Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

132 9. Klassifikation und Mustererkennung
Würde man auf diese Art zwei verschiedene Phänomene modellieren, so
würden durch eine einfache Nächste-Nachbar-Schätzung die Punkte in der
grau unterlegten Fläche mit großer Wahrscheinlichkeit falsch klassifiziert
werden.
Abb. 9.4. Klassifikator mit Mahalanobis-Distanzen
Eine Lösung dieses Problems bietet die Verwendung von Mahalanobis-
Distanzen statt euklidischer Distanzen:
d(µ, x) = (x − µ) ⊤ Σ −1 (x − µ) (9.3)
Hierbei ist die Distanz eines Musters x zu einem Klassenrepräsentanten µ
zusätzlich durch die Kovarianzmatrix Σ beeinflußt. Wenn Σ die Einheitsmatrix
ist, so ist die Mahalanobis-Distanz gleich dem Quadrat der euklidischen
Distanz. Mahalanobis-Distanzen sind allerdings wesentlich aufwendiger zu
berechnen, und benötigen darüber hinaus noch die Schätzung von Σ aus
allen Beispielvektoren, die zu der Klasse gehören. Abb. 9.4 illustriert, die
Mahalanobis-Distanzen für zwei Repräsentanten, von denen der linke mehr
und der rechte weniger streut. Die Höhe des Gitters gibt für jeden Punkt
des Merkmalsraums die Summe der Mahalanobis-Distanzen zu den beiden
Repräsentanten an. Die konzentrischen Ellipsen sind jeweils Punkte mit
gleicher Mahalanobis-Distanz zu einem der Repräsentanten. Der mit dem
Pfeil markierte Punkt würde – obwohl näher am rechten Repräsentanten –
zur linken Klasse zugeordnet werden.
k-Nächste-Nachbarn
Ein typischer Fehler, den einfache Nächster-Nachbar-Klassifikatoren machen,
ist das Nichterkennen eines Ausreißers in den Referenzdaten. Liegt ein