Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

7.3 Fourieranalyse 87
Die gezeigte Darstellung einer periodischen Funktion als trigonometrische
Reihe bezeichnen wir als Fourierreihenzerlegung, und die Werte
a0, a1, b1, a2, b2, . . . an, bn . . . heißen Fourierkoeffizienten der Funktion f im
Intervall [0, 2π].
Es gilt offensichtlich für f periodisch mit Periode 2π, daß sich die
Fourierkoeffizienten auch über einem beliebigen Intervall der Länge 2π
berechnen lassen, also:
an = 1
t+2π
π
bn = 1
π
t
t+2π
t
f(x) · cosnx dx (7.19)
f(x) · sin nx dx (7.20)
Oft ist die zu analysierende Funktion f nicht periodisch. Dann ist es aber
meist so, daß man sich sowieso nur für einen Teil des Definitionsbereiches
interessiert und berechnet dann die Fourierkoeffizienten nur für diesen Teil.
Das ist dann so, als würde man annehmen, die Funktion wiederhole sich
auf dem Rest des Definitionsbereichs und hätte als Periode die Länge des
untersuchten Intervalls.
Auf einige Eigenschaften der Fourierreihenzerlegung sei hier noch hingewiesen.
Es gilt für alle f(x):
lim
s
n→∞
r
s
lim
n→∞
r
f(x)cos nxdx = 0 (7.21)
f(x)sin nxdx = 0 (7.22)
deshalb gilt auch (für f auf [r, s] integrierbar):
lim
n→∞ an = 0 und lim
n→∞ bn = 0 (7.23)
Das heißt, f(x) wird durch die partielle Teilsumme der Fourierreihenzerlegung