Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

12.4 Die drei Probleme der Hidden Markov Modelle 191
Der gesuchte Wert für die Wahrscheinlichkeit, bei gegebenem HMM λ die
Beobachtung X = x1, x2, . . .xn zu machen, läßt sich direkt aus den Gl. 12.4
und 12.5 folgern:
P(X|λ) =
n
αT(j) (12.7)
j=1
Durch die rekursive Definition von αt(j) läßt sich nun P(X|λ) statt
durch Gl. 12.3 in O(T · n T ) mit dem Forward-Algorithmus viel schneller in
O(T · n) berechnen (unter der Annahme, daß die Zahl der Übergänge mit
positiver Wahrscheinlichkeit für jeden Zustand durch eine kleine Konstante
nach oben begrenzt ist). Der Forward-Algorithmus ist zudem auch sehr
speichereffizient, weil zu jedem Zeitpunkt t lediglich Speicherplatz für die
αt−1(. . .) und die αt(. . .) benötigt wird. Alle zuvor berechneten α1...t−2(. . .)
werden nicht mehr benötigt. D.h. aus der Sicht eines DP-Algorithmus
werden immer nur zwei Spalten der DP-Matrix im Speicher gehalten.
Mit Hilfe des Forward-Algorithmus läßt sich auch ein Erkennungsalgorithmus
konstruieren. Hierbei gehen wir davon aus, daß eine Sprachaufnahme in
eine von K Klassen klassifiziert werden muß. Diese Klassen könnten beispielsweise
einzelne Phoneme, ganze Wörter oder sogar Phrasen sein. Gesucht ist
also zu einer Aufnahme X die Klasse Ĉ mit:
Ĉ = argmax
C
P(λC|X) = argmaxP(X|λC)
· P(C) (12.8)
C
wobei λC das zur Klasse C gehörende HMM ist, und P(C) die zuvor
ermittelte a priori Wahrscheinlichkeit für die Klasse C ist. Die Klassifikation
läuft so ab, daß für alle in Frage kommenden Klassen mit Hilfe
des Forward-Algorithmus P(X|λC) berechnet wird und unter allen das
Maximum entsprechend Gl. 12.8 gewählt wird.
Experiment 12.3: Erkennung mit dem Forward-Algorithmus
Starten sie das Applet WeatherHMM und klicken Sie auf Rücksetzen .
Geben Sie irgend eine Folge X von Beobachtungen ohne Zustände ein.
Wählen Sie einmal das Sommer-Modell und klicken Sie auf die Schaltfläche
Evaluieren . Das Ergebnis ist der Wert P(X|Sommer). Berechnen sie
entsprechend P(X|Winter).
Unter der Annahme, daß P(Sommer) = P(Winter) kann man nun schließen,
daß wenn P(X|Sommer) > P(X|Winter) und die Beobachtung X gemacht
wurde, die aktuelle Jahreszeit eher der Sommer ist.