Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation

7.2 Systeme 81
als zeitinvariant bezeichnet, wenn die Ausgabe nur von der Eingabe und
nicht vom ” Zeitpunkt“ der Eingabe abhängt, also wenn f in (x) = g in (x − t)
dann ist auch f out (x) = g out (x − t). Ein zeitinvariantes System wird
darüber hinaus als linear bezeichnet, wenn es die Eigenschaften der Linearität
erfüllt, also: wenn f in (x) = a · g in1 (x) + b · g in2 (x), dann ist
auchf out (x) = a · g out1 (x) + b · g out2 (x). Lineare zeitinvariante Systeme
werden in der Literatur gerne mit der Abkürzung LTI (linear time-invariant)
bezeichnet. Einige einfache Eigenschaften von LTI Systemen kann man schon
an der Definition ablesen. Kein LTI System ist z.B. eines, das als Ausgabe
das Quadrat der Eingabe ausgibt. Ein besonders einfaches LTI System ist
eines mit einer konstanten Ausgabe, bei dem gilt f out (x) = c∀x, oder auch
ein so genanntes Verzögerungsglied mit f out (x) = f in (x − t).
Systeme können auch diskret sein. Dann geht man davon aus, daß sowohl
die Eingabe f in [i] als auch die Ausgabe f out [i] Folgen sind, mit natürlichen
i ∈ N oder zumindest ganzen i ∈ Z. Die o.a. Eigenschaften Kausalität,
Zeitinvarianz und Linearität gelten entsprechend auch für diskrete Systeme.
In der Praxis der Mustererkennung genügt meist der Umgang mit diskreten
Systemen, während analoge Systeme nur als mathematischen Fundierung
dienen.
7.2.1 Die Dirac Distribution
Ein besonderes, in der Theorie der Signalverarbeitung häufig verwendetes
Signal ist die so genannte Dirac Distribution. Oder auch ” Impuls“ genannt.
Dabei handelt es sich im mathematischen Sinne nicht um eine Funktion.
Daher auch die Bezeichnung Distribution. In der Praxis wird die Dirac
Distribution jedoch oft wie eine normale Funktion behandelt. Man kann die
Distribution definieren als
0 falls |x| > |t|
δ(x) := lim ft(x) mit ft(x) =
t→0 t/2 falls |x| ≤ |t|
(7.4)
Dieser Sachverhalt wird in Abbildung 7.3 veranschaulicht. Offensichtlich
gilt:
∀t :
∞
−∞
ft(x)dx = 1 (7.5)
Entsprechend wird dann in mathematischen Berechnungen, in denen die
Dirac Distribution vorkommt auch angenommen, daß