Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

82 7. Grundlagen der Signalverarbeitung
∞
−∞
a · δ(x)dx = a (7.6)
Das ist so als wäre a · δ(x) eine Funktion, die überall 0 ist außer für
x = 0, wo sie den Wert a · ∞ annimmt. An dieser Stelle sieht man auch
die Problematik, wenn man die Dirac Distribution als Funktion behandelt.
Eine ausführliche Diskussion dieser Problematik würde aber den Rahmen
des vorliegenden Buches sprengen.
f
1/6
f
1/4
f
1/2
f
1
Abb. 7.3. Veranschaulichung der Dirac Distribution δ
Die Definition von δ über das Integral hat zur Folge, daß die Multiplikation
von δ mit einer Funktion g den Wert von g(0) ” extrahiert“ genauer:
∞
−∞
∞
−∞
δ(x) · g(x)dx = g(0) (7.7)
δ(x − τ) · g(x)dx = g(τ) (7.8)
Eine andere Sichtweise der Dirac Distribution ist die, daß δ(x) definiert
ist als die Ableitung der Stufenfunktion
σ(x) =
0 falls x < 0
1 falls x ≥ 0
f 2
f
3
(7.9)
Da ein Impuls keine Funktion im Mathematischen Sinne ist, hat es auch
nicht viel Sinn von einem Funktionswert zu sprechen. Dennoch verwendet
man zur Veranschaulichung von Impulsen gerne Diagramme, bei denen Funktionskurven
eingezeichnet werden, die aus einem Strich bestehen, der an der