Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

n−1
s[k] = c[j] · w kj
j=0
Offensichtlich gilt
7.4 Die diskrete Fouriertransformation 101
(7.58)
w n = e 2πi = 1 (7.59)
Das heißt, w n ist eine n-te Einheitswurzel. Der Vektor C =
(c[0], c[1], . . .c[n − 1]) ⊤ , das heißt die komplexen Koeffizienten der Fourierreihe
wird als die diskrete Fouriertransformierte des Vektors
S = s[0], s[1], . . .s[n − 1] bezeichnet und berechnet sich analog zum kontinuierlichen
Fall als
c[k] = 1
n−1
s[j] ·
n
w −kj
j=0
(7.60)
Dementsprechend wird Gl. 7.58 auch die inverse diskrete Fouriertransformation
genannt. Bei genauerer Betrachtung der Gl. 7.60 ist
erkennbar, daß die Transformation in Form einer Matrix-Multiplikation
darstellbar ist:
⎛
⎜
⎝
c[0]
c[1]
c[2]
.
c[n−1]
⎞
⎟
⎠
= 1
n
⎛
1 1 1 . . . 1
⎜
⎝ .
.
.
. .. .
Oder in Kompaktdarstellung:
1 w−1 w−2 . . . w−(n−1) 1 w−2 w−4 . . . w−2(n−1) 1 w −(n−1) w −2(n−1) . . . w −(n−1)(n−1)
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟·
⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
s[0]
s[1]
s[2]
.
s[n−1]
⎞
⎟
⎟(7.61)
⎟
⎠
C = DFTn · S (7.62)
Hierbei ist DFTn die Vandermondsche Matrix von
(1, w −1 , w −2 , . . .w −(n−1) ) der Ordnung n, auch diskrete Fouriertransformationsmatrix
der Größe n genannt. Sie ist leicht invertierbar, und es gilt
DFT −1
n (i, j) =
1
n · DFTn(i, j)
(7.63)