Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

7.3 Fourieranalyse 91
Leistungsspektrum oder das Amplitudenspektrum. Diese unterscheiden sich
nach der beliebten Anwendung des Logarithmus nur noch um einen Faktor
2 voneinander.
Bezeichnung Term
Spektrum |F(ω)| · e iΦ(ω)
Amplitudenspektrum |F(ω)|
Phasenspektrum Φ(ω)
Leistungsspektrum |F(ω)| 2
= Energiespektrum
Tabelle 7.2. Verschiede Bedeutungen des Begriffs ” Spektrum“
Ähnlich wie bei der Willkürlichkeit der Wahl der Koeffizienten bei der
Fourierreihenzerlegung (z.B. beim Vorfaktor des Koeffizienten a0 und bei
der Entscheidung cos(x) statt sin(x + π/2) zu verwenden) gibt es auch
verschiedene Möglichkeiten der Transformation aus dem Zeitbereich in den
Spektralbereich. So findet man in mancher Literatur auch Definitionen, die
von Gl. 7.36 abweichen. Dementsprechend ist dann auch die inverse Fouriertransformierte
etwas anders definiert. So findet man z.B. in physikalischen
Lehrbüchern auch öfter mal die etwas symmetrischere Definition, bei der die
Faktoren vor dem Integral nicht 1 gegenüber 1/(2π) sind, sondern sowohl
für die Vorwärts- als auch für die Rückwärtstransformation jeweils 1/ √ 2π.
Aus der Definition der Fouriertransformierten lassen sich leicht einige
interessante Eigenschaften ableiten. Wenn F(h) die Fouriertransformierte
der Funktion h ist, dann gelten die folgenden Gleichungen:
Linearität
F(c1f1 + c2f2) = c1F(f1) + c2F(f2) (7.40)
Ableitung
F(f (n)
1 ) = (iω) n F(f) (f (n) = n − te Ableitung von f) (7.41)