Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

86 7. Grundlagen der Signalverarbeitung
=
2π
0
a0
2
∞
∞
cosmx + an cosnxcosmx + bn sin nxcosmx dx
n=1
für die rechte Seite von Gl. 7.12 gilt:
2π
0
und
2π
0
und
2π
0
a0
2
cosmx dx =
0 für m = 0
π · a0 für m = 0
⎧
⎨0
für m = n
cosnxcosmx dx = π
⎩
2π
für m = n = 0
für m = n = 0
n=1
(7.13)
(7.14)
sin nxcosmx dx = 0 (für alle m, n) (7.15)
Aus den Gl. 7.13 bis 7.15 können wir ableiten, daß
2π
0
π · an für m = n = 0
f(x) · cosmx dx =
0 sonst
(7.16)
Jetzt wird auch deutlich, wieso der Faktor 1
2 vor dem a0 zur besseren
Eleganz der Formel beiträgt. Er erspart uns bei der Bestimmung der ai eine
Fallunterscheidung für i = 0 oder i = 0.
Lösen wir also komplett nach an auf, so erhalten wir:
an = 1
π
2π
0
f(x) · cosnx dx (7.17)
Wir können die Gl. 7.12 analog nach bn auflösen, indem wir statt beide
Seiten mit cosmx diesmal mit sin mx multiplizieren und ansonsten genauso
weiter vorgehen. Dann erhalten wir schließlich:
bn = 1
π
2π
0
f(x) · sin nx dx (7.18)