Gasthermometer - auf Matthias-Draeger.info
Gasthermometer - auf Matthias-Draeger.info
Gasthermometer - auf Matthias-Draeger.info
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
<strong>Gasthermometer</strong><br />
durchgeführt am 21.06.2010<br />
1 PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN<br />
von <strong>Matthias</strong> Dräger, Alexander Narweleit und Fabian Pirzer<br />
1 Physikalische Grundlagen<br />
1.1 Zustandgleichung des idealen Gases<br />
Ein ideales Gas ist durch den Zusammenhang zwischen Den Größen Temperatur (T), Druck (ρ) und<br />
Volumen (V) wie folgt definiert:<br />
ρ · V = n · R · T (1)<br />
J<br />
Dabei ist n die Stoffmenge (in mol) und R die allgemeine Gaskonstante (R = 8, 314472 mol·K ). Ein<br />
ideales Gas besteht in der Vorstellung aus einer Menge von Massenpunkten, zwischen den keine Wechselwirkungen<br />
bestehen.<br />
Die Stoffmenge n setzt sich aus der Anzahl der Teilchen geteilt durch die Avogadrozahl NA ≈<br />
6, 022 · 1023mol−1 , die die Anzahl der Teilchen pro Stoffmenge angibt:<br />
n = N<br />
NA<br />
Diese Gleichung kann nun in (1) eingesetzt werden und man erhält:<br />
ρ · V = N<br />
NA<br />
(2)<br />
· R · T = N · k · T (3)<br />
Dabei ist k = R die universelle Boltzmann-Konstante. Die Zustandsgleichung (1) gilt nicht im<br />
NA<br />
Kondensationsbereich, da durch die hohe Dichte die Wechselwirkungen der teilchen untereinander<br />
nicht mehr vernachlässigt werden können.<br />
1.2 Temperatureinheit und Temperaturskala<br />
Aus der Gleichung (1) folgt, dass die Temperatur nur positive Werte annehmen kann und ein Nullpunkt<br />
bei T = 0, ρ = 0 und V = 0 existiert. Diese Temperaturskala wird thermodynamische oder absolute<br />
Temperaturskala genannt und die Werte in Kelvin (1 K) angegeben. Die Celsius-Skala betrachtet<br />
hingegen den Tripelpunkt des Wassers, der umgerechnet bei 273,16 K liegt. Die Beziehungen zwischen<br />
Kelvin und Grad-Celsius sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:<br />
Celsius-Skala in ◦ C Kelvin-Skala in K<br />
Absoluter Nullpunkt -273,15 0<br />
Schmelzpunkt Wasser 0 273,15<br />
Siedepunkt Wasser 100 373,15<br />
Tabelle 1: Celsius- und Kelvin-Skala<br />
Der Zusammenhang zwischen den Skalen ist wie folgt definiert:<br />
T t<br />
= + 273, 15 (4)<br />
K ◦C 1.3 Praktische Realisierung der Temperatureinheit<br />
Die Kelvin-Skala hat weitere Fixpunkte erhalten, da der Nullpunkt nicht erreichbar ist und reale<br />
Thermometersubstanzen ein nicht lineares Verhalten Zeigen. Einige sind in folgender Tabelle unter<br />
Normaldruck (1013 hPa) <strong>auf</strong>gelistet:<br />
1
1.4 Gasgesetze und Spannungskoeffizienten 2 AUFGABEN<br />
in K<br />
Siedepunkt von Wasserstoff 20,28<br />
Siedepunkt von Sauerstoff 90,188<br />
Siedepunkt von Wasser 373,15<br />
Schmelztemperatur von Silber 1235,08<br />
Schmelztemperatur von Gold 1337,58<br />
Tabelle 2: Auswahl von Fixpunkten der Kelvin-Skala bei Normaldruck<br />
1.4 Gasgesetze und Spannungskoeffizienten<br />
Betrachtet man Gleichung (1) und hält dabei die Stoffmenge n und eine beliebige andere Größe<br />
konstant, dann ergeben sich folgende Gesetzmäßigkeiten:<br />
Gesetz von Konstante Größe in (1) Prozessart Gesetz<br />
Boyle-Mariotte Temperatur T isotherm ρ ∼ 1<br />
Gay-Lussac Druck ρ isobar<br />
V<br />
V ∼ T<br />
Charles Volumen V isochor ρ ∼ T<br />
Tabelle 3: Spezielle Gasgesetze bei konstanter Stoffmenge n und einer weiteren Größe<br />
Das Gesetz von Charles beschreibt einen linearen Zusammenhang als Ursprungsgerade zwischen Druck<br />
und Temperatur. Bei Benutzung der Celsius-Skala verschiebt sich die Druckachse (Ordinate) entlang<br />
der Temperaturachse (Abszisse) um 273,15 K (entspricht 0 ◦ C).<br />
Als Geradengleichung erhält man:<br />
ρ = ρ0 +<br />
Abbildung 1: Gasgesetz von Charles<br />
ρ0<br />
273, 15K · t = ρ0 ·<br />
<br />
1 +<br />
Dabei ist β der Spannungskoeffizient, der für ein ideales Gas<br />
2 Aufgaben<br />
<br />
t<br />
= ρ0 · (1 + β · t) (5)<br />
273, 15<br />
1<br />
273,15K ≈ 3, 66 · 10−3 K −1 beträgt.<br />
1. (Zimmertemperatur) Messung der Zimmertemperatur mit dem <strong>Gasthermometer</strong> und Vergleich<br />
mit der Anzeige eines Quecksilberthermometers.<br />
2. (Spannungskoeffizient) Bestimmung des Spannungskoeffizienten von Luft.<br />
2
3 Geräte und Materialien<br />
Für den Versuch verwendeten wir folgende Geräte:<br />
4 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG<br />
• <strong>Gasthermometer</strong> (offener Quecksilbermanometer und geschlossene, mit Luft erfüllte Glaskugel)<br />
• Elektrische Heizplatte<br />
• 1000ml Becherglas, niedere Form<br />
• Digitalthermometer<br />
• Digitalbarometer<br />
• Zimmerthermometer (für Vergleich mit berechnetem Wert)<br />
4 Versuchsdurchführung<br />
Gerät Fehler<br />
<strong>Gasthermometer</strong> ±1mmHg (geschätzt)<br />
Digitalthermometer ±1 ◦ C<br />
Digitalbarometer ±1mbar = ±1hPa = ±100Pa<br />
Zimmerthermometer ±1 ◦ C (geschätzt)<br />
Tabelle 4: Messfehler in der Übersicht<br />
Wichtig bei der Durchführung war, dar<strong>auf</strong> zu achten, dass der Quecksilberpegel <strong>auf</strong> der rechten Seite<br />
des Rohres immer an der eingezeichneten Linie ausgerichtet war, um sinnvolle Vergleichswerte zu<br />
erhalten. Anhand des Quecksilberpegels <strong>auf</strong> der linken Seite konnten wir dann die Druckdifferenz von<br />
Normaldruck bei Zimmertemperatur ablesen. Hierbei gehen wir von einem manuellen Ablesefehler von<br />
±1 Skaleneinheiten aus.<br />
4.1 Messungen<br />
Aufgabe 1<br />
Zuerst haben wir den Außendruck mithilfe des Barometers bestimmt und kamen <strong>auf</strong> 1016 ± 1mbar.<br />
Die Druckdifferenz, die wir dabei am <strong>Gasthermometer</strong> ablesen konnten, betrug 6 ± 1mmHg bei einer<br />
Zimmerthemperatur von 24 ± 1 ◦ C.<br />
Aufgabe 2<br />
Hiernach haben wir einerseits Eis und andererseits die Heizplatte genutzt, um die Temperatur des<br />
Wassers zu verändern und die Auswirkungen <strong>auf</strong> den abgelesenen Druck zu beobachten. Wir erhielten<br />
folgende Werte:<br />
Temperatur Druckdifferenz<br />
4, 0 ± 1 ◦ C −57 ± 1mmHg<br />
99, 0 ± 1 ◦ C 189 ± 1mmHg<br />
Tabelle 5: Ablese-Ergebnisse in der Übersicht<br />
3
5 Auswertung<br />
5.1 Aufgabe 1<br />
5 AUSWERTUNG<br />
Nach Umrechnung der Druckdifferenz von mmHg in Pa (1 mmHg = 133,3 Pa; Angabe von Skript,<br />
Fehler vernachlässigbar) und Addition dieses Wertes (800 ± 134)Pa zu dem mit Hilfe des Digitalbarometers<br />
gemessenen Außendruck ergab sich ein Druck innerhalb der Glaskugel bei Raumtemperatur<br />
von:<br />
Fehlerrechnung<br />
5.2 Aufgabe 2<br />
ρz = (102.400 ± 234)Pa<br />
δ(∆Hg) = 1<br />
= 0, 167<br />
6<br />
∆ρ = (6 ± 1) · 133, 3 = 799, 8 ± ( 1<br />
· 799, 8)Pa = 800 ± 134Pa<br />
6<br />
ρz = ρ + ∆ρ = 101600 ± 100 + 800 ± 234Pa = 102400 ± 234Pa<br />
Die Drücke beim Schmelzpunkt (ρSmp) des Wassers (4, 0±1, 0) ◦ C und Siedepunkt (ρSdp) des Wassers<br />
(99, 0 ± 1, 0) ◦ C werden analog zu Aufgabe 1 umgerechnet. Wir erhalten folgende Werte:<br />
ρSmp = (94.001 ± 234)Pa<br />
ρSdp = (126.794 ± 234)Pa<br />
Nach β umgeformte Geradengleichung mit ausgerechnetem Spannungskoeffizient (mit ∆t = (99 ±<br />
1) ◦ C − (4 ± 1) ◦ C = (95 ± 2) ◦ C:<br />
β =<br />
ρSdp − ρSmp <br />
ρSmp · ∆t<br />
β = (3, 7 ± 0, 14) · 10 −3 K −1<br />
Modifizierte Gleichung für Berechnung des Temperaturunterschieds zwischen (unbekannter) Zimmertemperatur<br />
und der Schmelztemperatur:<br />
∆t = (ρz − ρSmp)<br />
ρSmp · β<br />
∆t = (24, 2 ± 2, 5) ◦ C<br />
Die Zimmertemperatur ergab sich folgend durch Addition mit der Schmelztemperatur:<br />
tz = tSmp ± ∆ = (25 ± 4) ◦ C<br />
4
Fehlerrechnung<br />
δ(∆HgSmp) = 1<br />
= 0, 018<br />
57<br />
6 ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSION<br />
∆Smp = (−57pm1) · 133, 3 = −7598, 1 ± ( 1<br />
· 7598, 1)Pa = −7598 ± 134Pa<br />
57<br />
ρSmp = ρ + ∆ρSmp = 101600 ± 100 − 7599 ± 134Pa = 94011 ± 234Pa<br />
δ(∆HgSdp) = 1<br />
= 0, 005<br />
189<br />
∆Sdp = (189pm1) · 133, 3 = 25193, 7 ± ( 1<br />
· 25193, 7)Pa = 25194 ± 134Pa<br />
189<br />
ρSdp = ρ + ∆ρSdp = 101600 ± 100 + 25194 ± 134Pa = 126794 ± 234Pa<br />
∆t = (99, 0 ± 1, 0 − 4, 0 ± 1, 0) ◦ C = 95, 0 ± 2, 0 ◦ C<br />
δ(∆t) = 0, 021<br />
β = ρSdp − ρSmp<br />
ρSmp · ∆t<br />
ρSdp − ρSmp = 32793 ± 468Pa<br />
δ(ρSdp − ρSmp) = 0, 014<br />
δρSmp = 0, 0025<br />
δ(ρSdp · ∆t) = 0, 0025 + 0, 021 = 0, 024<br />
δβ = 0, 014 + 0, 024 = 0, 038<br />
β = 0, 003692 ± (0, 038 · 0, 003489)K −1 = 0, 00370 ± 0, 00014K −1<br />
∆t = ρZ − ρSmp<br />
ρSmp · β<br />
ρZ − ρSmp = 8399 ± 468Pa<br />
δ(ρZ − ρSmp) = 0, 056<br />
δ(ρSmp · β) = 0, 0025 + 0, 0378 = 0, 041<br />
δ(∆tZ) = 0, 056 + 0, 041 = 0, 097<br />
∆tZ = 24, 15 ± (0, 097 · 24, 15) = 24, 2 ± 2, 5 ◦ C<br />
6 Zusammenfassung und Diskussion<br />
tZ = tSmp + ∆tZ = 25, 2 ± 3, 5 ◦ C = 25 ± 4 ◦ C<br />
Die aus den isochoren Druckänderungen berechnete Zimmertemperatur stimmt mit dem tatsächlichen<br />
Wert gut überein (25 ◦ C gegenüber 24 ◦ C), obwohl der Mittelwert wenige Grad höher liegt, befindet<br />
sich die gemessene Temperatur immer noch ca. bei einen Viertel des Fehlerintervalls.<br />
Die Abweichung kann dadurch erklärt werden, dass wir mit keinem idealen Gas (oder z.B. mit Edelgasen,<br />
die die Kriterien des idealen Gases im Wesentlichen ganz gut erfüllen), sondern mit Luft arbeiteten.<br />
Für nicht-ideale Gase gilt die van-der-Waals-Gleichung, nach der das p-T-Diagramm keinen linearen<br />
5
6 ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSION<br />
Verl<strong>auf</strong> mehr hätte.<br />
Würde der Spannungskoeffizient des idealen Gases (0, 00366K −1 ) statt dem berechnetem Wert benutzt,<br />
wäre das Endergebnis dem tatsächlichen Wert um ca. 1 ◦ C näher. Auch die Genauigkeit des<br />
Zimmerthermometers kann in Frage gestellt werden, da es sich um kein physikalisches Gerät, sondern<br />
um ein für den Haushalt bestimmtes Produkt handelt.<br />
Der vergleichsmäßig große Fehler (±4 ◦ C) des Endergebnisses stammt von der Fortpflanzung der eher<br />
<strong>auf</strong> der oberen Grenze gewählten Messfehlern durch mehrere Rechenoperationen.<br />
6