Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

so erhalten wir
f(t) =
∞
k=−∞
cke ikω0t
7.3 Fourieranalyse 89
mit ck = 1
L/2
f(t)e
L −L/2
−ikω0t dt (7.32)
Die Koeffizienten ck lassen sich auch durch die entsprechenden ak und bk
darstellen:
⎧
⎨a0/2
k = 0
ck = (ak − ibk)/2
⎩
(a−k + ib−k)/2
k > 0
k < 0
Der partiellen Summe
1
2 a0 +
(7.33)
n
(ak coskω0t + bk sin kω0t) (7.34)
k=1
entspricht dann:
n
k=−n
cke ikωot
(7.35)
Die Fourierreihenzerlegung ist eine Art Vorstufe zur Fouriertransformation,
welche sich nicht nur auf periodische sondern auf beliebige integrierbare
Funktionen anwenden läßt. Dies ergibt sich zum Beispiel, wenn die Periode
L in den Gl. 7.26 und 7.27 gegen unendlich strebt.
Während die ursprüngliche Signalfunktion eine Funktion über dem
Definitionsbereich der Zeit ist, ist die Fouriertransformierte eine Funktion
über dem Definitionsbereich der Frequenzen. Wir sprechen daher auch von
einer Transformation aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich.
Die kontinuierliche Fouriertransformierte F(ω) der kontinuierlichen
Funktion f(t) ist definiert als
F(ω) =
+∞
−∞
f(t) · e −iωt dt (7.36)