Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

8.6 Wavelets 125
zum Beispiel eine Rechteckfunktion, so ist diese nur sehr schwer durch
die Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen zu synthetisieren. Während
die Summe im ” flachen“ Bereich des Rechtecks relativ schnell konvergiert,
bilden sich an den ” Ecken“ extreme Ausschläge, deren Höher kurioserweise
trotz Konvergenz nicht kleiner wird. Solches und ähnliches Verhalten der
Fourieranalyse unstetigen oder ” sehr spitzen“ Funktionen hat dazu geführt,
daß eine Synthese mit Hilfe anderer Funktionen so genannter ” Wavelets“ [?]
angestrebt wurde. Dabei werden keine unendlich ausgedehnten Funktionen
(wie sin und cos) verwendet, sondern Funktionen mit endlichem Definitionsbereich.
Die Basis besteht dann aus einer Menge gleichartiger Funktionen,
die aber unterschiedlich stark im Zeitbereich in die Breite gedehnt sind
(verschiedenskalige Basisfunktionen). Die ungedehnte Ursprungsfunktion
wird auch als ” Mutterfunktion“ Φ bezeichnet. Die Basis besteht aus den
Funktionen:
s −
Φsl(x) = 2 2 Φ(2 −s x − l) (8.5)
mit verschiedenen ganzzahligen ” Dehnungsfaktoren“ s und verschiedenen
Phasenverschiebungen l. Die Überlegungen zur Waveletanalyse von
Funktionen sind dann vergleichbar mit der Fourieranalyse und führen für
Diskrete Signale zu einer Diskreten Wavelet Transformation (DWT) die
ebenso eine lineare Matrixtransformation ist und auch eine schnelle Variante
(fast wavelet transform) besitzt. Bei der Wahl der Mutterfunktion Φ gibt
es viele Freiheiten. Manche Forscher [?] verwenden sogar fraktale Mutterfunktionen.
In der Erkennung kontinuierlicher Sprache unter alltäglichen
Bedingungen haben sich Wavelettransformation allerdings nicht gegenüber
Fouriertransformationen durchsetzen können.