Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

7.3 Fourieranalyse
7.3 Fourieranalyse 85
Fourier stellte die Behauptung auf, jede periodische Funktion, die ein paar
minimale Bedingungen erfüllt, läßt sich darstellen als die (möglicherweise
unendliche) Summe von Sinusfunktionen. Aus heutiger Sicht erscheint es
unverständlich, warum führende Mathematiker der damaligen Zeit, vor
allem der große Lagrange, Fouriers Theorie mit naiven Begründungen
ablehnten wie z.B. daß die Summe von differenzierbaren Funktionen stets
differenzierbar sei. Trotz der zunächst mangelnden Anerkennung setzte sich
Fourier schließlich durch, und viele Mathematiker, die zuvor verächtlich auf
ihn herabgeschaut hatten, mußten seine Ergebnisse akzeptieren.
Betrachten wir zunächst nur periodische Funktionen. Es leuchtet ein, daß
eine Funktion f(x) mit der Periode T dargestellt werden kann als g(t) =
f(t ·T/2π) wobei g die Periode 2π hat. Betrachten wir nun die Frage, ob sich
jede 2π-periodische Funktion f als trigonometrische Reihe darstellen läßt,
definiert als
∞
f(x) = an · cosnx + bn · sin nx
n=0
In der Literatur findet man auch andere Darstellungen. Wenn man beachtet,
daß cosx = sin(x − π/2) so kann man auch ganz auf die Verwendung des cos
verzichten.
Wir verwenden aber wegen der Eleganz der folgenden Gleichungsumformungen
die Darstellung mit sin und cos. Man kann an der obigen Darstellung
einige Eigenschaften der Funktion recht einfach ablesen. Es gilt z.B.: wenn
f(x) an der Stelle t konvergiert, dann auch an der Stelle t + 2π und auch für
alle ganzen k an den Stellen t + 2kπ. Wenn die Reihe überall konvergiert,
dann ist f(x) eine periodische Funktion mit der Periode 2π. Sollten alle
ai = 0 sein, so ist die Funktion ungerade, und wenn alle bi = 0, dann ist die
Funktion gerade.
Versuchen wir für eine gegebene 2π-periodische Funktion f(x) die Werte
an und bn zu berechnen. Sei also:
f(x) = 1/2a0 + a1 cosx + b1 sin x + · · · + an cosnx + bn sin nx + · · ·
Wenn die Reihe gleichmäßig konvergiert, dann ist f(x) auf dem Intervall
[0, 2π] integrierbar. Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit cosmx
und berechnen dann das bestimmte Integral von 0 bis 2π, so erhalten wir
2π
0
f(x) · cosmx dx (7.12)