Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

102 7. Grundlagen der Signalverarbeitung
Die Berechnung des Signals s[i] aus den Frequenzanteilen c[i] geschieht
entsprechend einfach mit Hilfe der inversen diskreten Fouriertransformation
S = DFT −1
n · C (7.64)
Bei der Berechnung eines diskreten Leistungsspektrums (c[0], c[1], . . .c[n−
1]) eines Signals (s[0], s[1], . . .s[n − 1]), das aus einem durch ω bandbegrenz-
ten f(x) durch Abtasten mit der Abtastrate 2 · ω gewonnen wurde, ist der
am Gesamtsignal.
Wert c[i] der Anteil der Frequenz iω
n
Betrachtet man die Rechenschritte, die nötig sind, um die DFT-
Matrixmultiplikation durchzuführen stellt man fest, daß viele Rechenoperationen
wiederholt werden. Da w eine n-te Einheitswurzel ist, gilt zum
Beispiel (w j ) n = w j oder (w j ) (n/2) = −w j . Unter Vermeidung doppelter
Berechnung derselben Werte wurde in [?] ein Teile-und-herrsche-Algorithmus
vorgestellt, der die obige Matrixmultiplikation statt mit dem üblichen zeitlichen
Aufwand von ca. O(n 3 ) in nur O(n log n) berechnet. Der Algorithmus
ist unter dem Namen schnelle Fouriertransformation (engl. fast Fourier
transform FFT) bekannt. Er funktioniert optimal für Werte von n, die
Zweierpotenzen sind (wegen des Teile-und-herrsche-Prinzips). Er hat in
vielen Bereichen der Signalverarbeitung und Mustererkennung den Aufwand
für Umwandlung eines Signals aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich
so reduziert, daß durch ihn erst sinnvolles Arbeiten möglich wurde. Es existieren
einige Abwandlungen des Algorithmus, die bei Kenntnis der Art des
Signals (zum Beispiel reellwertig) oder bei bestimmten Einschränkungen des
Ergebnisses (zum Beispiel nur Leistungsspektrum ist interessant) besonders
effizient arbeiten.
7.5 Codierung akustischer Signale
Die natürlichste Methode der Codierung von Sprachsignalen ist die so
genannte Pulse Code Modulation (PCM). Auf irgend eine Art sind die
allermeisten gängigen Codes (ob bekannt als .wav oder .au oder .riff etc.)
PCM-Codes. In einer Datei stehen die Meßwerte in ihrer zeitlichen Reihenfolge
hintereinander, wobei n Bits (typischerweise 8 oder 16) als natürliche
Binärzahl oder als ganze Zahl in Zweierkomplementdarstellung den Bereich
f min bis fmax auf die Werte 0 bis 2 n − 1 bzw. −2 n−1 bis 2 n−1 − 1 abbilden.
In der Regel werden die meisten Meßwerte von Sprachsignalen, die der
Analog/Digital-Wandler liefert, eher in der Nähe der 0 (bzw. des Wertes,