong>Effekt</strong><br />
a) <strong>Messung</strong> <strong>der</strong> <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong> <strong>in</strong> <strong>Luft</strong><br />
b) <strong>Doppler</strong>-<strong>Effekt</strong><br />
c) Echolot<br />
<strong>2.4</strong>.1 Versuchsziele<br />
α) Abstrahlcharakteristik des Sen<strong>der</strong>s (Schallumwandler)<br />
Hierbei handelt es sich um e<strong>in</strong>en Vorversuch, um e<strong>in</strong>en guten, langzeitstabilen Sen<strong>der</strong>betrieb<br />
zu garantieren.<br />
a) Bestimmung <strong>der</strong> <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong> <strong>in</strong> <strong>Luft</strong><br />
Mit e<strong>in</strong>em Oszilloskop wird die Phasenverschiebung bei Verän<strong>der</strong>ung des Abstandes zwischen<br />
Sen<strong>der</strong> und Empfänger sichtbar gemacht. Das Durchfahren von 100 Wellenlängen bei<br />
fester Sen<strong>der</strong>frequenz ermöglicht die Bestimmung <strong>der</strong> <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong> <strong>in</strong> <strong>Luft</strong>.<br />
b) Überprüfung des <strong>Doppler</strong>-<strong>Effekt</strong>es<br />
Das Frequenzspektrum e<strong>in</strong>er periodisch h<strong>in</strong>- und herfahrenden Schallquelle wird ausgemessen<br />
und mit <strong>der</strong> theoretischen Erwartung verglichen.<br />
c) Das Echolot-Pr<strong>in</strong>zip wird an e<strong>in</strong>er reflektierenden Wand erprobt.<br />
<strong>2.4</strong>.2 Physikalische Grundlagen<br />
Kenntnisse:<br />
Wellengleichungen, Schall als harmonische Welle, <strong>Doppler</strong>effekt, Echolot-Pr<strong>in</strong>zip<br />
Schall ist e<strong>in</strong>e longitud<strong>in</strong>ale Welle mit den Feldgrößen Schalldruck p (skalar) und Schallschnelle<br />
u (Bewegung <strong>der</strong> E<strong>in</strong>zelteilchen entlang Ausbreitungsrichtung). In diesem Versuch werden Ultraschallwellen<br />
(hörbarer Schall endet – je nach Güte des menschlichen Ohres – bei 15 bis 20 kHz)<br />
benutzt, um die <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong> <strong>in</strong> <strong>Luft</strong> und den <strong>Doppler</strong>-<strong>Effekt</strong> zu messen. Als letzter<br />
Versuchsteil wird das Sen<strong>der</strong>–Empfänger–System ebenfalls <strong>in</strong> <strong>Luft</strong> als Echolot betrieben.<br />
E<strong>in</strong>e ebene Welle, die sich o.B.d.A <strong>in</strong> x-Richtung ausbreitet, wird durch die Wellengleichung <strong>der</strong><br />
Form:<br />
d2a 1<br />
=<br />
dx2 c2 · d2a dt2 (2.1)<br />
beschrieben, wobei a die Feldgröße (p und u) bezeichnet. Zur Herleitung <strong>der</strong> Wellengleichung <strong>in</strong><br />
Gasen benötigt man die Eulerschen Gleichungen für adiabatische Prozesse:<br />
dp<br />
dx<br />
= −ρ · du<br />
dt<br />
,<br />
dp<br />
dt = −p0κ · du<br />
dx<br />
wobei ρ, p0 und κ Dichte, Druck und Adiabatenkoeffizient (= cp/cV = 1,4 bei zweiatomigen<br />
Gasen) des Mediums s<strong>in</strong>d.<br />
(2.2)
60<br />
Aufgabe: Man leite die Wellengleichung 2.1 aus 2.2 her und zeige, dass für die <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong><br />
c (im dispersionslosen Fall) gilt:<br />
c =<br />
κ · p0<br />
Da ρ und p0 temperaturabhängig s<strong>in</strong>d, ist es auch die <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong>.<br />
Aufgabe: Man zeige mit Hilfe <strong>der</strong> idealen Gasgleichung die Beziehung:<br />
c =<br />
ρ<br />
<br />
R · κ<br />
Mmol<br />
(2.3)<br />
· √ T (<strong>2.4</strong>)<br />
und entwickle diese für Raumtemperatur ϑ (<strong>in</strong> ◦ C, d. h. T = 273 + ϑ). E<strong>in</strong>setzen <strong>der</strong> Werte für<br />
<strong>Luft</strong> (80%N2, 20%O2) ergibt:<br />
c =<br />
<br />
331, 6 + 0, 6 ϑ<br />
◦ C<br />
m<br />
s<br />
ϑ <strong>in</strong> ◦ C (2.5)<br />
Die Lösung <strong>der</strong> Wellengleichung gibt den zeitlichen und räumlichen Verlauf – z.B. <strong>der</strong> Druckamplitude<br />
p – wi<strong>der</strong>:<br />
<br />
p(x, t) = ˆp · s<strong>in</strong> 2π f0 · t − x<br />
<br />
+ Φ<br />
(2.6)<br />
λ0<br />
Die Phase Φ kann <strong>in</strong> unserem Fall o.B.d.A. zu Null gesetzt werden.<br />
Aufgabe: Man zeige durch E<strong>in</strong>setzen von 2.6 <strong>in</strong> 2.1, dass für die Wellenlänge λ0 und die Frequenz<br />
f0 gilt:<br />
c = λ0 · f0<br />
(2.7)<br />
Somit kann die <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong> durch gleichzeitige <strong>Messung</strong> <strong>der</strong> Wellenlänge und <strong>der</strong><br />
Frequenz bestimmt werden. Sendet z. B. e<strong>in</strong> Sen<strong>der</strong> mit konstanter Frequenz f, so kann e<strong>in</strong><br />
Empfänger an e<strong>in</strong>em festen Ort e<strong>in</strong>e zeitliche Schw<strong>in</strong>gung mit dieser Frequenz registrieren:<br />
p(t) = p0 · s<strong>in</strong> 2π (f0 · t + Φ ′ ) (2.8)<br />
Die Phase Φ ′ ist nun durch den Abstand zwischen Sen<strong>der</strong> und Empfänger <strong>in</strong> Wellenlängene<strong>in</strong>heiten<br />
bestimmt.<br />
Zur Piezo-Elekritzität:<br />
Bestimmte Kristalle können entlang ausgezeichneter (polarer) Symmetreiachsen bei mechanischem<br />
Druck e<strong>in</strong>e elektrische Polarisation erfahren, die e<strong>in</strong>e messbare Spannung an den Außenflächen<br />
des Kristalls erzeugt. An<strong>der</strong>erseits kann e<strong>in</strong>e angelegte Spannung zu e<strong>in</strong>er mechanischen<br />
Verschiebung <strong>der</strong> kristall<strong>in</strong>en Struktur führen. Diese <strong>Effekt</strong>e können wegen <strong>der</strong> kle<strong>in</strong>en Auslenkungen<br />
sehr schnell ablaufen. In diesem Versuch werden Piezokristalle als sogenannte Ultraschallwandler<br />
benutzt. Trotz <strong>der</strong> für e<strong>in</strong> Material immer gleichen Kristallstruktur, die im Pr<strong>in</strong>zip<br />
immer zu <strong>der</strong>selben Resonanzfrequenz führen müsste, besitzt je<strong>der</strong> Kristall aufgrund se<strong>in</strong>er geometrischen<br />
Dimensionen e<strong>in</strong>e eigene Resonanzfrequenz, bei <strong>der</strong> er maximalen Ausschlag zeigt.<br />
Die Resonanzfrequenz <strong>der</strong> verwendeten Ultraschallwandler liegt bei 40 kHz.
<strong>2.4</strong>. DOPPLER-EFFEKT 61<br />
Abbildung 2.1: Der <strong>Doppler</strong>-<strong>Effekt</strong> bei bewegter Quelle<br />
Zum <strong>Doppler</strong>-<strong>Effekt</strong>:<br />
Wenn sich Sen<strong>der</strong> und Empfänger relativ zue<strong>in</strong>an<strong>der</strong> bewegen, misst <strong>der</strong> Empfänger e<strong>in</strong>e von<br />
<strong>der</strong> Sen<strong>der</strong>frequenz f0 verschiedene Frequenz f. Bewegen sie sich mit e<strong>in</strong>er Geschw<strong>in</strong>digkeit v<br />
aufe<strong>in</strong>an<strong>der</strong> zu, so wird die Welle ’zusammengedrückt’, bewegen sie sich vone<strong>in</strong>an<strong>der</strong> weg, wird<br />
die Welle ’ause<strong>in</strong>an<strong>der</strong>gezogen’.<br />
Aufgabe: Man leite die unterschiedlichen Bezeihungen für die vom Empfänger registrierte Fre-<br />
quenz f her:<br />
und<br />
f = f0 ·<br />
1<br />
1 ± v/c<br />
f = f0 · (1 ± v/c)<br />
<br />
<br />
v<br />
+ : Sen<strong>der</strong> entfernt sich<br />
− : Sen<strong>der</strong> nähert sich<br />
<br />
+ : Empfänger nähert sich<br />
− : Empfänger entfernt sich<br />
<br />
(2.9)<br />
(2.10)<br />
Meist ist die Geschw<strong>in</strong>digkeit des Sen<strong>der</strong>s kle<strong>in</strong> gegenüber <strong>der</strong> <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong> c (wir erwarten<br />
<strong>in</strong> diesem Versuch 1 : 350), sodass die erste Formel gemäß <strong>der</strong> Taylorentwicklung umgeformt<br />
werden kann <strong>in</strong>:<br />
f = f0 ·<br />
<br />
1 ∓ v<br />
c ±<br />
<br />
v 2<br />
<br />
∓ . . . ≈ f0 ·<br />
c<br />
1 ∓ v<br />
c<br />
<br />
(2.11)<br />
Aufgabe: Die <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong> und die Sen<strong>der</strong>geschw<strong>in</strong>digkeit sei jeweils auf 0,1% genau<br />
bestimmt. Ist für v : c = 1 : 350 messbar, ob die exakte o<strong>der</strong> die genäherte Formel stimmt?<br />
Somit kann man von e<strong>in</strong>em proportionalen Zusammenhang zwischen v und Frequenzverschiebung<br />
∆f ausgehen:<br />
∆f<br />
f0<br />
= f − f0<br />
f0<br />
= ∓ v<br />
c<br />
<br />
− : Sen<strong>der</strong> entfernt sich<br />
+ : Sen<strong>der</strong> nähert sich<br />
<br />
(2.12)
62<br />
Zum Echolot:<br />
Das Echolotpr<strong>in</strong>zip ist aus dem Alltag wohlbekannt: Schall (und natürlich auch Ultraschall) wird<br />
an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwi<strong>der</strong>standes gut reflektiert. Das<br />
Echolot benutzt e<strong>in</strong>e gepulste Schallquelle, um Wellenpakete zu senden, welche reflektiert und<br />
mit e<strong>in</strong>em Empfänger registriert werden.<br />
Aufgabe: Warum muss die Quelle gepulst se<strong>in</strong>? Warum benutzt man Ultraschall?<br />
Es wird <strong>der</strong> Zeitunterschied ∆t zwischen Aussendung des Signals und E<strong>in</strong>lauf des reflektierten<br />
Signals gemessen. Dann ist <strong>der</strong> Abstand zur Grenzfläche:<br />
d = 1<br />
· ∆t · c (2.13)<br />
2<br />
Zur Erzeugung und <strong>Messung</strong> <strong>der</strong> Ultraschallwellen werden sogenannte Ultraschallwandler benutzt.<br />
Die Umwandlung zwischen elektrischer und mechanischer Energie erfolgt durch den piezoelektrischen<br />
<strong>Effekt</strong>. Im beweglichen Sen<strong>der</strong>gehäuse wird die Piezo-Fläche von e<strong>in</strong>er kont<strong>in</strong>uierlichen<br />
Rechteckspannung angeregt und sendet e<strong>in</strong>e harmonische Schallwelle (mit nur e<strong>in</strong>er<br />
Frequenz f0) aus.<br />
<strong>2.4</strong>.3 Versuchsaufbau<br />
Es steht folgendes Material zur Verfügung:<br />
• Pendelbahn mit 16 Schienenabschnitten (≈ 2m, Firma LEGO),<br />
Kontrollelektronik Pendelzug zur automatischen Pendelbewegung und Zeitmessung mit<br />
Netzteil und 4 Lichtschranken.<br />
Es soll e<strong>in</strong>e möglichst lange Messstrecke aufgebaut werden, wobei e<strong>in</strong> wenig Auslaufreserve<br />
dazugegeben werden muss (probieren bei maximaler Versorgungspannung ≈ 4,5 V). Die<br />
Pendelbahn wird gemäß Abb. 2.2 an das Gerät Pendelzug angeschlossen. Die äußeren Licht-<br />
Netzteil<br />
12V<br />
Pendelzug Kontrollelektronik<br />
SDS200<br />
L1 L2 L3 L4<br />
Pendelzug mit Batterie und Sen<strong>der</strong><br />
Abbildung 2.2: Schematischer Versuchsaufbau<br />
zum PC<br />
¡ ¢ ¡ ¡ ¡<br />
MXG−9802A<br />
,,<br />
Empfanger<br />
schranken L1 und L4 werden zum Stoppen des Triebwagens und Rücksetzen <strong>der</strong> Stoppuhr,<br />
die <strong>in</strong>neren Lichtschranken L2 und L3 zur Zeitmessung benutzt. Die Pendelzugkontrolle
<strong>2.4</strong>. DOPPLER-EFFEKT 63<br />
schaltet automatisch an den Endpunkten von Vor- auf Rücklauf (bzw. umgekehrt) um, wobei<br />
<strong>der</strong> Triebwagen an den Endpunkten e<strong>in</strong>ige Zeit verweilt, damit die Messwerte notiert<br />
werden können und die Sen<strong>der</strong>frequenz f0 beim <strong>Doppler</strong>-<strong>Effekt</strong> gemessen wird.<br />
Die Kontrollelektronik Pendelzug (Abb. 2.3) besitzt folgende Bedienelemente:<br />
– Drehpotentiometer: Versorgungsspannung (0.0 . . . ≈ 4, 5 V)<br />
– l<strong>in</strong>ker Schalter: Mit START und STOP wird die Versorgungsspannung des Triebwagens<br />
kontrolliert. Die Stoppuhr ist davon unabhängig. Sie reagiert nur auf Signale<br />
<strong>der</strong> Lichtschranken L2 und L3. Während des Versuchs wird <strong>der</strong> Schalter nur für den<br />
<strong>Doppler</strong>-<strong>Effekt</strong> <strong>in</strong> START-Stellung gebracht, ansonsten wird <strong>der</strong> Triebwagen von Hand<br />
bewegt.<br />
– rechter Schalter: Umschalten zwischen manuellem (MAN) und automatischem Betrieb<br />
(AUTO).<br />
Während des ganzen Versuchs belässt man den Schalter <strong>in</strong> <strong>der</strong> Stellung AUTO.<br />
– l<strong>in</strong>ke Anzeige: Versorgungsspannung des Pendelzugs <strong>in</strong> Volt<br />
– rechte Anzeige: Stoppuhr <strong>in</strong> ms<br />
Netzteil− CANON−D Buchse<br />
anschluss Bahn & Lichtschranke<br />
PENDELZUG<br />
U<br />
2.80<br />
START<br />
SPEED<br />
T<br />
1604.3<br />
MAN<br />
STOP AUTO<br />
Abbildung 2.3: Pendelzug Kontrollelektronik<br />
• piezoelektrischer Schallumwandler als Empfänger mit angeschlossenem LEMO-Kabel.<br />
• Sen<strong>der</strong>-Box (siehe Abb. <strong>2.4</strong>) mit batteriebetriebenem piezoelektrischem Schallumwandler,<br />
kont<strong>in</strong>uierlicher o<strong>der</strong> gepulster Betrieb.<br />
E<strong>in</strong> Frequenzgenerator erzeugt e<strong>in</strong>e Rechteckspannung mit e<strong>in</strong>er Frequenz von ≈ 40 kHz,<br />
die <strong>der</strong> Schallumwandler <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e harmonische (s<strong>in</strong>usförmige) Schallwelle umwandelt. Schaut<br />
man von vorne auf den Sen<strong>der</strong>, so bef<strong>in</strong>den sich an <strong>der</strong> rechten Seite die Batterieanschlüsse<br />
und an <strong>der</strong> l<strong>in</strong>ken Seite e<strong>in</strong> Drehpotentiometer und e<strong>in</strong>e LEMO-Buchse. Mit dem Drehpotentiometer<br />
ist die Anregerfrequenz <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Bereich von e<strong>in</strong>igen Hun<strong>der</strong>t Hertz e<strong>in</strong>stellbar.
64<br />
gepulstes Signal<br />
Aus/E<strong>in</strong><br />
Poti. fur<br />
Frequenz−<br />
Abstimmung<br />
LEMO−Buchse:<br />
elektr. Erregersignal<br />
PULSE<br />
OFF<br />
BAT<br />
OFF<br />
Abbildung <strong>2.4</strong>: Sen<strong>der</strong>-Box<br />
Betriebsschalter<br />
Aus/E<strong>in</strong><br />
Ultraschall−<br />
wandler<br />
An <strong>der</strong> LEMO-Buchse kann das Erregersignal abgegriffen werden. Oben auf <strong>der</strong> Sen<strong>der</strong>-Box<br />
bef<strong>in</strong>den sich zwei Kippschalter: <strong>der</strong> rechte schaltet die Versorgungsspannung (OFF/BAT)<br />
durch, <strong>der</strong> l<strong>in</strong>ke schaltet zwischen kont<strong>in</strong>uierlichem (OFF) und gepulstem Betrieb (PULSE).<br />
DEN SENDER ERST EINSCHALTEN, WENN DER AUFBAU KOMPLETT IST UND<br />
MIT DEN MESSUNGEN BEGONNEN WERDEN KANN (Kap. <strong>2.4</strong>.4).<br />
• Funktionsgenerator/messer CONRAD MXG-9802 A, <strong>der</strong> als computerauslesbarer Frequenzmesser<br />
betrieben wird, Kabel für serielle Schnittstelle.<br />
Der Schalter FC/FG schaltet die Digitalanzeige zwischen <strong>in</strong>ternem (Frequenzgenerator) und<br />
externem Signal um (Frequenzmesser). Der Frequenzmesser misst während e<strong>in</strong>er e<strong>in</strong>stellbaren<br />
Zeit (Gate) die Frequenz und zeigt sie auf dem Display an.<br />
Aufgabe: Mit welcher Genauigkeit lässt sich die Frequenz bestimmen bei Gate-Zeiten von<br />
1/10s, 1s, 10s?<br />
Beim E<strong>in</strong>schalten des Gerätes wird automatisch das Gate auf 1 Sekunde und <strong>der</strong> ausgelesene<br />
Kanal (CHAN) A gewählt. Diese E<strong>in</strong>stellungen sollten für die gesamte Versuchsdauer beibehalten<br />
werden. Überprüfen Sie die E<strong>in</strong>stellungen auf dem Display (untere LED-Leiste).<br />
Als Kabelanschluss für das Empfängersignal wird <strong>der</strong> zweite von rechts (CH-A 200MHz)<br />
benutzt. Der Frequenzmesser ist über die serielle Schnittstelle (Anschluss an <strong>der</strong> Rückseite)<br />
mit dem Praktikums-Computer auslesbar. Das Ausleseprogramm “doppler” mit graphischer<br />
Anzeige wird vom Assistenten bereitgestellt. E<strong>in</strong>e detaillierte Beschreibung über die Bedienung<br />
f<strong>in</strong>det sich <strong>in</strong> Kap. <strong>2.4</strong>.4. Bitte kopieren Sie dieses Programm <strong>in</strong> Ihren Bereich, da<br />
sonst alle Date<strong>in</strong> mit Ihren <strong>Messung</strong>en auf dem Desktop abgelegt werden.<br />
• LEMO– und BNC–Kabel mit Adaptern (“T”).<br />
• computerausgelesenes, digitales Speicheroszilloskop SDS 200, USB-Kabel.<br />
Das Oszilloskop wird über das USB-Kabel an den Praktikums-Computer angeschlossen.<br />
Die Spannungsversorgung des Gerätes wird über das USB-Kabel geliefert. Das Programm<br />
SoftScope 1.2 zum Auslesen und Darstellen <strong>der</strong> Messwerte wird vom Desktop des Praktikums-<br />
Computers gestartet.<br />
Beim Starten des Programms schaltet das Oszilloskop e<strong>in</strong>ige Relais durch, NICHT ER-<br />
SCHRECKEN!
<strong>2.4</strong>. DOPPLER-EFFEKT 65<br />
Zum besseren Kennenlernen des Oszilloskops kann das Signal des Frequenzgenerators auf<br />
e<strong>in</strong>en Kanal (z. B. Ch1) gegeben werden. Die verschiedenen Funktionen (Trigger, Delay,<br />
Cursor, <strong>Messung</strong>en, usw.) können dann sozusagen an e<strong>in</strong>er selbst bestimmbaren “Schw<strong>in</strong>gungsquelle”<br />
ausprobiert werden. Die Beschreibung <strong>der</strong> e<strong>in</strong>zelnen Bedienelemente würde<br />
den Rahmen dieser Versuchsbeschreibung sprengen. Der Praktikumsassistent wird die wichtigsten<br />
Punkte vorstellen und für weitere Fragen zugegen se<strong>in</strong>. Es liegt auch e<strong>in</strong>e kurze<br />
Bedienungsanleitung bei.<br />
• 1 Metermaßband.<br />
<strong>2.4</strong>.4 Versuchsdurchführung<br />
α) Bestimmung <strong>der</strong> Abstrahlcharakteristik des Sen<strong>der</strong>s<br />
• zeitabhängig<br />
Beim E<strong>in</strong>schalten des Sen<strong>der</strong>s wärmt sich die Treiberelektronik langsam auf. Dies kann<br />
zu e<strong>in</strong>er Frequenzverschiebung führen. Messen Sie die Frequenz mit dem Frequenzmesser<br />
CONRAD MXG-9802 A nach dem E<strong>in</strong>schalten alle 30 Sekunden. Beobachten Sie,<br />
ob die Frequenz ab e<strong>in</strong>er gewissen Zeit stabil bleibt. Danach sollte <strong>der</strong> Sen<strong>der</strong> nicht<br />
mehr ausgeschaltet werden, um Frequenzschwankungen während <strong>der</strong> <strong>Messung</strong>en zu<br />
unterdrücken.<br />
Für diese <strong>Messung</strong> kann auch das Programm “doppler” benutzt werden, das im Abschnitt<br />
b) genauer beschrieben wird.<br />
• frequenzabhängig Diese <strong>Messung</strong> erfolgt mit dem Oszilloskop. Die angezeigte Spannung<br />
(l<strong>in</strong>ke Menü-Leiste, von Spitze zu Spitze) ist proportional zur Druckamplitude.<br />
Da es sich hier um e<strong>in</strong>e relative Amplitudenmessung handelt, sollte <strong>der</strong> Messbereich<br />
bzw. Abstand zum Empfänger so gewählt werden, dass <strong>der</strong> Messbereich vollkommen<br />
ausgenutzt wird (z. B. e<strong>in</strong>mal die Frequenz durchfahren und beim maximalen Messwert<br />
den Abstand entsprechend festsetzen).<br />
Die Schall<strong>in</strong>tensität des Sen<strong>der</strong>s variiert etwas. E<strong>in</strong>ige Messwerte im Abstand von e<strong>in</strong>igen<br />
Sekunden notieren und mitteln. Die Messwerte <strong>in</strong> e<strong>in</strong> Diagramm U(f) e<strong>in</strong>tragen.<br />
a) <strong>Messung</strong> <strong>der</strong> <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong><br />
Über e<strong>in</strong>e Verän<strong>der</strong>ung des Abstandes zwischen Sen<strong>der</strong> und Empfänger wird die Phase <strong>der</strong><br />
gemessenen Wellenfront zur ausgesendeten Wellenfront verän<strong>der</strong>t. Aus Gl. 2.6 erkennt man,<br />
dass zwischen den Schw<strong>in</strong>gungen (Gl. 2.8) an zwei verschiedenen Orten mit dem Abstand d<br />
entlang <strong>der</strong> Ausbreitungsrichtung x <strong>der</strong> harmonischen Welle e<strong>in</strong> Phasenunterschied besteht:<br />
Φ ′ = 2π · d<br />
λ0<br />
(2.14)<br />
Fährt man nun den Sen<strong>der</strong> (mit <strong>der</strong> Hand) vom Empfänger weg, so läuft dieser Phasenunterschied<br />
<strong>in</strong> <strong>der</strong> registrierten Schw<strong>in</strong>gung durch. Nach e<strong>in</strong>er komplett zurückgelegten<br />
Wellenlänge λ0 ist die Schw<strong>in</strong>gung wie<strong>der</strong> deckungsgleich mit <strong>der</strong> Startschw<strong>in</strong>gung.<br />
Diese <strong>Messung</strong> wird mit dem Oszilloskop durchgeführt: Auf Kanal 1 (Ch1) wird das elektrische<br />
Ausgangssignal des Sen<strong>der</strong>s gegeben. Der Trigger wird auf Ch1 festgesetzt. Der
66<br />
Messbereich sollte so gewählt werden, dass zwei bis drei Rechteckstufen zu sehen s<strong>in</strong>d. Auf<br />
Kanal 2 (Ch2) wird nun das Ausgangssignal des Empfängers gegeben. Bei e<strong>in</strong>er leichten<br />
Verschiebung des Sen<strong>der</strong>s ist zu sehen, wie sich das s<strong>in</strong>usförmige Empfängersignal gegen das<br />
Rechtecksignal verschiebt (siehe Abb. 2.5). H<strong>in</strong>weise zur Durchführung und Auswertung:<br />
Chan 2<br />
Chan 1<br />
Abbildung 2.5: Abbildung <strong>der</strong> Schw<strong>in</strong>gungen mit dem Oszilloskop beim Durchfahren e<strong>in</strong>er Wellenlänge<br />
• E<strong>in</strong>e e<strong>in</strong>deutig gut ablesbare Phase als Ausgangspunkt nehmen.<br />
E<strong>in</strong>en guten Anfangspunkt für die Streckenmessung nehmen (LEGO-Ste<strong>in</strong>chen . . . )<br />
Bei welchem Signal (Rechteckspannung o<strong>der</strong> S<strong>in</strong>usschw<strong>in</strong>gung) ist <strong>der</strong> Trigger stabiler?<br />
• Langsam fahren, da das Oszilloskop sampled, was bei unregelmäßigem Signal zu breiten<br />
Bän<strong>der</strong>n <strong>in</strong> <strong>der</strong> Anzeige führt.<br />
• Um e<strong>in</strong>en möglichst kle<strong>in</strong>en relativen Fehler <strong>in</strong> <strong>der</strong> Streckenbestimmung zu erhalten,<br />
werden 100 Wellenlängen durchgeschoben. Zur besseren Kontrolle des Zählvorgangs<br />
alle 20 Wellenlängen den Wert <strong>der</strong> zurückgelegten Strecke und <strong>der</strong> Frequenz aufschreiben.<br />
S<strong>in</strong>d bei je<strong>der</strong> <strong>Messung</strong> genau 20 Wellenlängen durchfahren worden? Ist<br />
die Sen<strong>der</strong>frequenz konstant?<br />
• Die Wellenlänge wird durch l<strong>in</strong>eare Regression im (nλ, d)–Diagramm bestimmt.<br />
Wie groß ist <strong>der</strong> Fehler <strong>der</strong> E<strong>in</strong>zelmessung? Wie groß ist <strong>der</strong> Fehler von λ?<br />
• Vergleichen Sie mit dem theoretisch erwarteten Wert (Gl. 2.5). E<strong>in</strong> Thermometer ist<br />
im Versuchsraum aufgehängt.<br />
Wie groß ist <strong>der</strong> Fehler des erwarteten Wertes?<br />
b) <strong>Messung</strong> des <strong>Doppler</strong>-<strong>Effekt</strong>s<br />
Bei verschiedenen Geschw<strong>in</strong>digkeiten (→ funktionaler Zusammenhang mit Versorgungsspannung)<br />
wird die Frequenzän<strong>der</strong>ung während <strong>der</strong> Fahrt des Sen<strong>der</strong>s auf den Empänger<br />
zu, bzw. von ihm weg, gemessen.<br />
Der Versuch setzt sich aus zwei <strong>Messung</strong>en zusammen:<br />
(1) Bestimmung <strong>der</strong> Geschw<strong>in</strong>digkeit <strong>der</strong> Pendelbahn (<strong>in</strong> Abhängigkeit von <strong>der</strong> Versorgungsspannung)<br />
(2) Bestimmung <strong>der</strong> Frequenzverschiebungen
<strong>2.4</strong>. DOPPLER-EFFEKT 67<br />
Die beiden <strong>Messung</strong>en können komb<strong>in</strong>iert werden, d. h. es sollte gleichzeitig zur Laufzeitmessung<br />
des Wagens die Freqenzverschiebung mit dem Programm “doppler” bestimmt<br />
werden. Sie s<strong>in</strong>d hier nur getrennt aufgeführt, um zu verdeutlichen, dass sie beide e<strong>in</strong>er<br />
entsprechenden Auswertung und Fehlerbetrachtung bedürfen.<br />
zu (1): Geschw<strong>in</strong>digkeitsmessung<br />
Bauen Sie die Pendelbahn mit den vier Lichtschranken entsprechend <strong>der</strong> Abb. 2.2 auf.<br />
Die Funktionsweise <strong>der</strong> Elektronik wurde <strong>in</strong> Abschnitt <strong>2.4</strong>.3 beschrieben. Für e<strong>in</strong> besseres<br />
Verständnis <strong>der</strong> Apparatur lässt man die Pendelbahn e<strong>in</strong>ige Mal auf <strong>der</strong> Schalterstellung<br />
AUTO laufen.<br />
Die Bestimmung des Anfangs- und Endpunktes <strong>der</strong> Messstrecke bereitet e<strong>in</strong>ige Schwierigkeiten.<br />
Die Lichtschranke wird ausgelöst, wenn <strong>der</strong> kont<strong>in</strong>uierliche Lichtstrahl aus <strong>der</strong><br />
l<strong>in</strong>ken Öffnung an dem Reflexionsstreifen auf dem Triebwagen <strong>in</strong> die rechte Öffnung reflektiert<br />
wird (siehe Abb. 2.6). Dieser Zeitpunkt (und damit Ortspunkt) ist nicht identisch<br />
mit dem Vorbeifahren <strong>der</strong> Streifenkante an <strong>der</strong> Lichtschranke. Am besten fährt man sehr<br />
langsam den Wagen mit <strong>der</strong> Hand durch (Pendelzug-Kontrolle auf STOP) und achtet auf<br />
den Augenblick des Auslösens (bzw. Stoppens) <strong>der</strong> Stoppuhr. Mit etwas Geschick und<br />
Ausnutzen <strong>der</strong> LEGO-Rasterstruktur kann durch Verschieben <strong>der</strong> Lichtschranken e<strong>in</strong>e Genauigkeit<br />
von unter 1 mm errreicht werden! Es ist zu prüfen, ob die Strecken <strong>in</strong> H<strong>in</strong>- und<br />
Rückrichtung gleich lang s<strong>in</strong>d.<br />
Lichtschranke<br />
Reflexionsstreifen<br />
Triebwagen<br />
Lichtsignal<br />
Abbildung 2.6: Funktionsweise <strong>der</strong> Lichtschranke (Sicht von oben)<br />
H<strong>in</strong>weise zur Durchführung und Auswertung:<br />
- Befolgen Sie e<strong>in</strong>e s<strong>in</strong>nvolle Messreihe: z.B. von 2.5 V an <strong>in</strong> Schritten von 0.5 V. (Bei<br />
e<strong>in</strong>er Versorgungsspannung unterhalb von 2.5 V reicht das Drehmoment des Triebwagens<br />
nicht für e<strong>in</strong>e gleichmäßige Bewegung aus.)<br />
- Probieren Sie bei maximaler Geschw<strong>in</strong>digkeit, ob die Auslaufstrecken lang genug s<strong>in</strong>d.<br />
- Die Geschw<strong>in</strong>digkeit für H<strong>in</strong>- und Rückfahrt kann unterschiedlich se<strong>in</strong>, z. B. durch<br />
nicht horizontalen Aufbau.
68<br />
- Wie gut ist die Reproduzierbarkeit, d.h. s<strong>in</strong>d die Messwerte <strong>der</strong> Laufzeiten statistisch<br />
verteilt? Der Fehler <strong>der</strong> Laufzeit wird durch e<strong>in</strong>faches Mittel über jeweils fünf bis zehn<br />
H<strong>in</strong>- und Herfahrten bestimmt.<br />
- (Zusatz:) Wie ist <strong>der</strong> funktionale Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung und<br />
Geschw<strong>in</strong>digkeit? Bei l<strong>in</strong>earem Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung und<br />
Geschw<strong>in</strong>digkeit kann e<strong>in</strong>e Ausgleichsgerade mittels l<strong>in</strong>earer Regression berechnet werden.<br />
zu (2): Frequenzverschiebung<br />
Für die <strong>Messung</strong> <strong>der</strong> Frequenzverschiebung wird <strong>der</strong> Frequenzmesser über die serielle<br />
Schnittstelle des Praktikums-Computers ausgelesen. Das Programm “doppler” kann zwar<br />
vom Desktop aus gestartet werden, jedoch ist es günstiger, es von e<strong>in</strong>em DOS-Fenster<br />
(“E<strong>in</strong>gabeauffor<strong>der</strong>ung”) mit dem Befehl “doppler” zu aktivieren. Wenn Sie ke<strong>in</strong>e weiteren<br />
Parameter angeben, liest das Programm den Frequenzmesser aus. Wenn Sie den Namen<br />
e<strong>in</strong>er alten, gespeicherten <strong>Messung</strong> anfügen (Dateityp Frequenz, nicht Histogramm), stellt<br />
das Programm diese Werte dar. Verifizieren Sie, dass das Programm die gleiche Empfängerfrequenz<br />
liest wie die Anzeige des Frequenzmessers darstellt. Das Programm liest e<strong>in</strong>mal<br />
pro Sekunde den Frequenzmesser aus und stellt die Daten auf zwei Fenstern dar (Abb. 2.7):<br />
MGX 9802 Frequenzmessung<br />
Statistik<br />
f = 40012 Hz<br />
mean = −0.23 Hz<br />
emean = 0.25 Hz<br />
rms = 2.68 Hz<br />
Abbildung 2.7: Graphische Darstellung des Programms doppler zur <strong>Messung</strong> des <strong>Doppler</strong>-<strong>Effekt</strong>s<br />
• Das größere Fenster zeigt den zeitlichen Verlauf <strong>der</strong> <strong>Messung</strong>en, wobei <strong>der</strong> letzte gelesene<br />
Wert oben <strong>in</strong> <strong>der</strong> Mitte dargestellt wird. Bef<strong>in</strong>det sich <strong>der</strong> Cursor <strong>in</strong> diesem<br />
Fenster, erhält man mit <strong>der</strong> rechten Klick-Fläche (Maustaste) e<strong>in</strong> Menü zur Kontrolle<br />
des Programms. Es ist ratsam, das Menüfenster nicht unnötig zu bedienen, da ke<strong>in</strong>e<br />
neuen Daten aufgenommen werden, solange das Menü aktiviert ist. Das Programm<br />
kann mit folgenden Optionen kontrolliert werden:<br />
– Start: Weiterführung <strong>der</strong> <strong>Messung</strong>, falls vorher gestoppt
<strong>2.4</strong>. DOPPLER-EFFEKT 69<br />
– Stop: Stoppen <strong>der</strong> gegenwärtigen <strong>Messung</strong><br />
– Reset: Löschen <strong>der</strong> aktuellen <strong>Messung</strong>. ACHTUNG: Dieser Befehl löscht nur die<br />
Darstellung. Bei e<strong>in</strong>er späteren Speicherung werden alle Daten ab dem ersten<br />
Start des Programms <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Datei geschrieben (s.u.). Deswegen ist es besser,<br />
für jede <strong>Messung</strong> das Programm neu zu starten und gleich mit <strong>der</strong> <strong>Messung</strong> zu<br />
beg<strong>in</strong>nen.<br />
– Save: Die Daten werden <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Datei im aktuellen Verzeichnis abgespeichert,<br />
wobei <strong>der</strong>en Name automatisch generiert wird<br />
(jahr-monat-tag-stunde-m<strong>in</strong>ute-sekunde doppler typ.dat,<br />
mit typ: f=Frequenz, h=Histogramm). Am besten startet man das Programm<br />
für jede <strong>Messung</strong> neu, da die Reset-Funktion nur den Bildschirm<strong>in</strong>halt löscht,<br />
aber alle Daten behält und bei e<strong>in</strong>er nachträglichen Auswertung auch diese <strong>in</strong> die<br />
Berechnungen mit e<strong>in</strong>bezieht.<br />
– Change ymax: Die Obergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann <strong>in</strong> verschieden<br />
großen Schritten verän<strong>der</strong>t werden.<br />
– Change ym<strong>in</strong>: Die Untergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann <strong>in</strong> verschieden<br />
großen Schritten verän<strong>der</strong>t werden.<br />
• Das kle<strong>in</strong>ere Fenster zeigt die Verteilung (das Histogramm) <strong>der</strong> gemessenen Frequenzen.<br />
Es rechnet automatisch bei jedem dazukommenden Wert den Mittelwert neu aus<br />
und zieht ihn von den <strong>Messung</strong>en ab. Somit ergeben sich drei Häufungen (Rückfahrt,<br />
Stillstand, H<strong>in</strong>fahrt), die um 0 Hz gruppiert s<strong>in</strong>d. Die Werte (mean = Mittelwert,<br />
emean = Fehler des Mittelwertes, rms = Standardabweichung) <strong>der</strong> e<strong>in</strong>zelnen Häufungen<br />
können mit e<strong>in</strong>em darüber gelegten Fenster angezeigt werden. Wenn das Fenster<br />
nicht aktiviert ist (“Peak f<strong>in</strong><strong>der</strong> off”), wird <strong>der</strong> Mittelwert aller Daten angezeigt (die<br />
Fehler s<strong>in</strong>d somit statistisch uns<strong>in</strong>nig). Aktivieren Sie die Kontrolle mit <strong>der</strong> rechten<br />
Klickfläche (<strong>der</strong> Cursor muss sich natürlich <strong>in</strong> dem Histogrammfenster bef<strong>in</strong>den), und<br />
wählen Sie den Menü-Punkt “Peak f<strong>in</strong><strong>der</strong> on”. Das Fenster wird mit roten senkrechten<br />
L<strong>in</strong>ien angezeigt. Mit den Cursor-Tasten ← und → können die Begrenzungsl<strong>in</strong>ien<br />
verschoben werden. Tippt man die Taste U so wird das obere Limit, tippt man die<br />
Taste L so wird das untere Limit verschoben.<br />
Starten Sie nun die Pendelbahn im AUTO-Betrieb und schauen, wie das Programm reagiert.<br />
Nehmen Sie für jede Geschw<strong>in</strong>digkeit e<strong>in</strong>en eigenen, s<strong>in</strong>nvoll großen Datensatz auf.<br />
H<strong>in</strong>weise zur Durchführung und Auswertung:<br />
- Überprüfen Sie von Zeit zu Zeit die Umgebungstemperatur.<br />
- Wie kommt das eigentümliche Histogramm zustande (es s<strong>in</strong>d mehr als nur drei Häufungen<br />
zu sehen)?<br />
- Achten Sie darauf, dass das richtige ∆f genommen wird! Wie groß ist <strong>der</strong> Fehler von<br />
∆f (Achtung: Differenzmessung!)?<br />
- Tragen Sie zum Schluss die Ergebnisse <strong>der</strong> gesamten Messreihe <strong>in</strong> e<strong>in</strong> Diagramm e<strong>in</strong>.<br />
Welche Darstellung ist s<strong>in</strong>nvoll? Überlegen Sie, welche Fehler <strong>in</strong> diese <strong>Messung</strong> e<strong>in</strong>gehen.<br />
E<strong>in</strong>e Möglichkeit <strong>der</strong> Auftragung ist <strong>in</strong> Abb 2.8 zu sehen.
70<br />
f / f 0<br />
0,001<br />
Abbildung 2.8: Graphische Darstellung des Ergebnisses des <strong>Doppler</strong>-<strong>Effekt</strong>s<br />
- Verifizieren sie die theoretische Vorhersage unter Berücksichtigung des Ergebnissis von<br />
Versuchsteil a) mittels l<strong>in</strong>earer Regression (mit Fehler auf <strong>der</strong> Abszisse und Ord<strong>in</strong>ate).<br />
- Meist s<strong>in</strong>d die beiden äußeren Häufungen des doppler-Histogramms asymmetrisch.<br />
Dies ist durch die Systematik <strong>der</strong> <strong>Messung</strong> gegeben. (Warum? Welche?) Dort ist<br />
zu überlegen, ob die angegebene Standardabweichung des Mittelwertes (Grundlage:<br />
statistische Gauß-Verteilung) den tatsächlichen Fehler richtig abschätzt. Man kann<br />
den Fehler auch durch Verän<strong>der</strong>n des Intervalls abschätzen, <strong>in</strong>dem man die Variation<br />
des sich dann verän<strong>der</strong>nden Mittelwertes betrachtet. Zu überlegen ist auch, ob man<br />
den Schwerpunkt (=Mittelwert) <strong>der</strong> Verteilung nimmt o<strong>der</strong> den Wert <strong>der</strong> maximalen<br />
Häufung.<br />
- Alternativ zur genäherten Formel (Gl. 2.11) kann die Auswertung auch über die exakte<br />
Formel durchgeführt werden. Durch leichtes Umformen erhält man die Beziehung:<br />
∆f<br />
f<br />
0,001<br />
= ∓v<br />
c<br />
v / c<br />
(2.15)<br />
c) Echolot<br />
Ultraschallwellen werden an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwi<strong>der</strong>standes<br />
reflektiert. Wie <strong>in</strong> Versuchsteil a) gesehen, kann man mittels <strong>der</strong> Phasenverschiebung<br />
e<strong>in</strong>er kont<strong>in</strong>uierlichen Welle nur Strecken vermessen, die kürzer als e<strong>in</strong>e<br />
Wellenlänge s<strong>in</strong>d. Deshalb benutzt man e<strong>in</strong>e gepulste Schallquelle, die kurze Wellenzüge<br />
e<strong>in</strong>iger Wellenlängen aussendet. Der Abstand zum reflektierenden H<strong>in</strong><strong>der</strong>nis wird dann<br />
gemäß Gl. 2.13 bestimmt.<br />
(1) Stellen Sie Empfänger und Sen<strong>der</strong> auf (Fast-)Berührung gegenüber auf (direkter Kontakt<br />
kann zu elektrischem Übersprechen zwischen Sen<strong>der</strong> und Empfänger führen). Geben<br />
Sie analog zur <strong>Messung</strong> <strong>der</strong> <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong> das Sen<strong>der</strong>signal auf Kanal 1<br />
und das Empfängersignal auf Kanal 2 des Oszilloskops. Wählen sie die Zeite<strong>in</strong>teilung
<strong>2.4</strong>. DOPPLER-EFFEKT 71<br />
so, dass Sie das gesamte Sen<strong>der</strong>- und Empfängersignal gleichzeitg auf dem Schirm<br />
sehen.<br />
Warum hat das Empfängersignal e<strong>in</strong>e an<strong>der</strong>e Form als das Sen<strong>der</strong>signal (abgesehen<br />
von <strong>der</strong> Rechteckspannung)?<br />
Messen sie die Zeit zwischen erster Sen<strong>der</strong>schw<strong>in</strong>gung und erster Empfängerschw<strong>in</strong>gung.<br />
Sie können e<strong>in</strong>en Cursor im Oszilloskop-Bildschirm durch Klicken auf das Pfeil-<br />
Symbol oben l<strong>in</strong>ks aktivieren. Der Cursor lässt sich mit dem touchpad bei gedrückter<br />
l<strong>in</strong>ker Taste verschieben. Der gegenwärtige Wert wird unten angezeigt. Diese Zeitdifferenz<br />
t0 muss bei allen folgenden Versuchen abgezogen werden, da ja <strong>der</strong> Abstand<br />
zwischen Sen<strong>der</strong>- und Empfängergehäuse gleich Null ist.<br />
Schieben Sie den Sen<strong>der</strong> langsam vom Empfänger weg und schauen Sie sich die beiden<br />
Signale bei groberer Zeitauflösung an. Messen sie den Abstand zum Sen<strong>der</strong> mit dem<br />
Maßband und die Zeitdifferenz mit dem Oszilloskop. Man kann e<strong>in</strong> wenig mit <strong>der</strong><br />
Zeitauflösung, dem Trigger-Delay und dem Cursor spielen, um e<strong>in</strong> möglichst exaktes<br />
Ergebnis zu erhalten. Führen Sie e<strong>in</strong>ige <strong>Messung</strong>en durch und vergleichen Sie das<br />
Ergebnis mit <strong>der</strong> <strong>in</strong> Teil a) gemessenen <strong>Schallgeschw<strong>in</strong>digkeit</strong>.<br />
(2) Stellen Sie Empfänger und Sen<strong>der</strong> nebene<strong>in</strong>an<strong>der</strong> auf. Schauen sie sich erst das gepulste<br />
Signal bei großer Zeitauflösung an.<br />
Stört das direkte Sen<strong>der</strong>signal das Empfängersignal (Übersprechen)? Durch e<strong>in</strong>e Trennwand<br />
und leichtes Drehen des Sen<strong>der</strong>s o<strong>der</strong> Empfängers lässt sich womöglich die Situation<br />
verbessern. (Der Sen<strong>der</strong> strahlt nicht unbed<strong>in</strong>gt exakt geradeaus.) Eventuell<br />
an<strong>der</strong>e Störfaktoren (Schienen, nah placierte Geräte) entfernen.<br />
Stellen Sie die Reflexionswand <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Abstand von ungefähr 50 cm auf. Messen Sie<br />
den Zeitunterschied ∆t zwischen gesendetem und reflektiertem Signal. Berechnen Sie<br />
unter Verwendung des Ergebnisses aus Versuchsteil a) den Abstand zur Reflexionswand<br />
(Gl. 2.13) und vergleichen mit dem Wert, den Sie mit dem Maßband bestimmt<br />
haben. Wie<strong>der</strong>holen Sie die <strong>Messung</strong> bei verschiedenen Abständen.<br />
Wie gut ist Ihr Echolot? Schätzen Sie den Fehler <strong>der</strong> berechneten Lauflänge (Fehler<br />
<strong>in</strong> ∆t , t0 und c) ab. Wie groß s<strong>in</strong>d die Abweichungen zur <strong>Messung</strong> mit dem Metermaßstab?