Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

88 7. Grundlagen der Signalverarbeitung
1
2 a0 +
N
(an cosnx + bn sinnx) (7.24)
n=1
immer genauer angenähert. Sollte die Periode T = 2π sein, so ergibt sich
aus
f(x) = 1
2 a0 +
∞
an cos( 2π
T nx) + bn sin( 2π
T nx)
n=1
für die Fourierreihenkoeffizienten
an = 2
T
T
bn = 2
T
0
T
0
(7.25)
f(x) · cos( 2π
nx) dx (7.26)
T
f(x) · sin( 2π
nx) dx (7.27)
T
Die Fourierreihenentwicklung läßt sich statt mit trigonometrischen
Funktionen auch in Exponentialdarstellung schreiben. Nehmen wir an, f(t)
sei periodisch mit der Periode L = 2π/ω0, also:
f(t) = a0
2 +
∞
(an coskω0t + bn sin kω0t) (7.28)
n=1
dann ergibt sich für die Fourierkoeffizienten:
ak = 2
L/2
f(t) · coskω0t dt (7.29)
L −L/2
und
bk = 2
L/2
f(t) · sin kω0t dt (7.30)
L −L/2
Verwenden wir nun noch die Exponentialdarstellung der trigonometrischen
Funktionen:
cosx = eix + e −ix
2
und sinx = eix − e −ix
2i
(7.31)