Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

8.3 Cepstralanalyse
8.3 Cepstralanalyse 119
Betrachten wir das Quelle-Filter-Modell des Vokaltraktes wie in Abb. 4.9
dargestellt. Dabei nehmen wir an, daß das aufgezeichnete Sprachsignal
entsteht, indem eine Anregungsschwingung a durch mehrere hintereinanderfolgende
Filter gefiltert wird. Wenn wir davon ausgehen, daß es sich bei
diesen Filtern um lineare zeitinvariante Filter handelt, dann können wir die
Hintereinanderausführung mehrerer Filter zur Anwendung eines einzigen
Filters b zusammenfassen. Die Beobachtung ist dann also die Faltung
c = a ∗ b von a mit b.
Wenn wir eine Spektralanalyse, also eine Fouriertransformation der Beobachtung
durchführen, erhalten wir: C = A · B wobei C die Transformierte
von c, A die Transformierte von a und B die Transformierte von b ist. Eine
anschließende Logarithmierung liefert log C = log A + log B. Jetzt sehen
wir, daß das logarithmierte Spektrum eine Summe zweier logarithmierter
Spektren ist. Spricht jemand mehrere Vokale hintereinander, so kann dabei
die Anregungsschwingung unverändert bleiben während sich die Form des
Vokaltraktes, insbesondere die Lage der Zunge ändert. Das heißt über eine
gewisse Zeit bleibt a konstant, während nur b sich ändert. Berechnet man
den Mittelwert ¯ C = Ā + ¯ B von log C über diesem Zeitraum und subtrahiert
ihn von jedem einzelnen logarithmierten Kurzzeitspektrum, dann erhalten
wir log A(t) + log B(t) − ¯ C = log B(t) − ¯ B, also nur noch Anteile des
” variablen“ Anteils des Signals. Analog verhält es sich, wenn wir annehmen,
daß der Vokaltrakt – und somit der gesamte Filter – konstant bleibt. Dann
befinden sich im mittelwertsbefreiten logarithmierten Spektrum nur die
” variablen“ Anteile der Anregungsfunktion.
Eine anschließende Fouriertransformation oder auch deren Inverse ändert
aufgrund der Linearitätseigenschaften derselben an diesen Sachverhalten
nichts. In Anlehnung an die Bezeichnung ” Spektrum“ bezeichnen wir die
Funktion FT −1 (log FT(f)) als das Cepstrum der Funktion f.
Statt der vollständigen inversen Fouriertransformation FT −1 kann
auch eine andere spektralanalysierende Transformation wie z.B. die diskrete
Cosinus-Transformation verwendet werden. In jedem Fall ist das
Ergebnis die Spektralanalyse des Spektrums selbst, so daß die niedrigen
Cepstralkoeffizienten die niedrigen Schwingungsanteile des als Schwingung
betrachteten Spektrums enthalten und die höheren Cepstralkoeffizienten die
höherfrequenten Schwingungsanteile enthalten.
Insbesondere kann man sagen, daß der 0-te Cepstralkoeffizient den
Konstantanteil des Spektrums beschreibt, also den durchschnittlichen Wert
aller einzelnen Spektralanteile des Ursprungssignals, d.h. die Gesamtenergie.