Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.7. N P-VOLLSTÄNDIGKEIT 163
Korollar 1. Jedes Problem der Klasse N P kann von einem Algorithmus mit exponentieller
Zeitkomplexität
gelöst werden.
K p(n)
6.7 N P-Vollständigkeit
K – Konstante, p(n) – Polynom
Wir haben oben erwähnt, dass kein effizienter Algorithmus für Probleme wie ZER-
LEGBARKEIT oder TSP bekannt ist. Mit anderen Worten ist es nicht bekannt, ob
diese Probleme in der Klasse P liegen. Eigentlich ist auch die folgende allgemeine
Frage bisher unbeantwortet:
Offenes Problem: Gilt P = N P?
Trotz intensiver Bemühungen vieler Wissenschaftler und trotz vieler Nebenergebnisse
zu diesem Thema ist die Antwort noch nicht bekannt. Es gibt aber Probleme,
die in der Klasse N P eine besondere Stellung haben: wenn man für eines dieser
Probleme feststellen würde, dass es zu P gehöre, so würde jedes Problem der Klasse
N P zu P gehören – also wäre die Antwort auf die obige Frage positiv. Solche
Probleme (zu denen z.B. TSP gehört) heißen N P-vollständig. Erinnern wir uns an
den Begriff der Reduktion in polynomialer Zeit (6.3):
Definition. Eine Sprache L heißt N P-hart, falls es für jede Sprache L ′ der Klasse
NP eine Reduktion auf L in polynomialer Zeit gibt, oder kürzer:
L ′ ∈ N P =⇒ L ′ ⊳ L.
Eine Sprache, die N P-hart ist und zu N P gehört, heißt N P-vollständig.
Satz 1. Falls eine N P-harte Sprache in P liegt, gilt P = N P.
Beweis. Sei L eine N P-harte Sprache in P. Für jede Sprache L ′ in N P gibt es
eine Reduktion auf L in polynomialer Zeit. Aus L ∈ P folgt also L ′ ∈ P (Satz 1 in
6.3). Damit ist P = N P bewiesen.
Satz 2 (Cookscher Satz.). ERFÜLLBARKEIT ist N P-vollständig.
Beweis. 1. ERFÜLLBARKEIT ist ein Problem der Klasse NP: siehe Beispiel 2
Nr. 3 in Abschnitt 6.6.
2. Für jede Sprache L in N P zeigen wir, dass L auf ERFÜLLBARKEIT in
polynomialer Zeit reduzierbar ist. Wir haben eine Turingmaschine M mit
polynomialer Zeitkomplexität p(n), die L akzeptiert. Wir können für M, ohne
Beschränkung der Allgemeinheit, das folgende annehmen:
(a) Die Zustände von M sind wie folgt durchnumeriert:
q0 (initial), q1 (final), q2, . . . , qm.
Der finale Zustand q1 ist ein Haltezustand.
(b) Die Bandsymbole von M sind s1, . . .,sk und s0
def
= #.
(c) Die Zellen des Bandes sind mit ganzen Zahlen durchnumeriert. Die Eingabe
steht in den Zellen 1, . . .,n.