Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

344 19. Parameterraumoptimierung
Schätzen voller Kovarianzmatrizen in der Regel nicht ausreichend viele
Trainingsmuster zur Verfügung stehen bietet sich ein Vorgehen an, das in
der Literatur als semitied covariances bezeichnet wird [?]. Hierbei werden
für die Gauß-Mischverteilungen diagonale Kovarianzmatrizen Dj verwendet,
allerdings teilen sich mehrere Gauß-Verteilungen zusätzlich eine gemeinsame
volle Matrix A, so daß die effektive Kovarianzmatrix ADjA ⊤ ist und
der Wahrscheinlichkeitswert für die Beobachtung x im Modell j wie folgt
berechnet wird:
1
2πd |ADjA⊤ | e−12
(x − µj) ⊤ (ADjA ⊤ ) −1 (x − µj)
(19.1)
Hierbei ist die Kovarianzmatrix σj = ADj, das Produkt einer modellunabhängigen
vollen Matrix A und einer modellabhängigen Diagonalmatrix
Dj. Die Berechnung von Gl. 19.1 kann vereinfacht werden:
1 1
|A| 2 2πd |Dj| e−12
(x′ − µ ′ j )⊤D −1
j (x′ − µ ′ j )
mit
(19.2)
x ′ = A −1 x und µ ′ = A −1 µ (da A = A ⊤ ) (19.3)
In Gl. 19.2 ist zu erkennen, daß für die Verwendung von semitied covariances
kein besonderer zusätzlicher Rechenaufwand während der Erkennung
nötig ist. Die resultierende Gauß-Verteilung ist verwendet weiterhin eine
diagonale Kovarianzmatrix. Lediglich die Mittelwerte sowie die Vorfaktoren
der Verteilungen müssen angepaßt werden. Die Multiplikation der Beobachtung
x kann unter Umständen mit anderen Linearen Operationen in
der Signalverarbeitung (zum Beispiel LDA, Vokaltraktlängennormierung
oder ähnliche) kombiniert werden. Es ist nicht möglich, diejenige Matrix
A, die die Beobachtungswarhscheinlichkeit aller Trainingsdaten optimiert,
analytisch zu bestimmen. Daher ist wird ein iteratives Verfahren ähnlich
dem Expectation Maximization Algorithmus verwendet.