Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

anwenden und erhalten:
12.4 Die drei Probleme der Hidden Markov Modelle 197
ξt(ij) = P(qt = i, qt+1 = j, X|λ)
P(X|λ)
t − 1 t t + 1 t + 2
...
...
si
aij · b(xt+1)
sj
αt(i) βt+1(j)
Abb. 12.7. Berechnung der ξ aus den α und β
...
...
(12.19)
Der Zähler des Bruches von Gl. 12.19 gibt die Wahrscheinlichkeit dafür
an, daß die Beobachtung X gemacht wird und ein Übergang von si nach sj
stattfindet. Dies läßt sich schreiben, als das Produkt der Wahrscheinlichkeiten
αt(i), βt+1(j) und der ” Verbindung“ dazwischen, so wie in Abb. 12.7
dargestellt:
ξt(ij) = αt(i)aijbj(xt+1)βt+1(j)
l αt(l) · βt(l)
(12.20)
Wie nun mit Hilfe der α, β, γ und ξ die HMM-Parameter optimiert
werden können, definieren die Baum-Welch-Regeln:
Die Wahrscheinlichkeit π(i) dafür, daß si der erste Zustand eines Prozesses
ist, wird ersetzt durch π ′ (i) mit:
π ′ (i) = P(q1 = i|X, λ) = P(q1 = i, X|λ)
P(X|λ)
α1(i)β1(i)
= γ1(i) =
j αt(j) · βt(j)
(12.21)
Die Übergangswahrscheinlichkeit aij dafür, daß sj der Nachfolgezustand
von si ist, wird ersetzt durch a ′ ij mit:
a ′ ij =
T t=1 P(X, qt = i, qt+1 = j|λ)
T t=1 P(X, qt
T t=1 =
= i|λ)
ξt(i, j)
T t=1 γt(i)
(12.22)