Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

7.4 Die diskrete Fouriertransformation 99
Gl. 7.51 wird das Abtasttheorem oder auch das Nyquist-Theorem
genannt, in anderem Zusammenhang gelegentlich auch Shannon-Theorem.
Die Gültigkeit des Theorems läßt sich wie folgt auch beweisen:
Sei f(t) eine bandbegrenzte Funktion mit der Periode L und der Grenzfrequenz
ωg. Die Fourierreihe von f ist
f(t) =
dann ist
n
k=−n
e iωgt f(t) = e iωgt
cke ikω0t
n
k=−n
mit ω0 = ωg/n (7.52)
cke ikω0t =
2n
ck−n(e iω0t ) k
k=0
(7.53)
Der letzte Term in Gl. 7.53 ist ein Polynom 2n−ten Grades in e iω0t . Das
heißt, es ist mit 2n + 1 Punkten eindeutig bestimmbar, nämlich durch die
Abtastpunkte f(t0), f(t0 + ts), . . . , f(t0 + 2nts) mit n = ωg · (L/2π) und
ts < π/ωg.
Daß 2n Punkte nicht ausreichen und somit eine Abtastung mit einer
Frequenz ωs = 2ωg, die nicht echt größer als die Grenzfrequenz ωg ist,
unzureichend ist, kann man an einem einfachen Beispiel nachprüfen. Sei als
Signal ein einfacher Sinus f(x) = sinx mit der Frequenz 1 gegeben. Eine
Abtastung mit der Frequenz 2 würde die Werte sin 0, sinπ, sin 2π, . . .sin nπ
liefern. Diese sind alle 0.
7.4 Die diskrete Fouriertransformation
Prinzipiell läßt sich die Fouriertransformierte einer Impulsfolge analytisch
als die Summe der Transformierten jedes einzelnen Impulses berechnen.
Sinnvoller ist allerdings die Anwendung der diskreten Fouriertransformation
für zeitdiskrete Signale.
Sei durch Abtasten der Funktion f(x) an den Stellen 0, 2π 4π
n , n
das zeitdiskrete Signal s[0], s[1], . . .s[n − 1] entstanden, also s[k] = f(k · 2π
n ).
Wenn f(x) bandbegrenzt ist, dann ist entsprechend der Gl. 7.52
, . . . (n−1)·2π
n