Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

δ(x)
F(δ)(ω)
Abb. 7.6. Die Fouriertransformierte des Einheitsimpulses
7.3 Fourieranalyse 93
Und die Fouriertransformierte von zwei Impulsen (Abb. 7.7) F(δτ + δ−τ)
ist entsprechend
F(δτ + δ−τ)(ω) =
δτ(x) + δ−τ(x)
∞
−∞
(δ(t − τ) + δ(t + τ))e −iωt dt
= e −iω·τ + e −iω·(−τ)
= 2 cos(ωτ) (7.46)
Abb. 7.7. Die Fouriertransformierte zweier Impulse
F(δτ + δ−τ)(ω) = 2 cos(ωτ)
Man kann an der Fouriertransformierten 2 cos(ωτ) leicht erkennen, daß
die ” Frequenz“ τ des Cosinus umso höher ist, je weiter die beiden Impulse
voneinander entfernt sind. Lassen wir die beiden Impulse aufeinander zu
gegen null wandern, so verlängert sich die Periode der Fouriertransformierten
bis sie schließlich ∞ ist und die Fouriertransformierte nur noch eine
Konstante ist, wie die eines einfachen Impulses mit doppelter Höhe (vgl.
Abb. 7.8).
Je mehr Impulse wir transformieren, umso mehr Schwingungen enthält
im allgemeinen die Transformierte. Abb. 7.9 zeigt die Transforierten für 3, 5,
9 und 17 Impulse. Wenn wir die Zahl der Impulse unendlich werden lassen,