Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

12.4 Die drei Probleme der Hidden Markov Modelle 189
Wahrscheinlichkeit. Die Gleichungen werden zunächst für beide Versionen
identisch sein.
Aus Gleichung 12.1 und aus
P(X|λ) =
P(X|λ, sq1, sq2, . . .sqT ) (12.2)
q1,q2,...qT
läßt sich ableiten:
P(X|λ) =
q1,q2,...qT
T −1
π(sq1) · bq1(x1) · aqk,qk+1 · bk+1(xk+1) (12.3)
Gleichung 12.3 drückt also aus, daß sich die Wahrscheinlichkeit, X im
Modell λ zu beobachten, aus der Summe der entsprechenden bedingten
Wahrscheinlichkeiten über alle Zustandsfolgen berechnen läßt. (Man beachte,
daß die Laufvariable der Summe eine Zustandsfolge als Wert hat und nicht
einzelne Zustände.) Offensichtlich läßt sich dies – obwohl als geschlossene
Formel gegeben – so nur für triviale Markov Modelle mit sehr wenigen
Zuständen berechnen. Bei n verschiedenen Zuständen gibt es immerhin n!
verschiedene Zustandsfolgen. Eine andere Art der Berechnung ist also nötig.
Am anschaulichsten wird das Evaluierungsproblem mit Hilfe des
Forward-Algorithmus berechnet. Der Begriff ” Forward“-Algorithmus kommt
vom so genannten ” Forward-Backward“ Algorithmus, der zur Lösung des
Optimierungsproblems verwendet wird. Für das Evaluierungsproblem wird
nur ein Teil des Forward-Backward verwendet. Die zentrale Idee hinter dem
Forward-Algorithmus ist die rekursive Berechnung von P(x1, x2, . . . xt|λ) als
Funktion von t − 1:
Offensichtlich gilt:
k=1
P(x1, x2, . . . xT |λ)
=
j=1..n P(x1, x2, . . . xT , qT = j |λ)
(12.4)
Übrigens gilt Gleichung 12.4 selbstverständlich nicht nur für qT sondern
auch für jedes beliebige qt.
Sei nun
αt(j) = P(x1, x2, . . .xt, qt = j|λ) (12.5)
Es bezeichnet also αt(j) die Wahrscheinlichkeit, daß sich das HMM λ
zum Zeitpunkt t im Zustand sqt befindet und bis dahin die Beobachtung
x1, x2, . . .xt gemacht bzw. emittiert wurde. Ähnlich wie beim Dynamischen
Programmieren in Abschnitt 11.2 kann αt(j) berechnet werden aus verschiedenen
αt−1(. . .).