Mathematik - Havekost

LAND BRANDENBURG
Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung
Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010
Aufgabenvorschlag
Mathematik
Grundkurs mit CAS
Hilfsmittel: Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen
Sprache, zugelassener Taschenrechner, zugelassene/s
Tafelwerk/Formelsammlung
Gesamtbearbeitungszeit: 210 Minuten inkl. Lese- und Auswahlzeit
Aufgabenstellung 1
Thema/Inhalt: Analysis
Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 1.1 oder 1.2 zur
Bearbeitung aus.
Aufgabenstellung 2
Thema/Inhalt: Analytische Geometrie
Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 2.1 oder 2.2 zur
Bearbeitung aus.
Aufgabenstellung 3
Thema/Inhalt: Stochastik
Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 3.1 oder 3.2 zur
Bearbeitung aus.
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Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Länder Berlin und Brandenburg
Nennen Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen
Form und nicht in der CAS-Eingabeform.
Aufgabe 1.1 CAS: Kontrolliertes Wachstum
Unter Laborbedingungen ist das Wachstum einer Bakterienkultur über einen Zeitraum von 15
Stunden beobachtet worden. Dabei ist die momentane Änderungsrate der Kultur an drei
Zeitpunkten tabellarisch protokolliert worden.
Zeit t in Stunden (h) 1 3 10
Momentane Änderungsrate r(t) in
Mengeneinheiten pro Stunde (ME / h)
2,5 0,9 1,6
a) Die Tabellenwerte gehören zum Graphen einer quadratischen Funktion r, die modellhaft
die Änderungsrate des Bakterienwachstums beschreibt. Ermitteln Sie die Gleichung der
Parabel. Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S ( t s | r(
ts
)) der Parabel
und stellen Sie die Parabel im Koordinatensystem 1 graphisch dar.
Interpretieren Sie die Bedeutung der Zeit ts für das Wachstum der Bakterienkultur.
b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktion r die Bestandsfunktion b der Bakterienkultur, wenn
zu Beginn der Beobachtung (Zeitpunkt t = 0) 20 ME der Kultur vorhanden waren.
Berechnen Sie den Bestand der Bakterienkultur zu den Zeitpunkten der Tabelle und
zusätzlich für t = 15 .
1 3 3 2 18
[Kontrollergebnis: b ( t)
= t − t + t + 20 ]
30 5 5
c) Bestimmen Sie für die Bestandsfunktion b die Wendestelle.
Berechnen Sie den Bestand zu diesem Zeitpunkt.
Stellen Sie die Bestandsfunktion unter Verwendung der bekannten Werte im
Koordinatensystem 2 graphisch dar.
d) Berechnen Sie die Steigung m der Geraden g durch die beiden Punkte P(0|20) und
Q(15|51,5). Stellen Sie die Gleichung b ′ ( t)
= m auf und lösen Sie diese.
Interpretieren Sie die Bedeutung der beiden Lösungswerte für das Bakterienwachstum.
Unterstützen Sie Ihre Erläuterung durch zeichnerische Ergänzungen in beiden
Koordinatensystemen.
e) Berechnen Sie den Zeitpunkt t, zu dem der senkrechte Abstand zwischen der Geraden g
und dem Graphen der Funktion b über dem Intervall [0;15] maximal ist.
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Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe
BE 14 5 5 8 8 40
Mathematik 10_Ma_G_A1.1_CAS_V2
Grundkurs

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Länder Berlin und Brandenburg
Koordinatensystem 1
Koordinatensystem 2
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Mathematik 10_Ma_G_A1.1_CAS_V2
Grundkurs

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Länder Berlin und Brandenburg
Nennen Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen
Form und nicht in der CAS-Eingabeform.
Aufgabe 1.2 CAS: Halfpipemodell
(Halfpipe: gekrümmte Bahn für Skateboarder)
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x)
= e
Der Graph dieser Funktion ist G.
+ e ; x ∈ IR
.
a) Weisen Sie nach, dass G achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft und untersuchen Sie,
ob G gemeinsame Punkte mit den beiden Koordinatenachsen hat.
Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von f für x → + ∞ und x → − ∞ an.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art des lokalen Extrempunktes von G und
begründen Sie, warum G keine Wendepunkte besitzen kann.
Genau zwei auf G liegende Punkte R und S sowie der lokale Extrempunkt von G sind
1
Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit dem Flächeninhalt A = ln2
FE.
2
Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte R und S .
c) Es gibt genau zwei auf G liegende Punkte Q P u|
f u und
Q( − u|
f ( − u)
) ; u ∈ IR
, für die gilt: Die Tangenten an G in diesen Punkten stehen
senkrecht aufeinander. Berechnen Sie u.
x
−x
P und mit ( ( ) )
d) Der mit dem Faktor a veränderte Graph von f hat die
Gleichung g( x)
= a ⋅ f ( x)
, a ∈ IR
, 0 , 5 < a < 1.
Der Graph von g und die Geraden mit den
Gleichungen x = 1,
x = −1
und y = 1 begrenzen eine
Fläche, die als Querschnitt für ein Halfpipemodell
genutzt wird (siehe Abbildung).
Der Faktor a soll dabei so gewählt werden, dass die
Querschnittsfläche eine Größe von rund 1,53 FE hat.
Bestimmen Sie für den Funktionsgraphen von g den
Wert des Faktors a auf zwei Dezimalstellen gerundet.
[Kontrollergebnis: a = 0,
75 ]
e) Bestimmen Sie den x-Wert des Punktes, in dem das Halfpipemodell einen
Steigungswinkel von 30° hat.
f) Ein Mitarbeiter der Herstellerfirma schlägt vor, zur Modellierung statt der e -Funktion eine
quadratische Parabel zu nutzen. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Parabel.
2
[Zur Kontrolle: Gleichung der Parabel p ( x)
= 0,
815x
+ 1,
5 mit 0,815 als Näherungswert.]
Prüfen Sie, ob die Halfpipe bei Nutzung der Parabel p an der Stelle x = 0,
5 steiler oder
flacher verläuft als die ursprüngliche Halfpipe.
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Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe
BE 6 11 7 5 3 8 40
Mathematik 10_Ma_G_A1.2_CAS_V3
Grundkurs

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Länder Berlin und Brandenburg
Nennen Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen
Form und nicht in der CAS-Eingabeform.
Aufgabe 2.1 CAS: Haus mit Leitungsdraht
x
Die Skizze veranschaulicht ein 15 m langes und 12 m breites Haus, dessen rechtwinklige
Grundfläche in der x-y-Ebene liegt. Oberhalb des Hauses verläuft eine Leitung, die an den
Mastspitzen Q1 und Q2 befestigt ist.
Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstabsgerecht.
a) Gegeben sind die Eckpunkte F(0|15|4), G(-12|15|4), K(-6|15|7) und I(-6|0|7). Geben Sie
die Koordinaten der Punkte B, C, E und H an.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden durch die Punkte I und K.
Ermitteln Sie die Größe des Winkels FKG.
b) Der Leitungsdraht wirft einen Schatten auf die vordere Dachfläche EFKI . Zu einem
festen Zeitpunkt hat der Punkt R1(4|2|8) auf der Leitung den Schattenpunkt S1(0|4| 4) auf
der Dachkante EF . Die Lichtstrahlen fallen parallel ein.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes S2 auf der oberen Dachkante IK ,
der zum selben Zeitpunkt vom Punkt R2(-5|6,5|8) auf der Leitung herrührt.
[Zur Kontrolle: S ( 6 | 7 | 7)
]
2 −
c) Bestimmen Sie die Länge der Schattenlinie S 1S2
auf der vorderen Dachfläche EFKI.
S 1S2
teilt die Dachfläche EFKI in zwei Teilflächen.
Berechnen Sie das Verhältnis dieser beiden Flächeninhalte.
d) Geben Sie für die Ebene E 1,
in der die vordere Dachfläche EFKI liegt, eine Gleichung in
Parameterform und in Normalenform an.
Bestimmen Sie den Abstand der Mastspitze Q1(8|0|8) von E 1.
e) Entscheiden Sie, ob der Ebenenpunkt P in 1 E , der zu Q1 den kleinsten Abstand hat, in
der Dachfläche EFKI liegt.
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Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe
BE 8 5 5 8 4 30
Mathematik 10_Ma_G_A2.1_CAS_V3.doc
Grundkurs

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Länder Berlin und Brandenburg
Nennen Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen
Form und nicht in der CAS-Eingabeform.
Aufgabe 2.2 CAS: Hausdach
Gegeben sind die Ebene E mit der Gleichung 2 x − 3y
+ 6z
= 13 , die Gerade g mit der
⎛2⎞
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Gleichung x = ⎜1⎟
+ t ⎜−
2⎟
; t ∈ / R und der Punkt M ( − 4|
− 1|
3)
.
⎜
2
⎟ ⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝−
⎠
a) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt.
b) Es sei M der Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms ABCD . Die Strecke
AB liegt auf der Geraden g im Parameterbereich − 2 ≤ t ≤ 2.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Parallelogramms. Berechnen Sie den
Schnittwinkel der Geraden gAB und gAM und ermitteln Sie den Flächeninhalt des
Parallelogramms ABCD .
c) Bestimmen Sie die Koordinaten derjenigen Punkte der Geraden g , die vom
Koordinatenursprung den Abstand 162 LE besitzen.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes L der Geraden g , der zum Punkt M die
kürzeste Entfernung hat.
d) Die Dachfläche eines Hauses liegt in der Ebene E . Im Abstand von 0 , 5 LE über dieser
Dachfläche werden Solarzellen angebracht.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene E So an, in der sich die Solarzellen befinden.
e) Es sei S ( 2|
1|
2)
der Eckpunkt eines quaderförmigen Kastens auf dem Dach. Drei der
sechs Begrenzungsflächen des Kastens liegen in den Ebenen E, F, G, wobei F durch die
Gleichung 2 y + z = 4 gegeben ist.
Stellen Sie eine Gleichung für die Ebene G auf, wenn S in E, F und G enthalten ist.
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Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe
BE 3 8 9 6 4 30
Mathematik 10_Ma_G_A2.2_CAS_V2
Grundkurs

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Länder Berlin und Brandenburg
Nennen Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen
Form und nicht in der CAS-Eingabeform.
Aufgabe 3.1 CAS: „Wer-Weiß-Was-Spiel“
Beim Schulfest organisiert die Schülervertretung das Spiel „Wer-Weiß-Was“.
In einer Lostrommel sind Lose mit Fragen zu unterschiedlichen Wissensgebieten.
a) Die Hälfte der Fragen sind einfach, ein Drittel der Fragen sind mittelschwer und der Rest
sind schwierige Fragen. Die Veranstalter gehen davon aus, dass die einfachen Fragen
zu 50 %, die mittelschweren zu 40 % und die schweren Fragen nur zu 10 % richtig
beantwortet werden.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein zufällig gezogenes Los eine
schwierige Frage enthält und richtig beantwortet wird.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Frage eines zufällig gezogenen
Loses richtig beantwortet wird.
Im Folgenden gehen wir davon aus, dass eine Frage eines zufällig gezogenen Loses mit
einer Wahrscheinlichkeit von 40 % richtig beantwortet wird.
b) Ein Spieler zieht drei Lose.
Zeichnen Sie ein vollständiges, beschriftetes Baumdiagramm mit den Ereignissen
R (richtige Antwort) und F (falsche Antwort).
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ereignisse:
A: Er gibt dreimal die richtige Antwort.
B: Mindestens einmal ist die Antwort richtig.
Das „WWW-Spiel“ wird als Glücksspiel ausgeführt, bei dem der Spieler sieben Lose zieht
und jeweils die Frage beantwortet. Werden mindestens sechs Fragen richtig beantwortet,
dann erhält der Spieler einen Gewinn von 10 €.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei richtige Antworten beim
„WWW-Spiel“.
Untersuchen Sie, wie sich diese Wahrscheinlichkeit ändert, wenn die
Trefferwahrscheinlichkeit p kleiner wird. Wählen Sie dafür mindestens zwei geeignete
Werte für p.
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für mindestens sechs richtige Antworten beim
„WWW-Spiel“.
Ermitteln Sie, nach wie vielen Spielen der Veranstalter mit 100 € Gewinn rechnen kann,
wenn der Einsatz 2 € pro Spiel beträgt.
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Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) Summe
BE 7 9 8 6 30
Mathematik 10_Ma_G_A3.1_V2
Grundkurs

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Länder Berlin und Brandenburg
Nennen Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen
Form und nicht in der CAS-Eingabeform.
Aufgabe 3.2 CAS: PC als Freizeitbeschäftigung
Im Jahr 2007 lebten in Berlin 3.395.200 und im Land Brandenburg 2.541.100 Menschen. Im
Schuljahr 2007/2008 gab es in Berlin 426.710 und in Brandenburg 301.650 Schüler.
a) Ermitteln Sie den jeweiligen Anteil der Berliner bzw. der Brandenburger an der
Gesamtbevölkerung der Region Berlin/Brandenburg. Bestimmen Sie jeweils die
Schüleranteile von Berlin bzw. von Brandenburg.
b) Aus der Gesamtbevölkerung der Region Berlin/Brandenburg wird genau eine Person
ausgelost.
Berechnen Sie mithilfe eines vollständigen, beschrifteten Baumdiagramms die
Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
A: Es wird ein Brandenburger Schüler ausgelost.
B: Es wird eine Person ausgelost, die Berliner, aber kein Schüler ist.
Eine stichprobenartige Befragung im Herbst 2007 von über 14-Jährigen in der Region
Berlin/Brandenburg mit der Fragestellung
„Wie häufig beschäftigen Sie sich in ihrer Freizeit mit dem PC?“ ergab:
100
50
0
PC -Nutzung in der Freizeit (über 14-J ährige) in
der Region Berlin/Brandenburg in %
c) Das Säulendiagramm gibt die Häufigkeit der PC-Nutzung der über 14-Jährigen an.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
C: Unter zehn Befragten sind mindestens acht, die in ihrer Freizeit nie den PC nutzen.
d) Berechnen Sie, wie viele über 14-Jährige der Region Berlin/Brandenburg man
mindestens befragen müsste, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98 %
wenigstens einen unter den Befragten zu haben, der mehrmals pro Woche den PC in
seiner Freizeit nutzt.
e) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 250 Befragten über 14 Jahren
mindestens 10, aber höchstens 15 anzutreffen sind, die den PC in der Freizeit selten
nutzen.
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5 3 15 34
Nie S elten E twa 1x
pro Monat
Mehrmals
pro Monat
Mehrmals
pro
Woche
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Mathematik 10_Ma_G_A3.2_CAS_V2
Grundkurs

Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Länder Berlin und Brandenburg
f) Der Anteil der Schüler der Region, die demnächst einen neuen PC kaufen wollen, sei p
mit 0 < p < 1.
Berechnen Sie p für den Fall, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
D: "Unter 20 zufällig ausgewählten Schülern befinden sich genau 7, die einen neuen PC
kaufen wollen" maximal ist.
Seite 9 von 9
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe
BE 6 6 4 6 4 4 30
Mathematik 10_Ma_G_A3.2_CAS_V2
Grundkurs