Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

164 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
Zelle Nr.:
−2 −1 0 1 2 n n+1 n+2 n+3
. . . # # # si1
si2 . . . sin # # # . . .
⇑
q0
Initialkonfiguration
(d) Die Übergänge sind mit y = 1, 2, . . ., d durchnumeriert und wie folgt in
eine Tabelle geschrieben:
y Übergang Nr. y
1 (q i(1), s j(1)) → (q i ′ (1), s j ′ (1))
2 (q i(2), s j(2)) → (q i ′ (2), s j ′ (2))
.
.
d (q i(d), s j(d)) → (q i ′ (d), s j ′ (d))
Hier ist s j(y) ein Bandsymbol und s j ′ (y) ist entweder L, R oder ein Bandsymbol.
Bemerkung 1. In der Zeit p(n) kann die TM höchstens p(n) Felder beschriften,
also genügt es, die Bandzellen Nr. −p(n), −p(n) + 1, . . .,0, 1, . . ., p(n) zu
betrachten.
Die Reduktion der Sprache L auf ERFÜLLBARKEIT bedeutet, dass für jedes
Wort w über Σ eine Boolesche Formel φw konstruiert wird, so dass
φw ist erfüllbar ⇐⇒ w ∈ L
und dass die Konstruktion in polynomialer Zeit durchgeführt wird. Die Aussage
w ∈ L bedeutet, dass es eine Berechnung des Wortes w durch M gibt,
die im Zustand q1 hält. Eine solche Berechnung können wir durch eine Formel
φw eindeutig beschreiben, wenn wir die folgenden Booleschen Variablen
einführen:
NAME BEDEUTUNG: ist true belegt genau dann, wenn UMFANG
q t i Zur Zeit t hat M den Zustand qi. t = 0, . . .,p(n)
i = 0, . . .,m
k t r Zur Zeit t steht der Kopf im Feld r t = 0, . . .,p(n)
r = −p(n), . . .,p(n)
s t j,r Zur Zeit t steht im Feld r das Symbol sj t = 0, . . .,p(n)
j = 0, . . .,k
r = −p(n), . . .,p(n)
u t y Zur Zeit t wird der Übergang Nr. y durchgeführt t = 0, . . .,p(n) − 1
y = 1, . . .,d
Mit Hilfe dieser Variablen können wir alle Bedingungen einer akzeptierenden
Berechnung von w formal darstellen:
(a) Initialisierung. Zur Zeit t = 0 ist die folgende Belegung true:
q0 0 (Initialzustand q0)
k0 1 (initiale Kopfposition 1)
s0 i1,1 , . . .,s0 in,n (die gegebene Eingabe w = si1 . . .sin in Feldern 1, . . .,n)
s0 0,b
für alle b = −p(n), . . .,p(n) außer b = 1, . . .,n
(das Symbol s0 = # in allen Zellen des Bandes außer der Eingabe)