Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

90 7. Grundlagen der Signalverarbeitung
F wird auch als das Spektrum von f bezeichnet. Die inverse Abbildung
wird inverse Fouriertransformation genannt:
f(t) = 1
2π
+∞
−∞
F(ω) · e iωt dω (7.37)
Der partiellen Summe bei der Fourierreihenentwicklung entspricht bei
der kontinuierlichen Fouriertransformation die Integration über ein endliches
Intervall der Frequenzachse. Wenn eine Funktion f(t) zusammengesetzt ist
aus Schwingungen mit einer maximalen Frequenz die kleiner als ωg ist, dann
heißt f(t) bandbegrenzt und läßt sich schreiben als:
f(t) = 1
+ωg
F(ω) · e
2π −ωg
iωt dω (7.38)
Das heißt insbesondere, daß F(ω) = 0 für |ω| > ωg. In der Praxis können
wir davon ausgehen, daß Sprachsignale immer bandbegrenzt sind. Selbst
wenn sie sehr hohe Frequenzen enthalten sollten, was sehr selten vorkommt,
führt dies durch die in der Regel bei typischen Analog-Digital Wandlern
(bzw. ” Soundkarten“) vorgeschalteten Anti-Aliasing-Filter dazu, daß diese
Frequenzen keinen Effekt auf die Signalverarbeitung haben. Für die Sprache
sind sowieso nur Frequenzen wie in Abb. 5.3 dargestellt von Bedeutung.
Mischt man Schwingungen verschiedener Frequenzen ω1, ω2, . . . zu einem
Signal f(t) = sin(ω1t + φ1) + sin(ω2t + φ2) + . . . zusammen, und kann
man davon ausgehen, daß keine zwei Frequenzen ωi und ωj Vielfache
voneinander sind, so spielt es für den resultierenden Ton keine Rolle, mit
welchen Phasenverschiebungen φ1, φ2, . . . die Mischung durchgeführt wird.
Das Ergebnis hört sich gleich ein. In der Praxis sind Sprachsignale sowieso
nicht nur aus einer Handvoll einzelner Schwingungen zusammengesetzt, so
daß das Problem der Phasenverschiebung komplett vernachlässigt werden
kann. Gehen wir nun davon aus, daß eine Fouriertransformierte F(ω) aus
einem Phasenanteil und einem Amplitudenanteil besteht:
F(ω) = |F(ω)| · e iΦ(ω)
(7.39)
Auch wenn nach der Definition der Begriff Spektrum für die gesamte
Fouriertransformierte steht, so wird er oft auch abkürzend für das Leistungsspektrum
verwendet. Tab. 7.2 faßt verschiedene Bedeutungen des Begriffes
zusammen. Für die Spracherkennung spielt das (komplexe) Spektrum
sowie das Phasenspektrum keine bedeutende Rolle. Am wichtigsten ist das