Musterlösung¨Ubungsblatt 3 - auf Matthias-Draeger.info

Musterlösung Übungsblatt 3
von Christian Behnert
1.Computerfestplatte (3 Punkte)
Die Magnetscheibe der Festplatte eines Computers dreht sich mit 5400 Umdrehungen
pro Minute.
a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Festplatte?
b) Welche Winkelbeschleunigung ist nötig, um die Festplatte in 4,8 s aus dem
Stillstand auf 5400 Umdrehungen pro Minute hochzudrehen? Nehmen Sie eine
konstante Winkelbeschleunigung an.
c) Wie viele Umdrehungen legt die Festplatte w”ahrend dieser Beschleunigungsphase
zurück?
Lösung
a)
v = s
t
⇒ v = 5400 U
min
60 s
min
= 90 U
s
= 90Hz
Dies setzen wir in die Formel für die Winkelgeschindigkeit ein: ω = 2π ∗ v
⇒ ω = 2π ∗ 90Hz = 570 rad
s
Die Winkelgeschwindigkeit der Festplatte ist 570 rad
s
b)
a = ∆ω
∆t
rad 570 s = −0
rad
4,8s = 118, 75 s2 Die durchschnittliche Winkelbeschleunigung der Festplatte ist 118, 75 rad
s 2
c)
Für die Anzahl der Umdrehungen während der Beschleunigungsphase verwenden
wir: Θ = ω0t + 1
2αt2
2 ∗ 4, 8s = 1368rad
Θ = 0 + 1
2 ∗ 118, 75 rad
s2 Eine Kreisumdrehung entspricht 2π. Das ergibt dann 1368rad
2πrad
≈ 218
Während der Beschleunigungsphase kommt es zu 218 Umdrehungen.
2.Science Fiction (3 Punkte)
Auf einer zylindrisch geformten Raumstation wird durch eine Drehung um die
Zylinderlangsachse kunstliche Schwerkraft erzeugt. Am Boden der Raumstation
(Radius R = 50 m) soll Erdbeschleunigung herrschen (g = 9, 8m/s 2 ).
a) Berechnen Sie die dazu notige Umdrehungs-Winkelgeschwindigkeit ω der
Raumstation.
b) Welche Fallbeschleunigung herrscht dabei in Kopfhohe (1,7m uber dem Boden)?

Lösung
a)
Für die Lösung setzen wir die Zentrifugalkraft gelich der Gewichtskraft. Also:
FZ = FG ⇒ m ∗ ω 2 r = m ∗ g
⇒ ω = g
r ⇒
9,81 m
s 2
50m
= 0, 443 rad
s
Die benötigte Winkel-Umdrehungsgeschwindigkeit der Raumstation ist 0, 443 rad
s
b)
Auch hier setzen wir die beiden Kräfte wieder gleich, wobei nun der neue Radius
betrachtet wird.Diesmal wird jedoch nicht g als StandardFallbeschleunigung
angenommen, sondern stattdessen a als gesuchte Fallbeschleunigung.
rneu = 50m − 1, 7m = 48, 3m
FZ = FG ⇒ m ∗ ω 2 rneu = m ∗ a
⇒ a = ω 2 ∗ rneu
Mit der Winkel-Umdrehungsgeschwindigkeit aus a) ist a = 9, 48 m
s 2 . Dies ist die
Fallbeschleunigung bei 1,7m Höhe.
3.Satelliten (3 Punkte)
Bei Satelliten, die sich in einer Erdumlaufbahn befinden, ist die Zentripetalkraft
gleich groß wie die Gravitationskraft. Die Gravitationskraft ist gegeben durch

FG = G Mgm
r 2
−11 Nm2
mit der Gravitationskonstanten G = 6, 67 ∗ 10 kg2 , der Masse
der Erde ME = 5, 97 ∗ 10 24 kg, dem Abstand des Satelliten vom Erdmittelpunkt
r sowie der Satellitenmasse m. Der Erdradius ist rE = 6370km
a) Die Internationale Raumstation ISS befindet sich auf einer Erdumlaufbahn
in 350 km Höhe über der Erdoberfläche. Wie lange braucht sie für eine Erdum-
rundung?
b) Geostationäre Satelliten befinden sich über dem Äquator und haben eine
Umlaufdauer, die der Erdrotation entspricht. Sie befinden sich daher immer
über dem gleichen Ort der Erde. Berechnen Sie, in welcher Höhe über der Erdoberfläche
sich die Umlaufbahn eines geostationären Satelliten befinden muss.
Lösung
a)
Wir setzen die Zentrifugalkraft gleich der Gravitationskraft.
Also: m ∗ ω 2 ∗ r = G Mgm
r 2
t = 42223005,26m
7728 m
s
G ∗ ME
r 2
Dies stellen wir nach ω um und kommen somit auf ω =
⇒ 6, 67 ∗ 10−11 Nm2 kg2 5,97∗10
∗
24kg (6370000m+350000m) 3 −3 rad
= 1, 15 ∗ 10 s
Die Geschwindigkeit der Satelliten: v = ω ∗ r = 36, 22 ∗ 6720000m = 7728 m
s
U = 6720000m ∗ 2π = 42223005, 26m, in t = s
v eingesetzt ergibt das
= 5463, 64s
Die Erdumrundung eines Satelliten dauert 5463,64 Sekunden.
b)
t = 24h = 86164s
Wir berechnen zunächst die Winkelgeschwindigkeit und setzen anschließend
wieder die Gravitationskraft und Zentrifugalkraft gleich, um den Abstand zum
Erdmittelpunkt zu berechnen.
ω = 2π
86164s
m
= 7, 29 ∗ 10−5
s
⇒ r = 3
G∗ME
ω2
6,67∗10−11 Nm2 kg2 ∗5,97∗1024kg m∗ω2∗r = G Mgm
r2 = 3
⇒(Abstand zum Erdmittelpunkt)
(7,29∗10−5 rad
Nun können wir die höher der geostationären Sateliten durch Defferenzierung
der Höhen ausrechnen.
h = 42158165, 34m − 3670000m = 35788165, 34m ≈ 35788, 16km
s )2 = 42158165, 34m
Geostationäre Satelliten sind 35788,16km von der Erdoberfläche entfernt.

4.Druck (3 Punkte)
Eine Reiszwecke mit einem Spitzenradius von 50 µ m wird mit einer Kraft von
50 N in eine Holzplatte gedruckt. Schätzen Sie den an der Spitze wirkenden
Druck ab und vergleichen Sie ihn mit dem Atmosphärendruck (Normalbedingung:
101,3 kPa).
Lösung
Formel für den Druck: P = F
A
Zunächst berechnen wir die Fläche von der Nadelspitze:
A = π ∗ (50 ∗ 10 −6 m) 2 = 7, 85 ∗ 10 −9 m 2
In Die Formel für den Druck eingesetzt: P = 50N
7,85∗10 −9 = 6366200kP a =
6366, 2MP a
Der wirkende Druch auf die Hozplatte ist 6366,2MPa und damit um ca. 60MPa
größer als der Atmosphärendruck.