Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

92 7. Grundlagen der Signalverarbeitung
Verschiebung
F(f(t − T)) = e −iωT F(f) (7.42)
F(e −iω0t f(t)) = F(ω − ω0) (7.43)
Faltung
F(f ∗ g) = F(f) · F(g) (7.44)
Für die Verarbeitung von Sprachsignalen sind vor allem die Linearitätseigenschaft
und die Faltungseigenschaft von Interesse. Dies leuchtet
besonders ein, wenn wir die Produktion von Sprache entsprechend dem
Quelle-Filter Modell (s. Abs. 4.1.4) betrachten, dann gibt es ein Anregungssignal
u(t), das in der Regel an der Stimmritze entsteht, und einen Kanal
v(t), der durch die Form des Vokaltraktes geprägt wird. Man kann die
Abstrahlfunktion l(t) der Lippen und Nasenlöcher getrennt betrachten oder
auch der Einfachheit halber mit in den Vokaltraktkanal einfließen lassen.
Der Vollständigkeit wegen sollte man auch noch den Kanal betrachten,
der in der Schallübertragung durch die Luft a(t) und in der elektrischen
Signalübertragung vom Mikrophon bis zum Analog/Digital-Wandler m(t)
gegeben ist. Berücksichtigt man auch hier, daß die Hintereinanderausführung
mehrerer Faltungsoperationen wieder eine Faltung ist, so kann man auch
alle Kanäle zu einem einzigen h(t) zusammenfassen.
Die Fouriertransformierte des gemessenen Signals s(t) = u(t) ∗v(t) ∗l(t) ∗
a(t) ∗ m(t) = u(t) ∗ h(t) ist dann S(ω) = U(ω) · V (ω) · L(ω) · A(ω) · M(ω) =
U(ω) · H(ω) wobei S, U, V, L, A, M und H die Fouriertransformierten von
s, u, v, l, a, m und h sind. Aus der recht komplizierten Operation der Faltung
eines Signals mit der Kanaleigenschaft im Zeitbereich entsteht also eine
recht einfache Multiplikation im Frequenzbereich.
Betrachten wir die Fouriertransformierte eines einfachen Impulses (Abb.
7.6), also ˆ δ = F(δ). Wir können dies mit ein wenig salopper Mathematik wie
folgt berechnen:
F(δ)(ω) =
∞
δ(t)e
−∞
−iωt dt = e −iω·0 = 1 (7.45)
Oder, wenn wir berücksichtigen, daß ω = 2π/T, können wir auch
schreiben F(δ)(t) = 1
2π , wobei t jetzt nicht mehr als Kreisfrequenzvariable
(Einheit: Radialwinkel pro Sekunde) sondern als Zeitfrequenzvariable
(Einheit: 1.0 pro Sekunde) betrachtet wird.