Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

146 9. Klassifikation und Mustererkennung
Abb. 9.10. Veranschaulichung der Hauptachsentransformation
Klassifikationsaufgabe besser getrennt werden. Im nicht transformierten
Raum (links) sind die Trennlinien viel schwerer zu lernen als im transformierten
Raum (rechts).
Allgemein läßt sich das Ziel einer LDA-Transformation wie folgt definieren:
Seien k Klassen gegeben. Bezeichne µi denn Mittelwert aller Muster x (i)
j ,
die zur Klasse i gehören, und Wi die Streumatrix der Klasse i (within scatter).
µ sei der Mittelwert aller Muster und T die Streumatrix aller Klassen (total
scatter). Die durchschnittliche Streuung W sei der mit den Klassengrößen ni
gewichtete Mittelwert aller Wi, also:
Wi = 1
ni
ni
j=1
(x (i)
j − µi) · (x (i) ⊤
j − µi)
k ni
W =
n
i=1
Wi,
k
mit n =
i
T = 1
N(xj − µ) · (xj − µ)
n
⊤
j=1
ni
(9.18)
(9.19)
(9.20)
Gesucht ist nun eine lineare Transformation A, die dazu führt, daß die
Klassen möglichst weit voneinander weg liegen und jede Klasse möglichst
kompakt ist, d.h. daß die Beispiele einer Klasse möglichst nahe beieinander
liegen. Formal heißt das, wir suchen:
Ā = argmax
A
|TA|
|WA|
= argmax
A
|TA · W −1
A | (9.21)